滚动轴承在运行过程中，由于材料疲劳、润滑不良、制造缺陷等因素，可能在内圈、外圈或滚动体上产生微小的局部损伤，如裂纹、点蚀或剥落等 [4] 。当滚动体经过这些损伤部位时，会产生瞬时的冲击力，激发机械系统的振动响应。这种冲击力可视为一个脉冲激励，激励系统的固有模态，产生衰减的振荡信号。根据振动理论，这种信号可表示为：

$s\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{A}_k{\text{e}}^{-\alpha \left(t-kT\right)}\cos \left[2\pi f_n\left(t-kT\right)+{\varphi }_k\right]$

其中， $A_k$为第 $k$次冲击的幅值， $\alpha$为系统的阻尼系数， $f_n$为系统的固有频率， $T$为冲击间隔时间， ${\varphi }_k$为初始相位。

冲击间隔时间 $T$与轴承的故障特征频率 $f_f$相关， $f_f$由轴承的结构参数和转速决定，可通过以下公式计算：

$f_f=\frac{n}{60}\times \frac{z}{2}\left(\begin{array}{c}1-\frac{d}{D}\cos \theta \end{array}\right)$

其中， $n$为转速(单位：转/分钟)， $z$为滚动体数目， $d$为滚动体直径， $D$为轴承节圆直径， $\theta$为接触角。对于内圈、外圈和滚动体的故障，公式中的符号和系数会有所不同，但基本形式相似。然而，在实际测量中，传感器获取的信号不仅包含故障引起的脉冲信号，还叠加了正常运转产生的周期性振动信号 $x_b\left(t\right)$和环境噪声 $n\left(t\right)$ [5] 。因此，测得的总信号 $x\left(t\right)$可表示为：

$x\left(t\right)=s\left(t\right)+x_b\left(t\right)+n\left(t\right)$

其中， $x_b\left(t\right)$可能包含由轴的不平衡、齿轮啮合等引起的振动，其频率通常为轴频及其倍频， $n\left(t\right)$为高斯白噪声或其他形式的随机噪声。此外，机械系统的传递特性可以用一个未知的线性时不变系统来描述，其脉冲响应为 $h\left(t\right)$。因此，故障脉冲信号经过系统传递后的输出为：

$y\left(t\right)=s\left(t\right)*h\left(t\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}{A}_k{\text{e}}^{-\alpha \left(t-kT\right)}\cos \left[2\pi f_n\left(t-kT\right)+{\varphi }_k\right]*h\left(t\right)$

其中，*表示卷积运算。由于 $h\left(t\right)$是未知的，直接求解 $s\left(t\right)$是困难的。为了解决上述问题，需要对测得的信号 $x\left(t\right)$进行信号处理，提取故障特征。然而，早期故障引起的冲击幅值 $A_k$很小，且容易被其他振动和噪声淹没。因此，传统的时域和频域分析方法在提取早期故障信号时效果有限。一种有效的方法是利用故障信号的稀疏性和非高斯性，采用盲解卷积技术来恢复原始的故障脉冲信号。盲解卷积的目标是仅根据观测信号 $x\left(t\right)$，在未知系统 $h\left(t\right)$的情况下，估计输入信号 $s\left(t\right)$。在离散时间域中，观测信号可表示为：

$x\left(k\right)=\underset{i=-\infty }{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}h\left(i\right)s\left(k-i\right)+n\left(k\right)$

其中， $h\left(i\right)$为系统的脉冲响应序列， $n\left(k\right)$为离散噪声。盲解卷积的问题是求解一个解卷积滤波器 $w\left(i\right)$，使得滤波器输出 $y\left(k\right)$接近于原始信号 $s\left(k\right)$：

$y\left(k\right)=\underset{i=0}{\overset{L}{{\displaystyle \sum }}}w\left(i\right)x\left(k-i\right)\approx cs\left(k-\Delta \right)$

其中， $c$为比例常数， $\Delta$为延迟。为实现这一目标，常采用基于高阶统计量的方法，如最大化输出信号的峭度等。

包络分析是一种有效的时域特征提取方法。对振动信号 $x\left(t\right)$进行希尔伯特变换，得到其解析信号：

其中， $H\left\{x\left(t\right)\right\}$为希尔伯特变换，定义为：

$H\left\{x\left(t\right)\right\}=\frac{1}{\pi }P\cdot V\cdot \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{{\displaystyle \int }}}\frac{x\left(\tau \right)}{t-\tau }\text{d}\tau$

