用于测量多能量X射线透射信号的测量系统是本文实验中使用的XRT智能分类平台，该平台是由我们实验室先前开发的，其横截面示意图如 图1 所示。主要组件包括扇形X射线源、具有20至160 keV能量响应范围的线性阵列PCD，以及一个传送带。X射线源距传送带下方43.5厘米，线性阵列PCD距传送带上方约57厘米。在这项工作中，X射线管的电压设置为160 kV，电流设置为1 mA。

本研究使用了pitch为0.8 mm的1 × 128像素的CdTe线性阵列PCD，该款探测器由Detection Technology公司研发，型号为ME3。可通过配套软件，设置为High Energy Resolution (HER)模式。HER模式可将从20 keV至160 keV的X射线能谱划分为128个能量区间。该探测器由半导体材料制成，将吸收的光子能量转换为电荷。当X射线光子进入探测器时，它们与探测器的相互作用产生电子–空穴对的电荷云。电荷云可以被电场引导到像素电极处，形成一个脉冲 [8] 。在理想情况下，由单个光子生成的一个电荷云垂直进入一个像素电极并生成一个脉冲。 图2 展示了探测器的单个像素中的情况。在半导体的电极之间施加高电压偏置。由此产生的电场使电荷云在电极上集中。到达像素电极的电子电荷云产生一个信号，该信号被放大并转换为电压，电压信号经由“脉冲整形器”塑造成一个脉冲。整形后的脉冲随后被发送到一个“比较器”，该比较器通过脉冲的高度测量能量值。然后，“计数器”测量有多少个脉冲的波高超过预设的能量阈值。在读出时间结束时，每个通道的测量值是在设定的阈值水平以上检测到的光子数量( 图2(a) )，这意味着最终可以得到128个能量区间，如 图2(b) 所示。

图2. 基于光子计数探测器的X射线信号检测原理图

本研究使用的标准测试体为100 mm*100 mm的高纯铜板(Cu含量 ≥ 99.99%)，100 mm*100 cm高纯铁板(Fe含量 ≥ 99.9%)和直径为14 mm的石片测试体。其中，石片测试体，由铜铁伴生矿石，经过粉碎机粉碎成粉末，并由压片机压制成直径为14毫米的不同厚度的石片测试体。 图3 展示了铜样品，铁样品以及石头样品。 图4 展示了制作石片测试体的仪器，粉碎机和压片机。 表1 展示了选取的铜样本，铁样本，以及石片样本的厚度。为采集铜，铁，石头不同厚度叠加的X射线衰减数据，将不同厚度的测试体进行了排列组合，共产生128种排列组合。排列组合情况见 图5 。

图3. 铜、铁和石材样本

本研究使用了ME3探测器配套的软件开发包(SDK)，开发了自定义代码，生成了包含128个能量区间信息的X射线图像。如 图6 所示。

衰减系数是描述X射线穿过物质时强度衰减的重要参数。本研究旨在通过实验测量的透射数据，计算穿透铜、铁、石料的衰减系数，为进一步分析其厚度提供依据。Lambert-Beer’s law [9] (见公式(1))描述了X射线透过物体时的衰减规律。其中 $I_0$表示没有样品时的探测器计数值，I表示X射线穿透样品后测量得到的探测器计数值。

$I\left(E\right)=I_0\left(E\right){\text{e}}^{-\mu \left(E\right)t}$ (1)

经过变换，可获得公式(2)。

$\tau \left(E\right)=\ln \frac{I_0\left(E\right)}{I\left(E\right)}=\mu \left(E\right)$ (2)

在公式(2)中， $\tau \left(E\right)$是光学厚度， $I_0\left(E\right)$和 $I\left(E\right)$分别表示没有样品时的探测器计数值和X射线穿透样品后测量得到的探测器计数值，E是光子能量， $\mu \left(E\right)$是材料的能量依赖性衰减系数，t是材料厚度。

该公式仅在单色X射线 [10] 条件下成立。在单色条件下， $\mu \left(E\right)$是物质的固有属性，光学厚度 $\tau \left(E\right)$与厚度t呈线性关系。

然而，在多色X射线条件下，普通的单能或双能X射线探测器会在用户选择的积分时间内，对沉积在每个像素上的总能量进行积分测量。这意味着探测器记录的是像素内的总能量沉积，而非实际的能量谱分布。因此，在多色条件下，公式(2)中的材料属性项 $\mu \left(E\right)$和厚度项t无法解耦。

