归一化变量公式(NVF)是描述和分析高分辨率(HR)格式的一个框架，其由Leonard [10] 引入。NVF是基于局部归一化变量的面公式，用于构造面f处的变量 ${\varphi }_f$，该方法会用到 ${\varphi }_U$上游点(upwind)， ${\varphi }_C$中点(central)， ${\varphi }_D$下游点(downwind)的节点值，如 图1 所示。

归一化变量表达式为

$\hat{\varphi }=\frac{\varphi -{\varphi }_U}{{\varphi }_D-{\varphi }_U}$ (8)

根据归一化关系，可得

${\varphi }_f=f\left({\varphi }_U,{\varphi }_C,{\varphi }_D\right)$ (9)

易知 ${\hat{\varphi }}_U=0$， ${\hat{\varphi }}_D=1$，上述公式可化简为

${\hat{\varphi }}_f=f\left({\hat{\varphi }}_C\right)$ (10)

可知 ${\hat{\varphi }}_f$的值只依赖于 ${\varphi }_C$的归一化值 ${\hat{\varphi }}_C$。

常见的线性高阶格式可以统一写为

${\varphi }_f={\varphi }_C+\left[\frac{1+K}{4}\left({\varphi }_D-{\varphi }_C\right)+\frac{1-K}{4}\left({\varphi }_C-{\varphi }_U\right)\right]$ (11)

对式(11)中的K赋不同的值就可得到不同的高阶格式，其中 $K\in \left[-1,1\right]$。

将式(11)正则化得

${\hat{\varphi }}_f=\left(1-\frac{K}{2}\right){\hat{\varphi }}_C+\frac{1}{4}\left(1+K\right)$ (12)

Godunov-Ryabenki [6] 定理表明，高阶线性格式不能保持单调性，会产生非物理振荡。因此要想保证解不会出现非物理振荡，需对高阶线性格式施加有界性从而产生高分辨率格式。Lau和Gaskell基于NVF提出了对流有界准则CBC [1] ，其后Yu等人 [12] 和Huo等人 [13] 进一步提出NVF形式下的BAIR (Boundedness Accuracy and Interpolative Reasonableness)准则。

$\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}{\hat{\varphi }}_C\le f\left({\hat{\varphi }}_C\right)\le \frac{1}{2}\left(1+{\hat{\varphi }}_C\right),0<{\hat{\varphi }}_C<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\left(1+{\hat{\varphi }}_C\right)\le f\left({\hat{\varphi }}_C\right)\le \frac{3}{2}{\hat{\varphi }}_C\text{and}f\left({\hat{\varphi }}_C\right)\le 1,\frac{1}{2}\le {\hat{\varphi }}_C<1\\ {\hat{\varphi }}_f={\hat{\varphi }}_C,{\hat{\varphi }}_C\le 0\\ {\hat{\varphi }}_f={\hat{\varphi }}_C,{\hat{\varphi }}_C\ge 1\end{array}$ (13)

此外，TVD性质的表达式可以在NV公式中改写为

$\{\begin{array}{l}{\hat{\varphi }}_f\le 1,{\hat{\varphi }}_f\in \left[{\hat{\varphi }}_C,2{\hat{\varphi }}_C\right],0<{\hat{\varphi }}_C<1\\ {\hat{\varphi }}_f={\hat{\varphi }}_C,{\hat{\varphi }}_C\le 0\\ {\hat{\varphi }}_f={\hat{\varphi }}_C,{\hat{\varphi }}_C\ge 1\end{array}$ (14)

图2 是CBC-BAIR条件和TVD约束准则。

在NV公式中，HR格式的一般形式可以写为： ${\hat{\varphi }}_f=f\left({\hat{\varphi }}_C\right)$。 图2 中的阴影区域描述了TVD约束和BAIR条件之间的关系。从 图2 中可以看出，所有已知的线性高阶方案的特征线都超出了NV图中的CBC (BAIR)和TVD区域，要想使用NVD来构造高分辨率有限体积格式，要求其的特征线必须落在NV图中的CBC (BAIR)和TVD区域内，才能满足对流有界性 [14] 。则有

