本文考虑有限简单图 $G=\left(V,E\right)$，同时假设图不变量f是一个非负实函数。图不变量是指图在同构条件下仍然保持不变的一种性质，它往往和图的自身结构和特征有关，不依赖于图的某一种表示。研究图不变量不仅可以让我们深刻理解图的结构特性，还能借此设计算法用于解决图论当中各种各样的问题。文献 [1] - [4] 中发现对给定图的不变量稳定数，可以通过删除点，删除边，增加点以及增加边的方式进行改变。Haynes [3] 等人通过对图G进行删点，删边和加边的方式考虑不变量是否改变，给出了最大度 $\Delta \left(G\right)$，最小度 $\delta \left(G\right)$，独立数 $\alpha \left(G\right)$等不变量的一般性结论。Bauer [4] 等人给出了使得图的独立数增加或减少的条件，同时对图的f-边稳定数 $e{s}_f\left(G\right)$进行了定义，即在图G中能找到一个最小的边集 $E^{\prime }$使得 $f\left(G-E^{\prime }\right)\ne f\left(G\right)$，则有 $e{s}_f\left(G\right)=\left|E^{\prime }\right|$。Kemnitz [5] [6] 等人对色束缚数和边色数相等的图进行考虑，并给出了一般性结论，其中色束缚数指的是任意两个色类之间的最小边数，给出了f-边稳定数上界和下界的一般性结论，考虑了当图G满足 $f={\chi }^{\prime }\left(G\right)$时特定图类的色边稳定数。Akbari [7] 等人在图G满足

$\chi \left(G\right)\in \left\{\Delta \left(G\right),\Delta \left(G\right)+1\right\}$

的条件下证明了

$v{s}_{\chi }\left(G\right)=iv{s}_{\chi }\left(G\right)$

其中 $iv{s}_{\chi }\left(G\right)$是独立色点稳定数，即使得色数 $\chi \left(G\right)$改变的独立集的最小点数；同时也给出了当图G满足

$\chi \left(G\right)\ge \frac{\Delta \left(G\right)+1}{2}$

则有 $v{s}_{\chi }\left(G\right)=e{s}_{\chi }\left(G\right)$成立。

文献 [8] [9] 中根据图的最大度给出了图G边色稳定数的严格上界，并考虑了 $e{s}_{\chi }\left(G\right)=1$的图和k小于等于5的k正则图的特征描述。Kemnitz and Marangio [10] 给出了一些关于f-点稳定数的一般性结论，并利用f-点稳定数对著名的Gallai定理进行了证明，同时关注了色数这一结构参数，通过一系列的图确定了色数点稳定数，其次考虑了色边稳定数和色点稳定数的关系，证明了它们的差和比率可以变成任意大。

本文利用图不变量f的性质，如可加性，可乘性等，进一步给出了笛卡尔积图f-点稳定数的相关结论，在不同条件下，通过f-点稳定数探究了笛卡尔积图与子图之间的关系。第二部分给出了定理证明需要的相关引理以及相关的定义。第三部分给出了笛卡尔积图f-点稳定数的界。

定义2.1 [5] . 设图 $G=H_1\cup H_2$且 $H_1$和 $H_2$是两个互不相交的图。若不变量f满足

$f\left(G\right)=f\left(H_1\cup H_2\right)=f\left(H_1\right)+f\left(H_2\right)$，

则称不变量f具有可加性。

定义2.2. 设图 $G=H_1\cup H_2$且 $H_1$和 $H_2$是两个互不相交的图。若不变量f满足

$f\left(G\right)=f\left(H_1\cup H_2\right)=f\left(H_1\right)\cdot f\left(H_2\right)$，

则称不变量f具有可乘性。

定义2.3 [5] . 设图 $G=H_1\cup H_2$且 $H_1$和 $H_2$是两个互不相交的图。若不变量f满足

$f\left(G\right)=f\left(H_1\cup H_2\right)=\max \left\{f\left(H_1\right),f\left(H_2\right)\right\}$，

则称不变量f具有最大性。

定义2.4. 设图 $G=H_1\cup H_2$且 $H_1$和 $H_2$是两个互不相交的图。若不变量f满足

$f\left(G\right)=f\left(H_1\cup H_2\right)=\min \left\{f\left(H_1\right),f\left(H_2\right)\right\}$，

