作为高速喷墨印刷机的重要组成部分，供墨系统直接影响墨水的性质及液滴的成型。本文研究的负压供墨系统控制的主要对象是墨水温度和系统负压值，这两者对喷墨打印机的稳定性和可靠性有着重要影响。影响如下。

由于墨水黏度与墨水温度呈负相关对应关系 [4] ，温度的控制保证了墨水黏度可以稳定在一个合理的范围内，故需要对墨水的温度精确的控制。

负压供墨控制系统如果没有稳定、恒定的负压值就不能正常工作。系统负压过低会造成喷墨打印机流墨的问题；系统负压过高会造成喷墨打印机断墨、打印中断等问题。故此应对喷墨打印机系统的负压进行稳定、恒定控制。

PID控制器是在自动控制领域中广泛应用的一种线性控制装置。它通过比例、积分和微分作用，对负压和墨水温度的设定值与实际测量值之间的偏差进行线性组合，从而实现控制。该控制器的具体结构如 图1 所示。

由 图1 可以看出，PID控制器的输入 $e\left(t\right)$是由设定值 $r\left(t\right)$和实际检测值 $y\left(t\right)$之间差值决定即：

$e\left(t\right)=r\left(t\right)-y\left(t\right)$

PID控制器表达式如下：

$u\left(t\right)=Kep\left(t\right)+K_i\underset{j=0}{\overset{t}{{\displaystyle \sum }}}e\left(j\right)+K_d\left[e\left(t\right)-e\left(t-1\right)\right]$

其中， $r\left(t\right)$代表系统预设电压值， $y\left(t\right)$为系统实际输出电压值， $e\left(t\right)$则为系统的电压偏差信号。 $K_p$、 $K_i$、 $K_d$三个系数表示的意义及参数的整定分别如下：

$K_p$：比例系数。可按比例放大或缩小该偏差信号。在调节 $K_p$时，让 $K_i$与 $K_d$都为零，只对 $K_p$进行调整。

$K_i$：积分系数。通过积分作用减少系统的余差。确定 $K_i$初始值，一边缩小 $K_i$的值一边观察系统状态，系统出现振荡后记录此刻的值。

$K_d$：微分系数。预判可能出现的误差，进行提前修正。 $K_d$初始值设定为零。当需要调节时，调节方式与其他两个参数的调节方式一样。

数学模型用于描述在控制过程中，输出量随输入量变化的关系。给定特定的输入量时，可以得到相应的输出。构建温度和负压控制系统的数学模型，不仅是为了分析和设计控制方案，也是整个控制系统完成设计投入使用的基础。

数学模型可通过机理建模和试验测试建模两种方法获取，由于温度控制系统的复杂性，采用试验测试的方式建立温度数学模型 [5] 。

$G\left(s\right)=\frac{1}{430s^2+20s+1}{\text{e}}^{-20t}$

数学模型可通过机理建模和试验测试建模两种方法获取，由于负压控制系统的复杂性，采用试验测试的方式建立温度数学模型 [5] 。

$G\left(s\right)=\frac{0.11}{627s^2+21s+1}{\text{e}}^{-15s}$

在MATLAB/Simulink平台中，在Simulink仿真模型中分别加入多组阶跃信号对温度及负压值进行控制。系统Simulink仿真模型及波形如 图2 ~ 图5 所示。

结论：对负压供墨系统两种非线性控制对象温度与负压值通过MATLAB软件平台中的Simulink进行仿真，来进一步验证常规PID算法的实际控制效果，设置最终温度为45℃，负压值为：4 kPa，延时20 s，响应效果如 图4 和 图5 所示最优参数PID产生了温度超调量达到15℃，对负压值产生了2.3 kPa的超调量。温度的调整时间为924 s，负压值调整时间为731 s。

模糊PID控制是结合了模糊控制理论的一种优化PID算法的方法，应运而生。这种控制策略融合了模糊控制器与PID控制器的功能。在基于PID控制器的基础上，通过持续监测系统状态e及ec，并运用模糊推理技术，根据实际运行情况对控制器参数 $k_p$、 $k_i$、 $k_d$进行在线调整，以实现动态最优控制。其具体控制结构如 图6 所示。

