根据最小包容区域准则 [10] ，误差评定需建立同轴度误差的数学模型，如 图1 所示。

假设轴承外圆柱面的公共轴线方程为：

$\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}$ (1)

此方程表达了公共轴线上的任意一点，(a, b, c)为轴线上一点的坐标参数；l、m、n为其方向向量。

设基准圆柱面上的一个测点 $\left\{G=\left\{G_i=\left(x_i,y_i,z_i\right),\left(i=0,1,2\cdot \cdot \cdot \right)\right\}\right\}$，根据推导公式可知，测点G到公共轴线的距离可表示为：

$d_i=\sqrt{\frac{{\left(x_i-a\right)}^2+{\left(y_i-b\right)}^2+{\left(z_i-c\right)}^2-{\left[l\left(x_i-a\right)+m\left(y_i-b\right)+n\left(z_i-c\right)\right]}^2}{l^2+m^2+n^2}}$ (2)

可以得出测点G到公共轴线的距离为：

$F\left(a,b,c,l,m,n\right)=\min \left\{d_{\max }-d_{\min }\right\}$ (3)

式中： $d_{\max }$为 $\left\{d_i\right\}\left(i=0,1,2,3\cdot \cdot \cdot \right)$的最大值， $d_{\min }$为 $\left\{d_i\right\}\left(i=0,1,2,3\cdot \cdot \cdot \right)$的最小值。

把被测圆柱面分解成许多截面的圆求得每个圆的圆心位置，如 图2 所示。

假设被测轴承内孔第j个截面的圆心坐标为 $\left(x_j,y_j\right)$，截面圆心方程为：

${\left(x-x_j\right)}^2+{\left(y-y_j\right)}^2=r^2$ (4)

假设实际测量内孔柱面上的一个测点： $\left\{G^{\prime }=\left\{{G^{\prime }}_i=\left({x^{\prime }}_i,{y^{\prime }}_i,{z^{\prime }}_i\right),\left(i=0,1,2\cdot \cdot \cdot \right)\right\}\right\}$，则该坐标到理论圆心的距离为：

${d^{\prime }}_i=\sqrt{{\left({x^{\prime }}_i-x_j\right)}^2-{\left({y^{\prime }}_i-y_j\right)}^2}$ (5)

式中： $\left({x^{\prime }}_i,{y^{\prime }}_i,{z^{\prime }}_i\right)$为第j个截面上实际测量的坐标位置。

被测截面圆心的位置为：

$F\left(x_j,y_j\right)=\min \left\{{d^{\prime }}_{\max }-{d^{\prime }}_{\min }\right\}$ (6)

式中： ${d^{\prime }}_{\max }$为 $\left\{{d^{\prime }}_i\right\}\left(i=0,1,2,3\cdot \cdot \cdot \right)$的最大值， ${d^{\prime }}_{\min }$为 $\left\{d_i^{\text{'}}\right\}\left(i=0,1,2,3\cdot \cdot \cdot \right)$的最小值。

求出了公共轴线位置和被测截面圆心位置，利用式(2)，计算出公共轴线与圆心位置最大距离d_max，则同轴度误差值为：

$f=2\times d_{\max }$ (7)

图3. (a) Rastrigin函数三维图；(b) Ackley函数三维图；(c) Griewank函数三维图；(d) Rosenbrock函数三维图

为了提高轴承同轴度误差评定的精度和效率，本文选择使用粒子群优化(PSO)算法 [11] 。PSO算法是一种模拟鸟类觅食群体智能行为的优化算法，具有收敛快、计算简单等特点。与传统的最小二乘法相比，PSO算法能够更好地应对非线性、多极值的优化问题，因此更适用于复杂的轴承同轴度误差评定。为比较PSO算法(粒子群优化算法)、LDW-PSO算法(惯性权重系数线性递减的粒子群优化算法)和FAA-PSO算法(飞行时间自适应调整的粒子群优化算法)此3种算法在误差评定中优劣，将IPSO算法(改进后的粒子群优化算法)同以上3种算法通过四个经典函数进行测试(函数类型如 表1 所示)。相应取值之间测试函数的三维图如 图3 所示，X和Y坐标表示为函数的取值范围。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)的性能优化可从多个方面着手。首先，可以对初始粒子群的位置和速度进行合理的初始化。其次，合理设置算法参数，如调整惯性权重( $\omega$)、学习因子( $c$)等算法参数的数值，有助于进一步优化算法性能。本文通过对最初的粒子群优化算法中的惯重权数( $\omega$)和学习因子( $c$)的改良，从而达到优化的目的。在选取粒子群算法的参数时，应该根据算法的具体收敛特性来确定合适的参数值，以提高算法的求解效率和精度。根据大量的试验和分析，自适应调整惯性权重的方法能够很好地平衡全局搜索和局部搜索的能力，从而提高算法的性能。因此，将惯性权重采用线性递减的策略，从 图4 可以看出自适应惯性权重在前期使用较大的惯性权重以增强全局搜索能力，随着迭代的进行，逐步降低惯性权重以加强局部搜索能力。经过多次实验，最终将最小惯性权重设置为0.4 (即 ${\omega }_{end}=0.4$)，最大惯性权重设置为0.9 (即 ${\omega }_{start}=0.9$)。

通过对同步学习因子和异步学习因子收敛速度进行实验中得到异步学习因子下可以收敛速度更快，而同步学习因子收敛的速度大致为异步学习因子收敛速度的2.5倍。基于对本课题的研究，选择收敛速度更快的异步学习因子，为了进一步降低算法出现收敛时间增加的概率，采用参数调优的方法来实现。