则称不变量f具有最小性。

定义2.5. 设图的f-点稳定数 $v{s}_f\left(G\right)$定义为

$v{s}_f\left(G\right)=\{\begin{array}{l}\infty ,f\left(G-V^{\prime }\right)=f\left(G\right)且对所有的点子集V^{\prime }\subseteq V\left(G\right);\\ \min \left\{\left|V^{\prime }\right|:V^{\prime }\subseteq V\left(G\right)且f\left(G-V^{\prime }\right)\ne f\left(G\right)\right\},其它.\end{array}$

引理2.6 [10] . 若 $V^{\prime }$是图G的一个点子集，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)$。

定义2.7. 设图H是图G的一个子图，f是一个图不变量，若有

$f\left(G\right)\ge f\left(H\right)$，

则称不变量f是单调递增的；反之，则称不变量f是单调递减的。

定义2.8 [11] . 设 $G_1,G_2$是两个简单图，图G是由 $G_1$和 $G_2$构成的笛卡尔积图，记作

$G=G_1\square G_2$，

其中，定义图G顶点集为

$V\left(G\right)=V\left(G_1\right)\times \left(G_2\right)$，

其边集为

$E\left(G\right)=\left\{\left(u_1,v_1\right)\left(u_2,v_2\right):u_1=u_2且v_1{v}_2\in E\left(G_2\right)\vee v_1=v_2且u_1{u}_2\in E\left(G_1\right)\right\}$。

定理3.1. 设 $H_1,H_2$是两个互不相交的图， $G=H_1\square H_2$且不变量f满足可加性。若图G中存在一个点集 $V^{\prime }$使得 $G-V^{\prime }=H_i\cup G^{\prime }$， $i=1,2$，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。

证明 若图 $H_i\left(i=1,2\right)$中找不到任何点集使得 $f\left(H_i\right)$改变，由定义可知 $v{s}_f\left(H_i\right)=\infty$，结论显然成立。

设

$v{s}_f\left(H_1\right)=\min \left\{v{s}_f\left(H_1\right):i=1,2\right\}$，

令 $V^{″}\subseteq V\left(H_1\right)$是图 $H_1$的一个点子集，使得 $v{s}_f\left(H_1\right)=\left|V^{″}\right|$，则有

$f\left(H_1-V^{″}\right)\ne f\left(H_1\right)$。

现设图G存在一个点子集 $V^{\prime }$且 $G-V^{\prime }=H_1\cup G^{\prime }$，根据不变量f的可加性条件，得到

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }-V^{″}\right)=f\left(\left(H_1-V^{″}\right)\cup G^{\prime }\right)=f\left(H_1-V^{″}\right)+f\left(G^{\prime }\right)\\ \ne f\left(H_1\right)+f\left(G^{\prime }\right)=f\left(H_1\cup G^{\prime }\right)\\ =f\left(G-V^{\prime }\right)\end{array}$

由定义可知

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=v{s}_f\left(H_1\right)$，

根据引理2.6有

$v{s}_f\left(G\right)\le v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)+\left|V^{\prime }\right|\le v{s}_f\left(H_1\right)+\left|V^{\prime }\right|$。

同理当 $G-V^{\prime }=H_2\cup G^{\prime }$时，有

$v{s}_f\left(G\right)\le v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)+\left|V^{\prime }\right|\le v{s}_f\left(H_2\right)+\left|V^{\prime }\right|$，

则

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。 □

定理3.2. 设 $H_1,H_2$是两个互不相交的图， $G=H_1\square H_2$，不变量f满足可乘性且非零。若图G中存在一个点集 $V^{\prime }$使得 $G-V^{\prime }=H_i\cup G^{\prime }$， $i=1,2$，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。

证明 若 $v{s}_f\left(H_i\right)=\infty$， $i=1,2$，则结论显然成立。

现证 $v{s}_f\left(H_i\right)<\infty$的情况，令

$v{s}_f\left(H_1\right)=\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$，

若存在点子集 $V^{″}\subseteq V\left(H_1\right)$，使得 $v{s}_f\left(H_1\right)=\left|V^{″}\right|$，则

$f\left(H_1-V^{″}\right)\ne f\left(H_1\right)$。

由于图G是 $H_1,H_2$构成的笛卡尔积图，存在一个点子集 $V^{\prime }\in V\left(G\right)$，使得 $G-V^{\prime }=H_1\cup G^{\prime }$。根据不变量f的可乘性条件且非零，则