模糊控制系统大致由四部分组成 [5] ：

模糊化输入：将模糊控制系统的输入转换为模糊集合，以便于后续模糊逻辑运算。

控制规则库：控制规则库是模糊控制系统的重要组成部分，包含一系列控制规则，通常由专家知识和经验得出。

模糊逻辑推理：模糊逻辑推理是模糊控制系统的核心部分，通过对输入变量模糊集进行逻辑运算，得到输出变量模糊集合，这一部分通常包括模糊关系建立、规则库设计、模糊推理实现。

解模糊化输出：将模糊控制系统输出转换为精确输出值，以便于后续控制行为执行 [6] 。

PID控制器积分通过累计叠加误差消除静态误差，但是动态响应比较差，在参数整定方面比较困难，模糊控制器通过经验丰富的技术人员在线整定。

本系统的温度和负压控制所处环境相似，所以本文对温度和负压的控制采用同一个模糊PID控制器如 图7 ~ 图12 所示。。

制定 $\text{Δ}{k}_P$， $\text{Δ}{k}_i$， $\text{Δ}{k}_d$的模糊规则表，根据模糊控制规则，再模糊量进行解模糊。

结合模糊控制规律，根据专家及工程技术人员的经验在模糊PID控制器中用模糊语言变量描述模糊控制规则，共49条，如 图13 所示。

在MATLAB/Simulink中建立模糊PID控制温度及负压值的仿真模型如 图14 ~ 图16 所示，并且根据模糊原理对参数进行优化调整。在Simulink仿真模型中分别加入多组阶跃信号对温度及负压值进行控制。

结论：对负压供墨系统两种非线性控制对象温度与负压值通过MATLAB软件平台中的Simulink进行仿真，来进一步验证模糊PID算法的实际控制效果，设置最终温度为45℃，负压值为：4 kPa，延时20 s，响应效果如 图17 和 图18 所示最优参数模糊PID产生了温度超调量达到10℃，对负压值产生了0.3 kPa的超调量。温度的调整时间为480 s，负压值调整时间为450 s。

RBF神经网络通常由三层组成，依次为输入层、隐含层和输出层。数据在每一层中单向传输，避免了环路问题，具备较快的收敛速度，能够规避局部最小值的影响 [7] 。

RBF神经网络结构相对简单，其工作原理为：外部输入首先传递到输入层，输入层神经元的数量需与输入元素的数量一致，以确保信号的接收。输入信号随后被传递到隐含层，通常通过直接连接或距离连接。隐含层的核心是激活函数，主要由径向基函数构成，其中多数情况下采用高斯函数。调整RBF神经网络参数时，关键在于隐含层激活函数的参数调节。隐含层在网络中具有重要作用，能够将低维向量映射到高维空间，使得在低维中线性不可分的元素在高维中变为线性可分。输出层则生成网络的最终输出，理论上与系统输出一致，它主要是起到输出的作用，也是神经网络输入的最终结果 [8] ，如 图19 所示。

高斯函数激活函数表达式如下：

$h_j=\exp \left(\frac{-{\Vert x-c_j\Vert }^2}{2b_j^2}\right),j=1,2,\cdots ,m$

其中： ${\Vert x-c_j\Vert }^2$为欧几里得范数； $c_j={\left[c_{j1},c_{j2},c_{j3}\right]}^{\text{T}}$为第j个隐含层神经元节点的中心矢量； $b_j$为第j个隐含层神经元节点的宽度； $w_j={\left[w_1,w_2,\cdots ,w_m\right]}^{\text{T}}$为输出层权值向量，基宽参数大于0 [9] ；

激活函数方面，采用了高斯函数。高斯函数具有径向对称的特点，但由于其中心受收缩特性的影响，函数在中心逐渐增强，而在两侧逐渐减弱。为了获得非零响应值，必须谨慎选择中心值，以确保其与预期输出值相符。此外，高斯函数的曲线宽度可以调整，从而优化基函数的覆盖范围，使RBF神经网络的逼近能力达到最佳效果。