1) 特征线在NV图中必须过点 $\left(0,0\right),\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right),\left(1,1\right)$

2) 在点 $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$处有二阶局部截断误差

3) 满足 $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}K$，同时与相应的K格式具有相同的精度

4) $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(0\right)={\theta }_1,\frac{3}{2}\le {\theta }_1\le 2\\ f^{\prime }\left(1\right)={\theta }_2,0\le {\theta }_1\le \frac{1}{2}\end{array}$

上述构造过程使得满足BAIR准则的CBC格式也同时可以具备TVD性质，使得数值计算稳定性得

以加强。本文中令 ${\theta }_1=\frac{17}{10}$， ${\theta }_2=\frac{3}{10}$， $K=\frac{1}{3}$，根据以上的条件，利用Hermite插值设计一个四阶多项式

作为该方案的特征线。

${\hat{\varphi }}_f=\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}{\hat{\varphi }}_C\left(12{\hat{\varphi }}_C^3-24{\hat{\varphi }}_C^2+5{\hat{\varphi }}_C+17\right),0<{\hat{\varphi }}_C<1\\ {\hat{\varphi }}_C,\text{elsewhere}\end{array}$ (15)

图3 中红色的曲线为BAIR区域内的高分辨率格式的NV线。通过 图3 可以看出，构造的高分辨率格式既满足BAIR条件，也满足TVD约束。

杂交格式构造的关键是设法得到一个有效的杂交因子，它可以有效分辨解的光滑区域与间断区域。在间断附近的计算，杂交格式转换为可以已知数值振荡的高分辨率格式，在光滑解区域，杂交格式保持线性高阶格式的特征。具体而言，本文的高阶线性格式使用三阶QUICK，高分辨率格式使用2.1节构造的高分辨率格式。

${\bar{u}}_j$为单元 $I_j$上的积分平均值，在模板 $S_0=\left\{I_{j-2},I_{j-1},I_j\right\},S_1=\left\{I_{j-1},I_j,I_{j+1}\right\},S_2=\left\{I_j,I_{j+1},I_{j+2}\right\}$上构造二次重构多项式分别记为 $P_k\left(x\right),k=0,1,2$，满足

$\frac{1}{\text{Δ}x}{\displaystyle {\int }_{I_{j+k+i-3}}{P}_k\left(x\right)\text{d}x}={\bar{u}}_{j+k+i-3},k=0,1,2,i=0,1,2$ (16)

为了在解的光滑区域获得更高的数值精度，选定大模板 $S_5=\left\{I_{j-2},I_{j-1},I_j,I_{j+1},I_{j+2}\right\}$，在5点模板 $S_5$上构造四次重构多项式 $P\left(x\right)$，且满足

$\frac{1}{\text{Δ}x}{\displaystyle {\int }_{I_{j+i}}P\left(x\right)\text{d}x}={\bar{u}}_{j+i},i=-2,-1,0,1,2,$ (16)

上式在 $I_j$边界处满足

$p\left(x_{j+\frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{2}{\sum }}{c}_k{P}_k}\left(x_{j+\frac{1}{2}}\right)$ (18)

其中 $c_k$为线性权，光滑因子 ${\beta }_k^{}$ [15] 取为

${\beta }_k={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{2}{\sum }}\text{Δ}{x}^{2l-1}}{\displaystyle {\int }_{I_j}{\left(\frac{{\text{d}}^l}{\text{d}{x}^l}{P}_k\left(x\right)\right)}^2\text{d}x}$ (19)