这一局限性导致，在单个二维投影中，薄的高密度材料和厚的低密度材料难以区分，从而限制了多色X射线成像的直接应用。

为了解决这一问题，本文通过使用光子计数探测器(PCD)，将20 keV至160 keV的能谱范围划分为128个能量区间，并假设每个区间的X射线近似为单色。

这一假设的合理性源于PCD的工作原理，其能够以高精度分辨并计数入射光子的能量，从而实现对能谱的精细划分。然而，该近似假设仅在所选择的能量区间足够窄且光谱硬化效应 [11] [12] 可以忽略的情况下成立。若能量区间较宽，则可能导致显著偏差。

为了计算每个能量区间的光学厚度 $\tau \left(E\right)$，我们开发了一种图像切割工具。对于铜板和铁板，该工具能够在每个能量区间切割出大小为64 × 64的图像切片，每个切片包含4096个像素。这些切片分为两类：一类是无材料时的切片，另一类是X射线透过材料后的切片。切割后的图像如 图7 所示，其中图 图7(a) 展示了bin1能量区间中无材料的切片， 图7(b) 则展示了该能量区间下，X射线透过1 mm铜板后的切片。由于石片直径仅为14 mm，从石片中切割出的切片包含的像素数量明显少于铜板和铁板，切片大小为28 × 28，共784个像素。由于不同厚度的铜板、铁板和石片共有128种厚度组合，每种厚度组合下包含128个能区的切片，每个能区又包括无材料时的切片和X射线透过材料后的切片，因此总共会产生 128 × 128 × 2 = 32,768个切片。

图7. 经过图像切割工具切割后生成的图像切片

通过公式( 3 )，可以利用切割后的图像数据计算每个能区的光学厚度 ${\tau }_i$。

${\tau }_i=\ln \left(\frac{{\displaystyle \underset{p}{\overset{N}{\sum }}{I}_{0,i,p}}}{{\displaystyle \underset{p}{\overset{N}{\sum }}{I}_{i,p}}}\right)\left(1\le i\le 128\right)$ (3)

其中，i表示能量区间的索引，p表示图像中像素的索引， $I_{0,i,p}$表示对应能量区间i和像素p处没有物质时的探测器计数值， $I_{i,p}$表示对应能量区间i和像素p处有物质时的探测器计数值。

根据公式( 3 )，我们计算了1~10 mm (步进1 mm)铜样品和铁样品在全部128个能区的 $\tau$，以及石片样品在不同厚度(2 mm, 4 mm, 6.5 mm, 9 mm, 11.5 mm, 14 mm, 17.5 mm, 20.5 mm, 24.5 mm)下的全部128个能区的 $\tau$。

针对每个能区，我们计算了在不同厚度下的光学厚度 $\tau$，并使用Python对每个能区在所有厚度上的数据拟合了 $y=ax$形式的直线(其中y表示光学厚度 $\tau$，x表示厚度t，a表示衰减系数 $\mu \left(E\right)$)。为了衡量拟合的优度，我们使用了 $R^2$值，定义为：

$R^2={\left(\frac{{\displaystyle \sum \left(y_{\text{true}}-{\bar{y}}_{\text{true}}\right)}\left(y_{\text{pred}}-{\bar{y}}_{\text{pred}}\right)}{\sqrt{{\displaystyle \sum {\left(y_{\text{true}}-{\bar{y}}_{\text{true}}\right)}^2}{\displaystyle \sum {\left(y_{\text{pred}}-{\bar{y}}_{\text{pred}}\right)}^2}}}\right)}^2$ (4)

$R^2$是拟合曲线与实际数据之间的相关性的度量，值越接近1，表示拟合效果越好。对于铜、铁和石片样品，我们分别选取了拟合结果中 $R^2$值最高的前8个 $\mu \left(E\right)$系数，以确定拟合效果最好的衰减系数(即线性度最佳)。通过这种方法，我们获得了每个样品在各个能区的 $\mu \left(E\right)$系数。

对于铜、铁和石片样本，我们从8个拟合效果最好的能区中选取了前2个能区对应的函数拟合曲线作为展示。铜样本的拟合曲线见 图8 ，铁样本的拟合曲线见 图9 ，石样本的拟合曲线见 图10 。

图8. 铜样本的最佳线性拟合曲线

图9. 铁样本的最佳线性拟合曲线

图10. 石样本的最佳线性拟合曲线

通过分析铜、铁和石头的光学厚度数据，已选取线性度最优的各自前8个能区的衰减系数 $\mu \left(E\right)$。由于铜、铁和石头的线性度较好的能区存在重叠，因此对选取的 $\mu \left(E\right)$取并集，共获得19个独立的 $\mu \left(E\right)$，分别为 $\mu \left(E_{\text{bin}39}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}41}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}45}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}51}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}59}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}63}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}70}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}73}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}75}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}76}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}77}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}78}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}79}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}80}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}81}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}83}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}84}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}85}\right)$， $\mu \left(E_{\text{bin}89}\right)$。通过公式(5)，在理想情况下，可以解出铜板厚度、铁板厚度和石片厚度。