节点基宽 [10] 为：

$B={\left[b_1,b_2,\cdots ,b_m\right]}^{\text{T}}$

权值向量为：

$w={\left[w_1,w_2,\cdots ,w\right]}^{\text{T}}$

神经网络的输出是通过加权求和获得，公式如下：

$y_m=h_1{w}_1+h_2{w}_2+\cdots +h_m{w}_m$

神经网络里的评价标准表示为：

$j_b=\frac{1}{2}{\left(y\left(k\right)-y_m\left(k\right)\right)}^2$

通过梯度下降的方法，计算出各参数(如权值等)的值，其迭代算法如下：

$\text{Δ}{w}_j\left(k\right)=\eta {\left(y\left(k\right)-y_m\left(k\right)\right)}^2$

$w_j\left(k\right)=w_j\left(k-1\right)+\text{Δ}{w}_j\left(k\right)+\alpha \left(w_j\left(k-1\right)-w_j\left(k-2\right)\right)$ $\text{Δ}{b}_j\left(k\right)=\eta \left(y\left(k\right)-y_m\left(k\right)\right)w_j{h}_j\frac{{\Vert x-c_j\Vert }^2}{b_j^3}$ $b_j\left(k\right)=b_j\left(k-1\right)+\text{Δ}{b}_j\left(k\right)+\alpha \left(b_j\left(k-1\right)-b_j\left(k-2\right)\right)$ $\text{Δ}{c}_j\left(k\right)=\eta \left(y\left(k\right)-y_m\left(k\right)\right)w_j\frac{x_j-c_{ji}}{b_j^2}$

$c_{ji}\left(k\right)=c_{ji}\left(k-1\right)+\text{Δ}{c}_{ji}\left(k\right)+\alpha \left(c_{ji}\left(k-1\right)-c_{ji}\left(k-2\right)\right)$

式中： $\eta$表示的是学习速率； $\alpha$表示的是动量因子。其敏捷度信息(Jacobin)的算法可以表示为 [11] ：

$\frac{\partial y\left(k\right)}{\partial \text{Δ}u\left(k\right)}\approx \frac{\partial y_m\left(k\right)}{\partial \text{Δ}u\left(k\right)}=\underset{j=1}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}{w}_j{h}_j{c}_{ji}-x_j\frac{c_{ji}-x_j}{b_j^2}$

式中： $\eta$表示的是学习速率; $\alpha$表示的是动量因子。其中敏捷度信息(Jacobin)的算法可以表示成 [12] ：

$\frac{\partial y\left(k\right)}{\partial \text{Δ}u\left(k\right)}\approx \frac{\partial y_m\left(k\right)}{\partial \text{Δ}u\left(k\right)}=\underset{j=1}{\overset{m}{{\displaystyle \sum }}}{w}_j{h}_j{c}_{ji}-x_j\frac{c_{ji}-x_j}{b_j^2}$

基于RBF神经网络PID的算法的控制原理是通过RBF神经网络对被控对象的雅克比信息进行辨识，依据设定的整定指标通过梯度下降法计算 $\text{Δ}{k}_p$、 $\text{Δ}{k}_i$、 $\text{Δ}{k}_d$，实现PID参数的自适应调节。

RBF神经网络依据PID控制器的输出 $u\left(k\right)$和实际电流值 $y\left(k\right)$，辨识得到雅克比信息；将雅克比信息作为依据，调节PID控制器的 $K_p$、 $K_i$、 $K_d$参数，使PID控制器的参数获得自适应调整 [12] 。下 图20 为RBF神经网络PID控制原理图。

假设系统的控制误差为：

$e\left(k\right)=r\left(k\right)-y\left(k\right)$

其中， $r\left(k\right)$为系统预设值， $y\left(k\right)$为实际输出值。

PID控制器参数的输入如下：

$a\left(1\right)=e\left(k\right)-e\left(k-1\right)$

$a\left(2\right)=e\left(k\right)$

$a\left(3\right)=e\left(k\right)-2e\left(k-1\right)+e\left(k-2\right)$

控制算法的输出为：

$u\left(k\right)=u\left(k-1\right)+k_{p}a\left(1\right)+k_{i}a\left(2\right)+k_{d}a\left(3\right)$