通过实验和对算法的性能评估，找到目前最优的解决问题的参数设置。在每次迭代中，根据选择的更新策略，动态调整学习因子，利用更新后的学习因子来调整粒子的速度、更新公式。基于此将自我学习因子 $c_1$设置为2.5 ( $c_1=2.5$)，社会学习因子 $c_2$设置为1.0 ( $c_2=1.0$)。通过以上实施过程，对粒子群优化算法的权重系数和学习因子进行改进，可提升算法性能，使其在解决优化问题时更加有效。MATLAB程序中输入初始参数如 表2 所示。

将测试函数在相同的环境下 [12] 进行运行。测试函数空间维度D = 30，最大搜索代数为500。利用Matlab软件运算出函数的迭代次数和成功收敛率。测试函数结果如 表3 所示。

从 表3 可以得出，IPSO算法对应的4个不同的测试函数的迭代次数分别为128、102、116和106，其算法的迭代次数明显少于PSO算法、LDW-PSO算法和FAA-PSO算法。故选用IPSO算法来对实际测量的数据进行误差评定。

根据改进的粒子群优化算法，求解基准圆柱面轴线方程时，适应度函数为：

$F_1=\frac{1}{F\left(a,b,c,l,m,n\right)}=\frac{1}{\min \left(d_{\max }-d_{\min }\right)}$ (8)

使用改进后的粒子群优化算法去搜寻基准圆柱面轴线的精确位置时，其适应度函数为：

$F_2=\frac{1}{F\left(x_j,y_j\right)}\frac{1}{\min \left({d^{\prime }}_{\max }-{d^{\prime }}_{\min }\right)}$ (9)

具体操作步骤如下：

Step1：参数设置 [13] 。设置粒子群规模 $\text{N}=30$，最大惯性权重系数 ${\omega }_{\max }=1.2$，最小惯性权重系数 ${\omega }_{\min }=0.2$。学习因子 $c_1$和 $c_2$的初始值分别为1.5和1.5，学习因子 $c_1$和 $c_2$的迭代终值分别为0.5和2.5，最大搜索代数为500。

Step2：初始化粒子群。随机产生粒子群初始位置(t = 0)时的位置和速度。

$X_i^0=\left(a_i^0,b_i^0,c_i^0,l,m_i^0,n_i^0\right)$

$V_i^0=\left(V_i^{a}0,V_i^{b}0,V_i^{c}0,V_i^{l}0,V_i^{m}0,V_i^{n}0\right)$

$X_i^0=\left(x_i^{j0},y_i^{j0}\right)$ (10)

$V_i^0=\left(V_i^{xj0},V_i^{yj0}\right)$

Step3：计算适应值(同轴度误差)。对于每一个粒子的当前位置，计算其对应的同轴度误差作为适应值。

Step4：更新全局最优位置和个体最优位置。根据当前适应值更新全局最优位置 $P_{\text{gbest}}$和每个粒子的个体最优位置 $P_{\text{ipbest}}$。

Step5：更新粒子的位置和速度。根据粒子的当前位置、速度以及全局与个体最优位置，利用以下公式更新粒子的位置和速度。

Step6：判断是否满足收敛条件。在每次迭代后，检查是否满足收敛条件。如果满足收敛条件，则停止迭代，输出最优解；否则继续迭代。

Step7：重复迭代。若未满足收敛条件，则重复Step3至Step6，直到满足收敛条件为止。

Step8：输出最优解。当满足收敛条件时，输出全局最优位置所代表的同轴度误差最小的参数组合，即为最优解。

改进的粒子群优化算法的操作流程图，如 图5 所示。

采用Micro Plus 866高精度三坐标测量机 [2] [14] 对型号为63082RZC3深沟球轴承内外径进行的测量，该测量机量程为300 mm × 400 mm × 300 mm，空间分辨率为0.1 μm，测量精度可达± (1.2 + L/300) μm (L为被测量程的长度，单位为mm)，实验在恒温恒湿的实验室环境中进行，以确保测量过程中环境因素的稳定性。如 图6 所示为三坐标测量机测量实验的流程图，测得数据如 表4 、 表5 所示。

基于前述的轴承同轴度误差评定模型，采用改进的粒子群优化算法对模型进行求解。

具体实施步骤如下：

1) 输入轴承基准圆柱面轮廓测点和被测圆柱面截面轮廓测量点坐标数据；

2) 利用式(1)~(3)计算基准轴线方程和基准轴线与测点距离；

3) 利用式(4)~(6)计算被测截面圆心轴线位置；

4) 将基准轴线和被测截面圆心轴线位置代入式(7)，计算轴承的同轴度误差。

表6 为10次测试结果，计算得到的两组轴承同轴度平均误差分别为0.0151 mm和0.0161 mm，两组的评定结果相差较小仅为0.001 mm，说明改进粒子群优化算法具有良好的重复性。而采用三坐标测量PC-DIMS软件系统 [15] 自带的最小二乘法评定结果为0.0292 mm，相比于采用改进粒子群优化算法计算出的结果明显增大，结果表明，改进的粒子群优算法能够更准确地评估轴承的同轴度误差，相比于传统的最小二乘法具有更优的性能。

通过进一步分析了测量误差的统计特性。 图7 给出了10次测试结果的正态直方图。可以看出误差服从正态分布，标准差为0.0017 mm。这说明改进粒子群优化算法对测量数据具有较强的鲁棒性，能够有效抑制随机误差的影响。