$\{\begin{array}{l}\tau \left(E_{\text{bin}39}\right)={\mu }_{\text{Cu}}\left(E_{\text{bin}39}\right)t_{\text{Cu}}+{\mu }_{\text{Fe}}\left(E_{\text{bin}39}\right)t_{\text{Fe}}+{\mu }_{\text{Stone}}\left(E_{\text{bin}39}\right)t_{\text{Stone}}\hfill \\ \tau \left(E_{\text{bin}41}\right)={\mu }_{\text{Cu}}\left(E_{\text{bin}41}\right)t_{\text{Cu}}+{\mu }_{\text{Fe}}\left(E_{\text{bin}41}\right)t_{\text{Fe}}+{\mu }_{\text{Stone}}\left(E_{\text{bin}41}\right)t_{\text{Stone}}\hfill \\ \tau \left(E_{\text{bin}\text{45}}\right)={\mu }_{\text{Cu}}\left(E_{\text{bin}\text{45}}\right)t_{\text{Cu}}+{\mu }_{\text{Fe}}\left(E_{\text{bin}\text{45}}\right)t_{\text{Fe}}+{\mu }_{\text{Stone}}\left(E_{\text{bin}\text{45}}\right)t_{\text{Stone}}\hfill \\ \tau \left(E_{\text{bin}51}\right)={\mu }_{\text{Cu}}\left(E_{\text{bin}51}\right)t_{\text{Cu}}+{\mu }_{\text{Fe}}\left(E_{\text{bin}51}\right)t_{\text{Fe}}+{\mu }_{\text{Stone}}\left(E_{\text{bin}51}\right)t_{\text{Stone}}\hfill \\ ⋮\hfill \\ \tau \left(E_{\text{bin}\text{89}}\right)={\mu }_{\text{Cu}}\left(E_{\text{bin}\text{89}}\right)t_{\text{Cu}}+{\mu }_{\text{Fe}}\left(E_{\text{bin}\text{89}}\right)t_{\text{Fe}}+{\mu }_{\text{Stone}}\left(E_{\text{bin}\text{89}}\right)t_{\text{Stone}}\hfill \end{array}$ (5)

在许多相关文献中 [13] - [15] ，公式(5)通常用于材料分解，即通过已知厚度的切片解算物质成分。在这种方法中，衰减系数 $\mu \left(E\right)$可以在特定厚度下较为精确地测量。然而，本研究通过巧妙地拟合衰减系数 $\mu \left(E\right)$，有效地减弱了其与厚度之间的耦合性，使其趋向于厚度无关量。更进一步，我们创新性地将公式(5)应用于厚度估计中。

然而，根据理论公式(6)计算的理论值 ${\tau }_{\text{ideal}}$，与实际测得的 ${\tau }_{\text{actual}}$存在一定差异(见 图11 )。以bin39为例， 图11 展示了在bin39下 ${\tau }_{\text{ideal}}$和 ${\tau }_{\text{actual}}$的差异。横坐标表示从实验数据中获得的980个数据条目，每个条目对应不同厚度的铜、铁和石片的衰减叠加组合所产生的 $\tau$。这种差异可能来源于噪声的影响，以及拟合得到的 $\mu \left(E\right)$未能完全去除非线性因素的影响。如果此时直接将 ${\tau }_{\text{actual}}$带入公式(5)，并使用Python中scipy库的nnls非负最小二乘法函数进行计算，则实际厚度值与计算出的厚度值之间会产生显著差异，如 图12 所示。

${\tau }_{\text{ideal}}\left(E\right)={\mu }_{\text{Cu}}\left(E\right)t_{\text{Cu}}+{\mu }_{\text{Fe}}\left(E\right)t_{\text{Fe}}+{\mu }_{\text{Stone}}\left(E\right)t_{\text{Stone}}$ (6)

图12. 基于实际 ${\tau }_{\text{actual}}$的实际和计算厚度的比较

为了消除 ${\tau }_{\text{ideal}}$与 ${\tau }_{\text{actual}}$的差异，去除潜在的噪声与非线性因素影响，我们定义了公式(7)。其中，函数 $\mathcal{G}$用于一定程度上消除噪声和非线性因素的干扰，从而得到处理后的衰减系数 ${\tau }_{\text{processed}}$。

${\tau }_{\text{processed}}=\mathcal{G}\left({\tau }_{\text{actual}}\right)$ (7)