通过使用梯度下降 [13] 的方法调整 $K_p$、 $K_i$、 $K_d$；

$\text{Δ}{k}_p=-\eta \frac{\partial E}{\partial k_p}=-\eta \frac{\partial E}{\partial k_y}\cdot \frac{\partial y}{\partial \text{Δ}u}\cdot \frac{\partial \text{Δ}u}{\partial k_p}=\eta e\left(k\right)\frac{\partial y}{\partial \text{Δ}u}\left(e\left(k\right)-e\left(k-1\right)\right)$

$\text{Δ}{k}_i=-\eta \frac{\partial E}{\partial k_i}=-\eta \frac{\partial E}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial \text{Δ}u}\cdot \frac{\partial \text{Δ}u}{\partial k_i}=\eta e\left(k\right)\frac{\partial y}{\partial \text{Δ}u}e\left(k\right)$

$\text{Δ}{k}_d=-\eta \frac{\partial E}{\partial k_d}=-\eta \frac{\partial E}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial \text{Δ}u}\cdot \frac{\partial \text{Δ}u}{\partial k_d}=\eta e\left(k\right)\frac{\partial y}{\partial \text{Δ}u}\left(e\left(k\right)-2e\left(k-1\right)+e\left(k-2\right)\right)$

$K_p=k_p+\text{Δ}{k}_p$

$K_i=k_i+\text{Δ}{k}_i$

$K_d=k_d+\text{Δ}{k}_d$

式中： $K_p$、 $K_i$、 $K_d$是通过基于经验赋予的初始值。 $\partial y/\partial \text{Δ}u$是被控对象的雅克比信息。

基于RBF神经网络PID的控制流程如 图21 所示 [14] 。

RBF神经网络PID控制算法的流程如下：

1) 初始化PID的参数 $K_p$、 $K_i$、 $K_d$及RBF神经网络的学习速率、初始权重等。

2) 通过采样得到控制器的输入 $r\left(k\right)$和控制器的输出 $y\left(k\right)$，计算得到偏差 $e\left(k\right)$。

3) 调整RBF输出权等神经网络参数。

4) 计算控制器的Jacobian信息。

5) 利用梯度下降法计算得到 $\text{Δ}{k}_p$、 $\text{Δ}{k}_i$、 $\text{Δ}{k}_d$。

6) 通过步骤5)计算结果调整PID的参数。

7) 通过判断是否 $K=N$。或者停止采样，来结束算法。否则返回步骤2)。

在MATLAB/Simulink平台上，使用S-函数构建了一个基于梯度下降法的自学习算法模块。该模块设置了速度、学习率、量化因素及控制参数等变量。通过迭代算法，实现了PID参数调整量的实时计算，在Simulink仿真模型中，分别加入多组阶跃信号对温度及负压值进行控制。系统Simulink仿真模型及波形如 图22 ~ 图26 所示。

结论：对负压供墨系统两种非线性控制对象温度与负压值通过MATLAB软件平台中的Simulink进行仿真，来进一步验证RBF神经网络PID算法的实际控制效果，设置最终温度为45℃，负压值为：4 kPa，延时20 s，响应效果如 图25 和 图26 所示最优参数RBF神经网络PID产生了温度超调量达到1℃，对负压值产生了0.05 kPa的超调量。温度的调整时间为460 s，负压值调整时间为400 s。

通过以上三种不同的算法在仿真模型中进行验证。首先，我们为系统设定了一个期望值，并通过三种不同的算法测试系统达到该期望值的性能，包括响应时间、超调量及稳定时间如 图27 、 图28 所示，相关结果如 图29 和 图30 所示。

结论：从以上仿真结果可以看出，RBF神经网络PID控制在温度及负压的动态性能上优于传统的PID控制及其常见的改进形式——模糊PID。实验结果显示，RBF神经网络PID在控制温度及负压时，其超调量和调整时间均小于其他两种方法，这表明该系统不仅在稳定性和响应速度上表现更佳，而且还具备更高的鲁棒性。