对于均匀网格，3个光滑因子的计算结果为

$\begin{array}{l}{\beta }_0^{}=\frac{13}{12}{\left({\bar{u}}_{j-2}-2{\bar{u}}_{j-1}+{\bar{u}}_j\right)}^2+\frac{1}{4}{\left({\bar{u}}_{j-2}-4{\bar{u}}_{j-1}+3{\bar{u}}_j\right)}^2\\ {\beta }_1^{}=\frac{13}{12}{\left({\bar{u}}_{j-1}-2{\bar{u}}_j+{\bar{u}}_{j+1}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left({\bar{u}}_{j-1}-{\bar{u}}_{j+1}\right)}^2\\ {\beta }_2^{}=\frac{13}{12}{\left({\bar{u}}_j-2{\bar{u}}_{j+1}+{\bar{u}}_{j+2}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left(3{\bar{u}}_j-4{\bar{u}}_{j+1}+{\bar{u}}_{j+2}\right)}^2\end{array}$ (20)

下面定义新的计算权重的方法如下

${\alpha }_k=\frac{{\tau }_5}{{\beta }_k+\text{epsilon}},k=\left\{0,1,2\right\}$ (21)

其中 ${\tau }_5$由Borges等人 [16] 提出的一个新的光滑因子，定义为 ${\beta }_0$和 ${\beta }_2$的绝对差值

${\tau }_5^{}=\left|{\beta }_0^{}-{\beta }_2^{}\right|$ (22)

满足

1) 如果5点模板不包含间断点，则 ${\tau }_5\ll {\beta }_k$

2) 如果解在 $S_k=\left(x_{j-2+k},x_{j-1+k},x_{j+k}\right),k=0,1,2$是连续的，但在整个 $S_5$中是不连续的，则 ${\beta }_k\ll {\tau }_5$

3) ${\tau }_5>\min \left({\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2\right)$

因此，杂交因子定义如下

$\theta =\left|\frac{1}{1+{\left({\displaystyle \sum {\alpha }_k}\right)}^2}-1\right|$ (23)

对于包含不连续面的模板，我们可以得出

${\displaystyle \underset{k}{\sum }{\alpha }_k}\gg 1$ (24)

此时

$\theta \approx 1$ (25)

而对于那些光滑模版，光滑度量因子 ${\beta }_k$和 ${\tau }_5$在 $x_i$处进行泰勒展开，可得

$\begin{array}{l}{\beta }_0={u^{\prime }}_j^2\text{Δ}{x}^2+\left(\frac{13}{12}{{u^{\prime }}^{\prime }}_j^2-\frac{2}{3}{u^{\prime }}_j{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j\right)\text{Δ}{x}^4+\left(-\frac{13}{6}{{u^{\prime }}^{\prime }}_j{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j+\frac{\text{1}}{\text{2}}{u^{\prime }}_j{{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j\right)\text{Δ}{x}^5+{\rm O}\left(\text{Δ}{x}^6\right)\\ {\beta }_1={u^{\prime }}_j^2\text{Δ}{x}^2+\left(\frac{13}{12}{{u^{\prime }}^{\prime }}_j^2-\frac{2}{3}{u^{\prime }}_j{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j\right)\text{Δ}{x}^4+{\rm O}\left(\text{Δ}{x}^6\right)\\ {\beta }_2={u^{\prime }}_j^2\text{Δ}{x}^2+\left(\frac{13}{12}{{u^{\prime }}^{\prime }}_j^2-\frac{2}{3}{u^{\prime }}_j{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j\right)\text{Δ}{x}^4+\left(\frac{13}{6}{{u^{\prime }}^{\prime }}_j{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j-\frac{\text{1}}{\text{2}}{u^{\prime }}_j{{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j\right)\text{Δ}{x}^5+{\rm O}\left(\text{Δ}{x}^6\right)\end{array}$ (26)

${\tau }_5=\left|\frac{13}{3}{{u^{\prime }}^{\prime }}_j{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j-{u^{\prime }}_j{{{{u^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }}_j\right|\text{Δ}{x}^5+{\rm O}\left(\text{Δ}{x}^6\right)$ (27)

以及

${\alpha }_k=\frac{{\tau }_5}{{\beta }_k+eps}=\{\begin{array}{l}{\rm O}\left(\text{Δ}{x}^3\right),u^{\prime }\ne 0\\ {\rm O}\left(\text{Δ}x\right),u^{\prime }=0\end{array}$ (28)