神经网络作为一种强大的工具，能够有效地拟合输入与输出之间的关系，因此可用于拟合函数 $\mathcal{G}$。

此前，我们已获得铜、铁、石片在128种厚度组合下的32,768个切片数据。基于这些切片数据，我们进行了数据增强，以生成用于训练神经网络模型的数据集。

数据增强方法如下：

若厚度组合中不包含石切片(即仅包含铜切片、铁切片或铜铁叠加切片)，针对这些切片(大小为64 × 64)，按边缘像素逐步减少1个像素的趋势向内缩进，进行尺度缩放。例如：64 × 64、62 × 62、60 × 60……直到10 × 10，共生成28个切片。通过不同尺度的无材料时切片和X射线透过材料后的切片，并应用公式(3)，对于每个厚度组合，可以得到28个衰减向量，每个衰减向量对应其在128个能区的衰减系数 $\tau$。

针对包含石切片的厚度组合(大小为28 × 28)，采用随机选择法，从每个切片中随机选取400个像素，迭代选择28次。这样，对于每个厚度组合，同样可以生成28个衰减向量。

至此，对于128个厚度组合，每个厚度组合将生成28条衰减向量数据，数据总条目为3584，构成输入数据。标签数据则通过此前拟合出的 $\mu \left(E\right)$和公式(6)计算得到 ${\tau }_{\text{ideal}}$。同样地，针对128个厚度组合，生成包含 ${\tau }_{\text{ideal}}$的标签数据，共3584条。

为保证数据集和验证集的种类多样性，首先将数据集整体划分为7类：仅铜板数据、仅铁板数据、仅石片数据、铜板 + 铁板数据、铜板 + 石片数据、铁板 + 石片数据，以及铜板 + 铁板 + 石片数据。每个类别中包含不同厚度的组合数据。然后，在每个类别中随机划分70%的数据到训练集，30%的数据到验证集。最终，训练集占整体数据的70%，验证集占30%。这一划分方法不仅确保了训练集和验证集都涵盖各种叠加情况，从而保证了数据的多样性，还通过不同厚度组合的划分，避免了训练集与验证集的重叠，从而有助于验证模型的泛化能力。

最终，训练集包含2604条数据，验证集包含980条数据。

经过上述数据处理后，我们构建了一个神经网络模型对数据进行训练与评估，具体结果将在3.1节中详细讨论。

在完成数据集的准备和划分工作后，我们对数据进行了神经网络建模与训练，以验证模型的性能并实现目标变量的预测。

所构建的神经网络模型包含输入层和输出层，节点数均为19，表示网络的输入和输出维度。模型设计了两个隐藏层，每个隐藏层包含128个节点。损失函数选用均方误差损失函数(MSELoss)，训练上限为10,000个epoch。为了避免过拟合，训练过程中引入早停策略：若验证集损失(val loss)在连续1000个epoch内未出现下降，则提前终止训练。

经训练，模型在验证集上的最终损失(val loss)为0.00199，表明网络具有较强的泛化能力，并能有效地适应不同的数据模式。

在 图11 中，我们展示了训练前 ${\tau }_{\text{actual}}$与 ${\tau }_{\text{ideal}}$的对比。为了进一步评估模型的性能， 图13 展示了训练后 ${\tau }_{\text{processed}}$与 ${\tau }_{\text{ideal}}$的对比(以bin39为例)。通过与 图11 的对比，我们可以清晰地看到模型在训练后如何有效调整其参数，从而更好地拟合 ${\tau }_{\text{ideal}}$。这种对比验证了模型优化的效果，并且训练后参数的接近度显著提升，表明模型在处理实际数据时具有更强的泛化能力，能够更准确地预测和调整实际观测结果。

图14. 基于处理后的 ${\tau }_{\text{processed}}$的实际和计算厚度的比较

在验证集上，我们将神经网络模型预测的 ${\tau }_{\text{processed}}$代入Python的scipy库中的非负最小二乘函数(nnls)，分别计算出铜板、铁板和石片在不同厚度组合叠加时的厚度。厚度计算结果如 图14 所示，并且计算了铜板、铁板和石片的RMSE。RMSE (Root Mean Squared Error)是一种衡量预测值与实际值之间差异的标准。其值越小，表示模型的预测效果越好。在本研究中，我们计算了铜板、铁板和石片的RMSE值，分别用于评估模型在不同材料上的预测精度，见 表2 。结果显示，通过 ${\tau }_{\text{processed}}$计算得到的厚度与实际值具有较高的一致性，表明模型对参数的拟合效果较好。与 图12 的厚度估计结果相比， 图14 的厚度估计表现出极大的提升，显著减少了偏差，展现了模型在处理实际数据中的强大能力。通过 图14 可以看出，相比于铜和铁的厚度估计，石头厚度的估计稍显不足，具体表现为厚度估计误差较大的数据条目相对更多。进一步分析其原因，可能与石片测试体的制作方式有关。由于测试体为人工手动制作，其密度分布可能存在不均，从而引入了额外误差。然而，由于石头的密度较小，在实际应用中，石头厚度估计的误差对整体结果的影响较为有限，且在一定程度上可以被抵消。