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }-V^{″}\right)=f\left(\left(H_1-V^{″}\right)\cup G^{\prime }\right)=f\left(H_1-V^{″}\right)\cdot f\left(G^{\prime }\right)\\ \ne f\left(H_1\right)\cdot f\left(G^{\prime }\right)=f\left(H_1\cup G^{\prime }\right)\\ =f\left(G-V^{\prime }\right)\end{array}$

由定义可知

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=v{s}_f\left(H_1\right)$，

根据引理2.6有

$v{s}_f\left(G\right)\le v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)+\left|V^{\prime }\right|\le v{s}_f\left(H_1\right)+\left|V^{\prime }\right|$。

同理当

$v{s}_f\left(H_2\right)=\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$，

有

$v{s}_f\left(G\right)\le v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)+\left|V^{\prime }\right|\le v{s}_f\left(H_2\right)+\left|V^{\prime }\right|$，

得

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。 □

定理3.3. 设 $H_1,H_2$是两个互不相交的图， $G=H_1\square H_2$，不变量f满足最大性。若图G中存在一个点集 $V^{\prime }$使得 $G-V^{\prime }=H_i\cup G^{\prime }$且 $f\left(H_i\right)>f\left(G^{\prime }\right)$， $i=1,2$，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。

证明 根据引理2.6有

$v{s}_f\left(G\right)\le v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)+\left|V^{\prime }\right|$，

只需证

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。

若 $v{s}_f\left(H_i\right)=\infty$， $i=1,2$，结论显然成立。

现设

$\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}=v{s}_f\left(H_1\right)$，

令 $V^{″}$是图 $H_1$的点子集，使得 $v{s}_f\left(H_1\right)=\left|V^{″}\right|$，则有

$f\left(H_1-V^{″}\right)\ne f\left(H_1\right)$。

又根据不变量f的最大性条件，有

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }\right)=f\left(H_1\cup G^{\prime }\right)=\max \left\{f\left(H_1\right),f\left(G^{\prime }\right)\right\}=f\left(H_1\right)\\ \ne \max \left\{f\left(H_1-V^{″}\right),f\left(G^{\prime }\right)\right\}\\ =f\left(G-V^{\prime }-V^{″}\right)\end{array}$

由定义可得

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=v{s}_f\left(H_1\right)$。

同理当

$\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}=v{s}_f\left(H_2\right)$，

有

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=v{s}_f\left(H_2\right)$，

则

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。 □

定理3.4. 设 $H_1,H_2$是两个互不相交的图， $G=H_1\square H_2$，不变量f满足最小性。若图G中存在一个点集 $V^{\prime }$使得 $G-V^{\prime }=H_i\cup G^{\prime }$且 $f\left(H_i\right)<f\left(G^{\prime }\right)$， $i=1,2$，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。

证明 若 $v{s}_f\left(H_i\right)=\infty$， $i=1,2$，则结论成立。

设存在 $v{s}_f\left(H_i\right)<\infty$，可以令

$\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}=v{s}_f\left(H_1\right)$，

若 $V^{″}$是一个点子集且 $V^{″}\subseteq V\left(H_1\right)$，使得 $v{s}_f\left(H_1\right)=\left|V^{″}\right|$，则有

$f\left(H_1-V^{″}\right)\ne f\left(H_1\right)$。

根据不变量f的最小性条件，有

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }\right)=f\left(H_1\cup G^{\prime }\right)=\min \left\{f\left(H_1\right),f\left(G^{\prime }\right)\right\}=f\left(H_1\right)\\ \ne \min \left\{f\left(H_1-V^{″}\right),f\left(G^{\prime }\right)\right\}\\ =f\left(G-V^{\prime }-V^{″}\right)\end{array}$

因此，可得

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=v{s}_f\left(H_1\right)$。

同理当

$\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}=v{s}_f\left(H_2\right)$，

