广义Leontief投入产出模型的计算机控制算法 Computer Control Algorithm of Singular Leontief Input-Output Model

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Artificial Intelligence and Robotics Research 人工智能与机器人研究, 2013, 2, 64-66

http://dx.doi.org/10.12677/airr.2013.21011 Published Online February 2013 (//www.abtbus.com/journal/airr.html)

Computer Control Algorithm of Singular Leontief

Input-Output Model *

Lei Jiang, Jian’an Fang

Donghua University, Shanghai

Email: leij@dhu.edu.cn, wang-sunduan@sohu.com

Received: Feb. 11 th , 2013; revised: Feb. 18th, 2013; accepted: Feb. 19th, 2013

Abstract: This p aper deals with the problems of stability and computer control for the econo mic discrete-time singular

dynamic input-output model. The singular dynamic input-output system is directly treated with without converted to

general system. A sufficient stability c ondition under which the model is admissible is proved. Base on this, a state

feedback stability criterion is established. Finally, the corre sponding method of computer simulation and control is pro-

vided.

Keywords: Dynamical Input-Output Model; Economical Cybernetics; Computer Control System

广义 Leontief 投入产出模型的计算机控制算法*

江磊，方建安

东华大学，上海

Email: leij@dhu.edu.cn, wang-sunduan@sohu.com

收稿日期： 2013 年2月11 日；修回日期： 2013 年2月18 日；录用日期： 2013 年2月19 日

摘要：在传统的经济学中，经济系统的发展应当是开放的持续增长的过程，然而资源的有限性限制了经济系

统的最终规模，目前一般认为经济系统的发展轨迹应当是逐步趋于稳定状态。因此研究经济系统的是否能够达

到稳定状态以及相应的控制算法对于经济学的研究具有重要的意义。本文对投入产出经济学中的离散广义动态

投入产出模型进行模拟与控制，以使经济系统的各个部门能够协调发展，并趋于一个稳定的发展状态。通过使

用新的数学方法，广义投入产出模型不需要转化成一般的线性模型可以直接研究其稳定性，从而减少了研究的

复杂性。本文首先研究动态投入产出模型能够趋于稳定状态的条件，并基于此设计相应的控制算法，最后利用

计算机编写相应的模拟与控制程序。

关键词：动态投入产出模型；经济控制论；计算机控制系统

1. 引言

近来，经济学家逐渐重视经济系统的计算机控制问

题的研究。最初计算机主要用来求解经济系统的方程

[1] 。此后，由于需要对经济系统进行模拟与控制，对经

济系统进行计算机控制成为研究的热点 [2]。通常，在投

入产出问题的研究中，投入产出模型一般通过选取适

当的状态向量等把广义系统转换为一般系统，但是转

换后的变量失去了原有的经济学意义，因此需要引入

新的方法直接研究广义系统 [3] 。本文将使用线性矩阵

不等式直接研究离散广义模型，提出模型稳定的一个充

分条件，并设计相应的计算机控制系统。

* 基金项目：上海市基础研究重点项目资助(编号：09JC1400700)，

上海市基础研究重点项目资助 (编号： 09JC1400700)，国家自然科

学基金项目 ( 编号：60874113)，教育部高校博士点基金项目(编号：

200802550007) ，上海市教委科研创新重点项目( 编号：09zz66) 。

广义 Leontief 投入产出模型的计算机控制算法

2. 经济模型的建立

考虑投入产出经济学中的广义动态投入产出模

型：

  

1 Bx kIABx kYk  (0)

其中，因此系统 (0) 是一个广义系统。下

面研究其稳定性条件。

rankB rn 

定义 1 ：标称离散时间广义动态投入产出系统：

 

1 Ex kAx k



(1)

1) 系统 (1)如果满足





det

EA 不恒等于零，则

称之为正则的 [4] 。

2) 系统 (1)如果满足







deg det

E ArankE  ，

则称之为因果的 [4] 。

3) 系统 (1)如果满足





det 0 sE A的根都落在

单位圆内，则称之为稳定的 [4]。

4) 系统(1) 如果是正则的、因果的、稳定的，则

称系统 (1)为可容许的 [5] 。

3. 稳定性分析

我们将首先研究离散时间广义动态投入产出经

济系统稳定的条件。考虑





0 Yk的情况，系统(1)

转化为







1 Bx kIABx k 。 (2)

针对系统 (2)，则有以下结论：

定理 1 ：离散时间广义动态投入产出模型(2)是可

容许的，如果存在适当维数的矩阵，和满

足：

0 PQS

  (3)