包络信号 $e\left(t\right)$为解析信号的模：

$e\left(t\right)=\left|x_a\left(t\right)\right|=\sqrt{x{\left(t\right)}^2+{\left[H\left\{x\left(t\right)\right\}\right]}^2}$

对包络信号 $e\left(t\right)$进行傅里叶变换，得到其频谱 $E\left(f\right)$，可以从中提取故障特征频率。

其次，小波变换具有良好的时频局部化特性，适用于非平稳信号的分析。连续小波变换定义为：

$W_x\left(a,b\right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{{\displaystyle \int }}}x\left(t\right){\psi }^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)\text{d}t$

其中， $\psi \left(t\right)$为母小波函数， $a$为尺度因子， $b$为平移因子，*表示复共轭。通过选择合适的母小波函数，可以突出脉冲信号的特征。在实际应用中，经常采用离散小波变换，其分解与重构公式为：

$x\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{J}{{\displaystyle \sum }}}\underset{k}{{\displaystyle \sum }}{c}_{j,k}{\psi }_{j,k}\left(t\right)+\underset{k}{{\displaystyle \sum }}{c}_{J,k}{\varphi }_{J,k}\left(t\right)$

其中， ${\psi }_{j,k}\left(t\right)$和 ${\varphi }_{J,k}\left(t\right)$分别为小波函数和尺度函数， $c_{j,k}$为小波系数。再次，经验模态分解(EMD)是一种自适应的信号分解方法。将信号 $x\left(t\right)$分解为若干个本征模态函数(IMF)和一个残余项：

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}IM{F}_i\left(t\right)+r_n\left(t\right)$

对每个IMF分量进行瞬时频率和瞬时幅值分析，可以提取故障特征。Hilbert变换用于计算瞬时频率：

$\omega \left(t\right)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[\arctan \left(\frac{H\left\{IMF\left(t\right)\right\}}{IMF\left(t\right)}\right)\right]$

此外，为了突出脉冲信号的稀疏特性，可以采用稀疏表示方法。设信号 $x$可以用字典 $D$表示为：

$x=D\alpha +n$

其中， $\alpha$为稀疏系数向量， $n$为噪声。通过求解以下优化问题，可以得到最优稀疏表示：

$\underset{\alpha }{\min }{\left|\left|x-D\alpha \right|\left|{}_2^2+\lambda \right|\left|\alpha \right|\right|}_1$

其中， $\lambda$为正则化参数。稀疏系数 $\alpha$的非零元素对应于信号中的脉冲成分。为了评估提取的脉冲信号特征，可以采用峭度(kurtosis)作为衡量指标。对于信号 $y\left(t\right)$，其峭度定义为：

$Kurt\left(y\right)=\frac{E\left\{{\left[y\left(t\right)-\mu \right]}^4\right\}}{{\sigma }^4}$

其中， $\mu$和 $\sigma$分别为信号的均值和标准差， $E\{\cdot \}$表示数学期望。峭度越大，表示信号中脉冲成分越显著。

滤波器的通带频率范围根据轴承故障特征频率 $f_f$确定，计算公式为：

$f_f=\frac{n}{60}\times \frac{z}{2}\left(1-\frac{d}{D}\cos \theta \right)$

其中， $n$为轴的转速(单位：转/分钟)， $z$为滚动体数目， $d$为滚动体直径， $D$为轴承节圆直径， $\theta$为接触角。在我们的实验中，轴承的参数为： $n=1800$转/分钟， $z=8$, $d=10\text{mm}$, $D=\text{50 mm}$, $\theta =0^{\circ }$。计算得故障特征频率 $f_f\approx 72\text{Hz}$。根据计算结果，我们设计了通带为 $\left[50\left|Hz,1000\right|Hz\right]$的带通滤波器，对原始信号进行滤波，得到滤波后信号 $x_f\left(t\right)$。滤波器的传递函数为：

$H\left(s\right)=\frac{s^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$

其中， ${\omega }_n=2\pi f_n$， $f_n$为滤波器的中心频率， $\zeta$为阻尼比。滤波后的信号如 图1 所示。

接下来，为了进一步去除信号中的噪声，我们采用了小波降噪的方法。选取Daubechies 8小波作为母小波，对滤波后的信号 $x_f\left(t\right)$进行小波分解，分解层数为5层。对于每一层的小波系数 $c_j\left(k\right)$，我们采用了软阈值法进行处理。阈值 ${\lambda }_j$的计算采用了Donohue提出的VisuShrink方法 [6] ：