有

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=v{s}_f\left(H_2\right)$，

则

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_i\right):i=1,2\right\}$。 □

通过上述定理可知，我们考虑的是两个不交图构成的笛卡尔积图，由此可以推广到多个不交图所构成的笛卡尔积图的f-点稳定数。

定理3.5. 设不变量f满足可加性且非零， $G_1=H_{11}\cup H_{12}\cup \cdots \cup H_{1n}$， $G_2=H_{21}\cup H_{22}\cup \cdots \cup H_{2m}$， $n,m$是正整数，并且它们的子图都是互不相交的。令 $G=G_1\square G_2$，若图G存在一个点子集 $V^{\prime }$使得 $G-V^{\prime }=G_t\cup G^{\prime }$， $t=1,2$，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_{tk}\right),\left|V\left(H_{tk}\right)\right|,v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|:t=1且1\le k\le n\vee t=2且1\le k\le m\right\}$。

证明 根据引理2.6，只需证

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \min \left\{v{s}_f\left(H_{tk}\right),\left|V\left(H_{tk}\right)\right|,v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|:t=1且1\le k\le n\vee t=2且1\le k\le m\right\}$。

当 $t=1$时，有

$G-V^{\prime }=G_1\cup G^{\prime }$，

当 $v{s}_f\left(H_{1n}\right)<\infty$且 $v{s}_f\left(G^{\prime }\right)<\infty$，令

$\min \left\{v{s}_f\left(H_{tk}\right),\left|V\left(H_{tk}\right)\right|,v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|:t=1且1\le k\le n\vee t=2且1\le k\le m\right\}=v{s}_f\left(H_{1k}\right)$，

其中 $1\le k\le n$，令 $V^{″}$是一个点子集且 $V^{″}\subseteq V\left(H_{1k}\right)$，使得 $v{s}_f\left(H_{1k}\right)=\left|V^{″}\right|$，则有

$f\left(H_{1k}-V^{″}\right)\ne f\left(H_{1k}\right)$。

又根据不变量f的可加性条件，得

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }-V^{″}\right)=f\left(H_{11}\right)+f\left(H_{12}\right)+\cdots +f\left(H_{1k}-V^{″}\right)+\cdots +f\left(H_{1n}\right)+f\left(G^{\prime }\right)\\ \ne f\left(H_{11}\right)+f\left(H_{12}\right)+\cdots +f\left(H_{1k}\right)+\cdots +f\left(H_{1n}\right)+f\left(G^{\prime }\right)\\ =f\left(G-V^{\prime }\right)\end{array}$

由定义有

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{″}\right|=vs\left(H_{1k}\right)$。

若

$\min \left\{v{s}_f\left(H_{tk}\right),\left|V\left(H_{tk}\right)\right|,v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|:t=1且1\le k\le n\vee t=2且1\le k\le m\right\}=\left|V\left(H_{1k}\right)\right|$，

其中 $1\le k\le n$，则 $v{s}_f\left(H_{1k}\right)=\infty$。不变量f满足可加性且不为零，有

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }-V\left(H_{1i}\right)\right)=f\left(H_{11}\right)+f\left(H_{12}\right)+\cdots +f\left(H_{1k-1}\right)+f\left(H_{1k+1}\right)+\cdots +f\left(G^{\prime }\right)\\ \ne f\left(H_{11}\right)+f\left(H_{12}\right)+\cdots +f\left(H_{1k}\right)+\cdots +f\left(G^{\prime }\right)\\ =f\left(G-V^{\prime }\right)\end{array}$

得

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V\left(H_{1k}\right)\right|$。

同理，当 $t=2$或

$\min \left\{v{s}_f\left(H_{tk}\right),\left|V\left(H_{tk}\right)\right|,v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|:t=1且1\le k\le n\vee t=2且1\le k\le m\}\right\}=\min \left\{v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|\right\}$，

得

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \min \left\{\left|V\left(H_{2k}\right)\right|,v{s}_f\left(H_{2k}\right)\right\}$或 $v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \min \left\{v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|\right\}$

根据引理2.6，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+\min \left\{v{s}_f\left(H_{tk}\right),\left|V\left(H_{tk}\right)\right|,v{s}_f\left(G^{\prime }\right),\left|V\left(G^{\prime }\right)\right|:t=1且1\le k\le n\vee t=2且1\le k\le m\right\}$。 □