BS  (4)

其中

PAPA PA PBAPB QS

QSAQS B

  



证明：根据线性代数，存在两个非奇异矩阵 M 、

N 满足

1 0

B 

 





IAB TT





 





MN 。

此时，可以选择为：

 

 



令： 12 1

T T





 



PM M

，。

T Q

Q Q



 



将上式代入(3)中，我们可以得到

11 12

21 22

TTTT

TTTTT

TT TT

AAAABABB

BAQS QSAQSBSQ

ASQ BSQ

 

  











PPPP PPP

其中

22212422224

434244 2

TT T

PPP

PQ Q





TTTTTT

TT TT

从上式，可以推出，并且矩阵是非奇异

的。令：

22 0Z4



 T。

则有



11 2

det det







 









 



 









TM N

MN TT

显然 11 2

det sI























是不恒等于零的，且其

次数为，所以rankB





det sB T是不恒等于零，并且









deg det

B rankBT。因此模型(2)是正则、因果

的。则根据 [4] ，存在两个非奇异矩阵

 和使得 N



1 0

BM N

















，

ABMN



 







此时可以选作： S

 

 



 。

定义

PM M





 





 ，。

T Q

QN Q



 





把上面两式代入 (3) ，我们得到：

11 21

21322

TT T

TPT PTPQ

PT QPQQ















 





 

使用 Schur 补引理，我们知道。根据

0 TPT P

 

广义 Leontief 投入产出模型的计算机控制算法

[4] ，有根都位于

离散时间广义动态投

入产

投入产出模型 (1) 是可

容许

(5)

可以知道



det 0 sB T的所以原点

为圆心的单位圆 (2) 是稳定的。因此也是

可容许的。

注记 1：

内。因此系统

定理 1 提供了一个

散时间广义动态



出模型是可容许的充分条件，基于此可以设计相

应的控制器。

定理 2：离

的，如果存在适当维数的 0P，Q，G和S满

足：

0 



其中



A PAG PG

A PBGPB

AQSGQSB

 



 

态反馈控制器可以

0 1

PA PGPAPG

PB QS

 

 

此时，状设计为



 

Gxk 。

控制

证明：将 (0) ，则有器代入系统







1 Bx kIAGBx 









(6)

下面我们容许的。根据证明系统 (6) 是可 (5)则有











TT TT

TTTTT

TT TTTT TT

T TT

T T

P GPBAPBG PBQSQSA

QSGQSBA PGPBPA

BPG SQASQGSQBSQ

PAGPAGPAG

PBA GPB QSQSA G

QS BPAGPAG

PA GPBA GPBQS

QS A



 



 



 





 





 





 

 





GQSB



 



根据定理 1 ，可知系统是可容许的。定理 2得证。

4. 计算机控制算法设计

tlab 的 LMI 工具箱求解

相应



TTTTT

PAPAAPGGPAGPGPA  

根据定理 2，我们利用 ma

的控制参数，从而可以设计相应的计算机控制系

统。在这里我们考虑参数如下的系统 (0)：

0.5 0.6

B 00

， 0.3 1.4

A 









 3.45 4













容易验证系统 (0) 的开环系统是不稳定用

matl

，

的。利

ab 得到定理 2 的解是：



S ，



11 Q



1. 014 0

0 1.0055













 ， 

。

则控制器可以设计为：

4.7 4

R 





 



4.7

Yk 



 







。

则系统转化为



0.5 0.6



6.5 6

006.45 6

 



  



  

k 。

利用计算机模拟其状态曲线，可以证明系统是稳

定的。

说，研究广义投入产出系统是首先将广义

系统转换为一般线性系统，然后利用线性系统的理论

参考文献 (References)

ic cybernetics. Oxford: Perga-

03, 5: 399-405.



5. 总结

一般来

进行研究。转换为线性系统的方法，通常需要引入新

的变量进行变量代换，而新的变量则没有经济意义，

从而增加了研究的难度。本文利用新的数学方法，对

广义动态投入产出模型进行了直接研究而并不需要

把广义系统转化为一般线性系统。首先证明了模型趋

于稳定状态的条件，进而设计了相应的计算机控制系

统。本文的作者非常感谢所有给文章提出意见和建议

的专家学者。

[1] O. Lang. Introduction to econom

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[5] S. Xu, J. Lam. Robust stability and stabilization of discrete sin-

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