我们可以得到 $\theta$截断误差为

$\theta =\left|\frac{1}{1+{\left({\displaystyle \underset{k}{\sum }{\alpha }_k}\right)}^2}-1\right|=\left(\frac{1}{1+{\rm O}\left(\text{Δ}{x}^p\right)}\right)-1,p=\{\begin{array}{l}\text{6,}{u}^{\prime }\ne 0\\ \text{2,}{u}^{\prime }=0\end{array}$ (29)

上式表明，在光滑模板上， $\theta$是0的低阶近似值。很明显

$0<\theta <1$ (30)

事实上，杂交因子可以写成一般形式

$\theta \left(x\right)=\left|\frac{1}{1+x^2}-1\right|$ (31)

其中 $x={\displaystyle \underset{k}{\sum }{\alpha }_k}$。

基于杂交因子 $\theta$，我们采用以下方法来构造保极值的杂交格式来逼近界面值，其格式如下

$F_{Hybrid}=\theta F_{HR}+\left(1-\theta \right)F_{QUICK}$ (32)

其中 $F_{HR}$表示2.1节构造的高分辨率格式， $F_{QUICK}$表示高阶线性QUICK格式。

显然在光滑的地方的 $\theta$值更接近0，这时使用线性高阶格式，杂交格式为三阶精度。而在间断的地方 $\theta$的值更接近1，杂交格式使用高分辨率格式。此时 $\theta ={\rm O}\left(\text{Δ}{x}^2\right)$同样满足杂交格式的精度是三阶的。

$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0$ (35)

在 $a=1$时，对不同的初始条件进行了数值实验并验证数值格式的精度及准确性。

给定光滑初值条件 $u\left(x,0\right)=\sin \left(2\pi x\right)$，在区间 $\left[-1,1\right]$上具有周期边界条件。对于精度测试， $L_1$误差、 $L_2$误差、 $L_{\infty }$误差的计算时间为 $T=0.1$， $CFL=0.1$。将高分辨率格式、QUICK格式以及杂交格式的数值解进行比较，计算网格数分别取 $N=\text{10}$、20、40、80、160。

$L_1$误差、 $L_2$误差、 $L_{\infty }$误差以及精度阶(见 表1 )，格式的精度计算阶公式如下

${\Vert E\Vert }_{L_P}={\left(\text{Δ}x{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}{\left|{\bar{u}}_i\left(\text{computed}\right)-{\bar{u}}_i\left(\text{exact}\right)\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{P}},p=1,2$ (36)

${\Vert E\Vert }_{L{}_{\infty }}=\underset{1\le i\le N}{\max }\left|{\bar{u}}_i\left(\text{computed}\right)-{\bar{u}}_i\left(\text{exact}\right)\right|$ (37)

$\text{order}=\frac{\ln \frac{E_N}{E_{2N}}}{\ln 2}$ (38)

由 表1 ，对于光滑解问题，三种格式的 $L_1\text{,}{L}_2,L_{\infty }$误差随着剖分网格的不断加密在不断的减小而且杂交格式可以达到三阶精度。与高分辨率格式及QUICK格式相比较可知，杂交格式在光滑极值点处有较好的近似效果。

给定间断复合初始条件

$u\left(x,0\right)=\{\begin{array}{l}1,1\le x\le 3\\ x-4,4\le x\le 5\\ -x+6,5\le x\le 6\\ \cos \left(0.5\pi \left(x-8\right)\right),7\le x\le 9\\ \exp \left(-4.5{\left(x-11\right)}^2\right),10\le x\le 12\\ 0,\text{elsewhere}\end{array}$

其中，求解区域是 $\left[0,20\right]$， $CFL=0.1$， $T=0.5$， $N=400$。从 图4(a) 可知，QUICK格式间断解处仍存在一定的数值耗散，高分辨率格式在光滑极值点处存在降阶现象。而和 图4(b) 中精确解(红色实线)相比，可以看出，杂交格式在不连续点附近没有产生非物理振荡。