定理3.6. 设不变量f单调递增且满足最大性， $G_1=H_{11}\cup H_{12}\cup \cdots \cup H_{1n}$， $G_2=H_{21}\cup H_{22}\cup \cdots \cup H_{2m}$， $n,m$是正整数，它们的子图都互不相交。令 $G=G_1\square G_2$，存在一个点子集 $V^{\prime }\subseteq V\left(G\right)$使得 $G-V^{\prime }=G_t\cup G^{\prime }$， $t=1,2$，且 $f\left(G-V^{\prime }\right)\ne f\left(G^{\prime }\right)$。若 $f\left(H_{ts}\right)=f\left(G-V^{\prime }\right)$， $s,l$是正实数且 $1\le s\le l<n$或m，则有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+{\displaystyle {\sum }_{s=1}^l\min \left\{v{s}_f\left(H_{ts}\right),\left|V\left(H_{ts}\right)\right|\right\}}$。

证明 根据引理2.6，只需证

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le {\displaystyle {\sum }_{s=1}^l\min \left\{v{s}_f\left(H_{ts}\right),\left|V\left(H_{ts}\right)\right|\right\}}$。

当 $t=1$时，令 $V^{\prime }$是一个点子集且 $V^{\prime }\subseteq V\left(G\right)$，使得

$G-V^{\prime }=G_1\cup G^{\prime }=H_{11}\cup H_{12}\cup \cdots \cup H_{1n}\cup G^{\prime }$，

设图 $H_{1s}$是图 $G-V^{\prime }$的子图， $s=1,2,\cdots ,l$，当 $v{s}_f\left(H_{1s}\right)=\infty$时，令

$Y_s=V\left(H_{1s}\right)$；

当 $v{s}_f\left(H_{1s}\right)<\infty$时，存在一个点子集 $Y_s\in V\left(H_{1s}\right)$使得 $\left|Y_s\right|=v{s}_f\left(H_{1s}\right)$，令

$f\left(H_{1s}-Y_s\right)\ne f\left(H_{1s}\right)$。

设T是一个点子集且 $T\subseteq V\left(G-V^{\prime }\right)$，使得 $T=Y_1\cup Y_2\cup \cdots \cup Y_l$，则

$\left|T\right|={\displaystyle {\sum }_{s=1}^l\min \left\{v{s}_f\left(H_{1s}\right),\left|V\left(H_{1s}\right)\right|\right\}}$，

根据不变量f的单调递增且满足最大性条件，有

$\begin{array}{l}f\left(G-V^{\prime }-T\right)=\max \left\{f\left(H_{11}-Y_1\right),f\left(H_{12}-Y_2\right),\cdots ,f\left(H_{1l}-Y_l\right),f\left(H_{1l+1}\right),\cdots ,f\left(H_{1n}\right),f\left(G^{\prime }\right)\right\}\\ \ne \max \left\{f\left(H_{11}\right),f\left(H_{12}\right),\cdots ,f\left(H_{1l}\right),f\left(H_{1l+1}\right),\cdots ,f\left(H_{1n}\right),f\left(G^{\prime }\right)\right\}\\ =f\left(G-V^{\prime }\right)\end{array}$

由定义得

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|T\right|={\displaystyle {\sum }_{s=1}^l\min \left\{v{s}_f\left(H_{1s}\right),\left|V\left(H_{1s}\right)\right|\right\}}$。

当 $t=2$时，同理可得

$v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|T\right|={\displaystyle {\sum }_{s=1}^l\min \left\{v{s}_f\left(H_{2s}\right),\left|V\left(H_{2s}\right)\right|\right\}}$，

根据引理2.6有

$v{s}_f\left(G\right)\le \left|V^{\prime }\right|+v{s}_f\left(G-V^{\prime }\right)\le \left|V^{\prime }\right|+{\displaystyle {\sum }_{s=1}^l\min \left\{v{s}_f\left(H_{ts}\right),\left|V\left(H_{ts}\right)\right|\right\}}$。 □

本文通过图不变量的性质，研究了笛卡尔积图不变量点稳定数的界。近些年，关于不变量稳定数的研究也是热点问题之一，本文丰富了在笛卡尔积图方面的研究成果。目前关于图的不变量稳定数有较多结论，如图的色点稳定数、色边稳定数等，本文只考虑了笛卡尔积图不变量点稳定数，相对应的笛卡尔积图不变量边稳定数也可以进行研究。

新疆自然科学基金项目(2024D01A89, 2022D03002)；国家自然科学基金地区科学基金项目(11961070)。

^*通讯作者。