${\lambda }_j={\sigma }_j\sqrt{2\ln N}$

其中， ${\sigma }_j$为第 $j$层小波系数的标准差， $N$为信号长度。阈值处理后的小波系数为：

${\tilde{c}}_j\left(k\right)=sign\left(c_j\left(k\right)\right)\cdot \max \left(\left|c_j\left(k\right)\right|-{\lambda }_j,0\right)$

然后，通过小波重构，得到降噪后的信号 $x_d\left(t\right)$。降噪前后的信号时域波形如 图2 所示。

为了评估去噪效果，我们计算了信号的峭度 $K$，定义为：

$K=\frac{E\left\{{\left[x_d\left(t\right)-\mu \right]}^4\right\}}{{\sigma }^4}$

其中， $\mu$和 $\sigma$分别为信号 $x_d\left(t\right)$的均值和标准差， $E\{\cdot \}$表示数学期望。计算结果显示，降噪后的信 号峭度由降噪前的3.2增加到5.8，表明信号中的脉冲特征得到了增强。

此外，我们还进行了包络解调分析。对降噪后的信号 $x_d\left(t\right)$进行希尔伯特变换，得到信号的包络 $e\left(t\right)$

$e\left(t\right)=\sqrt{x_d{\left(t\right)}^2+{\hat{x}}_d{\left(t\right)}^2}$

其中， ${\hat{x}}_d\left(t\right)$为 $x_d\left(t\right)$的希尔伯特变换。对包络信号 $e\left(t\right)$进行快速傅里叶变换(FFT)，得到其频谱，如 图3 所示。

从频谱中可以清晰地观察到故障特征频率 $f_f\approx \text{72 Hz}$及其倍频成分，这与理论计算结果一致，验证 了信号预处理与去噪方法的有效性 [7] 。

实验数据来自于我们设计的滚动轴承实验台，运行条件为转速1800转/分钟。通过安装在轴承壳体上的加谏度传感器，我们采集了10秒的振动信号，采样频率为10 kHz。为了确保数据的准确性，实验中多次重复测量并平均处理信号。首先，我们从原始信号中计算了均方根值(RMS)和峰值因子(Crest Factor)。正常情况下，轴承的均方根值为0.56，而当出现早期故障时，该值上升到0.75，表明故障产生的冲击信号增大了信号的能量 [8] 。均方根值的公式如下：

$RMS=\sqrt{\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}x{\left(k\right)}^2}$

其中， $x\left(k\right)$表示第 $k$个采样点的信号值， $N$为总采样点数。均方根值的上升预示着轴承内部存在着异常振动源。

其次，我们分析了峰值因子(Crest Factor)，它反映了信号的最大值与均方根值的比率。正常情况下，峰值因子为2.5，而故障发生时上升至3.2，说明故障脉冲信号导致信号峰值的大幅度增长。峰值因子的公式如下：

$CF=\frac{\max \left|x\left(k\right)\right|}{RMS}$

通过比较故障前后的峰值因子，我们可以更直观地识别故障信号的出现。再者，我们使用了峭度(Kurtosis)来检测信号中的非高斯脉冲成分。正常轴承的信号峭度值为3.1，而在故障发生时，峭度值迅速上升至5.7，表明故障引起了明显的冲击脉冲 [9] 。峭度的计算公式为：

$Kurt\left(x\right)=\frac{E\left\{{\left[x\left(k\right)-\mu \right]}^4\right\}}{{\sigma }^4}$

其中， $\mu$为信号的均值， $\sigma$为信号的标准差。高峭度值的出现表明信号中存在强烈的冲击成分，这是 轴承早期故障的典型特征之一。为了进一步验证故障的周期性特征，我们引入了自相关分析方法。自相关函数用于检测信号的周期性变化，特别是脉冲信号的重复频率。在我们的实验中，自相关函数 $R_x\left(\tau \right)$的计算公式为：

$R_x\left(\tau \right)=\frac{1}{N}\underset{k=1}{\overset{N}{{\displaystyle \sum }}}x\left(k\right)x\left(k+\tau \right)$