图4. 比较QUICK格式、高分辨率格式和杂交格式的数值解与准确解

选取如下的W形间断复合初始条件

$u\left(x,0\right)=\{\begin{array}{l}1,0\le x\le 0.2\\ 4x-\frac{3}{5},0.2\le x\le 0.4\\ -4x+\frac{13}{5},0.4\le x\le 0.6\\ 1,0.6\le x\le 0.8\\ 0,\text{elsewhere}\end{array}$

计算区间 $\left[-0.5,2.5\right]$， $N=800$， $T=1.0$， 图5 将QUICK、高分辨率格式和杂交格式的数值解与准确解进行了比较。

从 图5(a) 中蓝色可知，高分辨率格式在间断处的近似效果良好， 图5(a) 中绿色可知，QUICK格式在大梯度附近产生非物理振荡，而 图5(b) 中，杂交格式的结果表明，杂交因子可以有效地判断间断使得杂交格式在不连续点附近没有非物理振荡，与精确解的结果逼近效果良好。

图5. 非光滑初值条件(a) HR和QUICK；(b) 杂交

$u\left(x,0\right)=\{\begin{array}{l}\sin \left(2\pi x\right),x\in \left[0.3,0.8\right]\\ \cos \left(2\pi x\right)-0.5,\text{elsewhere}\end{array}$

求解区域是 $\left[0,1\right]$， $CFL=0.5$， $T=0.1$，在 $N=80$、 $N=160$对杂交格式的数值解与准确解进行了比较。 图6 可以看出杂交格式在不连续点附近不存在非物理振荡，且随着网格的加密和格式精度上升，精确解的吻合度越来越高。

由 图6 对比可以发现，杂交格式在计算Riemann初值问题时具有良好的效果，杂交格式下的数值解在间断区域没有非物理振荡，而且在光滑极值点处克服了降阶现象。

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{u^2}{2}\right)=0\\ u\left(x,0\right)=0.5+\sin \pi x\end{array}$ (39)

周期性边界条件 $0\le u\le 2$， $0\le t\le T$。

其中时间步长 $\text{Δ}t=CFL\frac{\text{Δ}x}{\underset{i}{\max }\left(\left|u_i\right|\right)}$。如 图7 所示计算域为 $\left[0，2\right]$，取 $CFL=0.5$， $N=400$进行计算。 图7(b) 中可以看出，杂交格式在不连续点附近没有产生非物理振荡。

图7. 比较杂交格式的数值解与精确解(a) $T=\frac{1}{\pi }$; (b) $T=\frac{1.5}{\pi }$

图7(a) 中看出，在时刻 $T=\frac{1}{\pi }$时无间断， 图7(b) 中看出，在时刻 $T=\frac{1.5}{\pi }$处产生间断。杂交格式下的数

值解在光滑解处可以保持原有高精度，在间断解处未产生非物理振荡，且具有较好的分辨率。随着网格的细化，数值解近似于精确解。

$\{\begin{array}{l}{u}_t+{\left(\frac{4u^2}{4u^2+{\left(1-u\right)}^2}\right)}_x=0\\ u\left(x,0\right)=\{\begin{array}{l}1,x\in \left[-0.5,0\right]\\ 0,\text{otherwhere}\end{array}\end{array}$ (40)

时间步长 $\text{Δ}t=CFL\frac{\text{Δ}x}{\underset{i}{\max }\left(\left|u_i\right|\right)}$，取 $CFL=0.5$，并将计算求解区域 $\left[-1,1\right]$等分为200份。 图8 中的红色

实线为该方程在五阶WENO格式下的数值解。利用杂交格式数值计算该方程，时间 $T=0.4$，得到逼近结果如 图8 的蓝色圆圈。

图8 将Buckley-Leverett 方程在杂交格式下的数值解和精确解作比较，不难发现，杂交格式下的数值解能够很好的模拟精确解，在间断附近也可以很好地抑制非物理振荡，且杂交因子可以有效的分辨出间断区域与光滑区域。