其中， $\tau$为时延，表示信号在不同时间延迟下的相似度。我们对轴承的振动信号进行了自相关分析，结果显示在故障信号中存在明显的周期性脉冲成分，其周期对应于轴承外圈故障的特征频率。该周期性信号表明，随着滚动体经过损伤部位，振动信号中产生了规律性的脉冲。实验数据还显示了冲击因子(Impact Factor)的变化。正常状态下，冲击因子为4.1，而在故障发生时，这一数值增加到6.5。冲击因子的公式为：

$IF=\frac{\max \left|x\left(k\right)\right|}{\frac{1}{N}{{\displaystyle \sum }}_{k=1}^N\left|x\left(k\right)\right|}$

轴承的频率特征与其结构参数和工作条件密切相关。滚动轴承的常见故障频率可以通过以下公式计算：

1. 滚动体通过外圈故障的特征频率 $f_o$：

$f_o=\frac{n}{2}\times f_r\times \left(1-\frac{d}{D}\cos \theta \right)$

2. 滚动体通过内圈故障的特征频率 $f_i$：

$f_i=\frac{n}{2}\times f_r\times \left(1+\frac{d}{D}\cos \theta \right)$

3. 滚动体旋转频率 $f_b$：

$f_b=\frac{D}{d}\times f_r\times \left(1-{\left(\frac{d}{D}\cos \theta \right)}^2\right)$

其中， $n$为滚动体数目， $f_r$为轴承的旋转频率， $d$为滚动体直径， $D$为轴承节圆直径， $\theta$为接触角。在我们的实验中，轴承的转速为1800转/分钟，对应的旋转频率 $f_r\approx \text{30 Hz}$，根据轴承的具体结构参数计算得出特征频率范围。为了对采集到的信号进行频域分析，我们首先对信号进行快速傅里叶变换(FFT)。快速傅里叶变换的公式为：

$X\left(f\right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}x\left(t\right){\text{e}}^{-j2\pi ft}\text{d}t$

其中， $x\left(t\right)$为时域信号， $X\left(f\right)$为对应的频域信号。通过FFT，我们能够将时域信号分解为频率分 量，并在频谱中找到故障特征频率的位置。

为了对采集到的信号进行频域分析，我们首先对信号进行快速傅里叶变换(FFT)。快速傅里叶变换的公式为：

$X\left(f\right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{{\displaystyle \int }}}x\left(t\right){\text{e}}^{-j2\pi ft}\text{d}t$

其中， $x\left(t\right)$为时域信号， $X\left(f\right)$为对应的频域信号。通过FFT，我们能够将时域信号分解为频率分量，并在频谱中找到故障特征频率的位置。在实验中，轴承的正常运行信号在频谱上主要表现为旋转频率 $f_r$及其倍频成分，这些是由于轴承正常运转所引起的振动。我们对信号进行频谱分析后，发现当轴承出现早期故障时，除了正常的旋转频率成分外，还出现了故障特征频率 $f_o$和 $f_i$及其倍频信号。具体表现为在 $f_o\approx \text{90 Hz}$和 $f_i\approx 120\text{Hz}$附近的频率上出现了明显的频谱峰值，表明外圈和内圈可能存在局部损伤。 为了进一步增强故障特征，我们采用了频谱包络分析技术。包络分析通过希尔伯特变换提取信号的振 幅包络，并对包络信号进行频谱分析。包络信号 $e\left(t\right)$的计算公式为：

$e\left(t\right)=\sqrt{x{\left(t\right)}^2+\hat{x}{\left(t\right)}^2}$

其中， $\hat{x}\left(t\right)$为信号 $x\left(t\right)$的希尔伯特变换。包络信号可以有效提取故障引起的冲击信号，并消除噪声对频谱的干扰。在本实验中，包络频谱分析结果清楚地显示了故障特征频率及其倍频成分。在频域分析的实际应用中，信号的噪声可能掩盖故障特征频率，因此我们还引入了谱峭度分析(Spectral Kurtosis, SK)方法，以提高故障特征频率的检测能力。谱峭度用于衡量频率信号的非平稳性和脉冲性，其公式为：

$SK\left(f\right)=\frac{E\left\{{\left[\left|X\left(f\right)\right|-{\mu }_f\right]}^4\right\}}{{\sigma }_f^4}$

其中， ${\mu }_f$和 ${\sigma }_f$分别为频率 $f$处信号幅值的均值和标准差。谱峭度值高的频率成分通常与故障相关，而背景噪声的谱峭度值较低。在实验中，通过谱峭度分析，我们成功突出显示了故障频率成分并抑制了噪声干扰 [10] 。