DMF的结构如 图1 所示。它由第一质量、第二质量、启动环齿轮、传动法兰、长弧弹簧、弧护套、摩擦板、密封盘和轴承组成 [7] 。启动环齿轮通过过盈配合与第一质量体连接。第一质量通过螺栓连接到发动机曲轴末端的法兰上，法兰通过铆钉连接到第二质量上，第二质量与离合器总成通过螺栓固定连接。第一质量总成通过低刚度圆弧弹簧与第二质量总成连接，并可相互相对旋转。当发动机曲轴旋转时，带动第一质量总成通过凸台压缩电弧弹簧，电弧弹簧的另一端推动传力法兰两侧的侧耳，带动第二质量总成旋转，实现动力从发动机到变速箱的动力传动系统。

为了减少传动系统的振动，在低扭矩期间，弹簧需要低刚度。另一方面，当高扭矩通过发动机传递时，需要高刚度。因此本文所涉及双质量飞轮为两级刚度弧弹簧结构 [8] 如 图2 所示，由外弧弹簧和内弧弹簧组成。外弧弹簧的刚度 $k_1$较小，而内弧弹簧刚度 $k_2$较大。内圆弧弹簧嵌套在外圆弧弹簧中。当弹簧处于自由状态时，内外弧弹簧的分布间隙为 ${\theta }_1$。在DMF中有一个角间隙 ${\theta }_0$，如 图2 所示。法兰不接触圆弧弹簧，此时DMF扭转刚度为0。

1. 发动机怠速运转或小负荷运转时，外圆弧弹簧的压缩变形小于 ${\theta }_1$；因此，DMF只有一个外圆弧弹簧来传递扭矩。

2. 发动机在重载下工作时，外圆弧弹簧的压缩变形大于 ${\theta }_1$，DMF的内、外圆弧弹簧并联传递扭矩。

综上所述，可以得到DMF的非线性刚度模型：

$K\left(\theta \right)=\{\begin{array}{lll}{k}_2\left(\theta -{\theta }_1\right)+k_1\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)\hfill & \hfill & \theta >{\theta }_1\hfill \\ k_1\left(\theta -{\theta }_0\right)\hfill & \hfill & {\theta }_0<\theta <{\theta }_1\hfill \\ 0\hfill & \hfill & -{\theta }_0<\theta <{\theta }_0\hfill \\ k_1\left(\theta +{\theta }_0\right)\hfill & \hfill & -{\theta }_1<\theta <-{\theta }_0\hfill \\ k_2\left(\theta +{\theta }_1\right)-k_1\left({\theta }_1-{\theta }_0\right)\hfill & \hfill & \theta <-{\theta }_1\hfill \end{array}$ (1)

式中， $\theta$为DMF的相对角位移， $K\left(\theta \right)$为非线性扭弹性力函数。上式可进一步写为

$K\left(\theta \right)=\alpha k_1\theta +f\left(\theta \right)$ (2)

其中 $\alpha =k_2/k_1$， $f\left(\theta \right)=\left(\left(\alpha -1\right)/2\right)k_1\left(\left|\theta -{\theta }_1\right|-\left|\theta +{\theta }_1\right|\right)+\left(1/2\right)k_1\left(\left|\theta -{\theta }_0\right|-\left|\theta +{\theta }_0\right|\right)$。

摩擦阻尼力矩为两部分的共同作用结果 [9] ，一部分为弧形弹簧与轨道产生的摩擦力矩 $T_{ci}$，另一部分为摩擦盘所产生的基础摩擦阻尼力矩 $T_{fi}$。

库仑摩擦阻尼的数学表达式为 $T_m=\left(T_{ci}+T_{fi}\right)\mathrm{sgn}\left(\stackrel{\dot{}}{\theta }\right)$

$\text{sgn}\left(\Delta \stackrel{\dot{}}{\theta }\right)=\{\begin{array}{ll}1\hfill & \Delta \stackrel{\dot{}}{\theta }\ge 0\hfill \\ -1\hfill & \Delta \stackrel{\dot{}}{\theta }<0\hfill \end{array}$ (3)

其中sgn为符号函数。

双质量飞轮的扭转特性是由弹性回复力矩与摩擦阻尼力矩共同作用的结果，即：

$T_c=T\left(\theta \right)+\left(T_{ci}+T_{fi}\right)\mathrm{sgn}\left(\Delta \stackrel{\dot{}}{\theta }\right)$ (4)

通过分析DMF的非线性因素，根据牛顿第二定律，可以得到DMF的非线性振动方程如下：

根据以上工作建立其动力学方程：

$\{\begin{array}{l}{J}_1{\ddot{\theta }}_1+\alpha k_1\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)+f\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)+C_2\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)+\left(T_{ci}+T_{fi}\right)\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)=T_1\\ J_2{\ddot{\theta }}_2-\alpha k_1\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)-f\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)-C_2\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)-\left(T_{ci}+T_{fi}\right)\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)=-T_2\end{array}$ (5)

将上式两自由度系统同时除以 $J_1$和 $J_2$，即得到：

$\{\begin{array}{l}{\ddot{\theta }}_1+\frac{\alpha k_1}{J_1}\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)+\frac{f\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)}{J_1}+\frac{C_2}{J_1}\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)+\frac{T_{ci}+T_{fi}}{J_1}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)=\frac{T_1}{J_1}\\ {\ddot{\theta }}_2-\frac{\alpha k_1}{J_2}\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)-\frac{f\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)}{J_2}-\frac{C_2}{J_2}\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)-\frac{T_{ci}+T_{fi}}{J_2}\mathrm{sgn}\left({\stackrel{\dot{}}{\theta }}_1-{\stackrel{\dot{}}{\theta }}_2\right)=-\frac{T_2}{J_2}\end{array}$ (6)

设 $x={\theta }_1-{\theta }_2$， $J=\frac{J_1+J_2}{J_1{J}_2}$， $c=C_{2}J$， $k=k_{1}J$， $T_1=T_0+T_p\sin \omega t$， $T_m=\frac{T_0}{J_1}+\frac{T_2}{J_2}$， $T_p=\frac{T_p}{J_1}$则上式可化为

$J\ddot{x}+c\stackrel{\dot{}}{x}+\alpha k_{1}x+f\left(x\right)+M_0\mathrm{sgn}\left(x\right)=T_m+T_p\sin \left(\omega t\right)$ (7)

设 ${\omega }_n=\sqrt{\alpha k_1/J},\xi =c/2\sqrt{\alpha k_{1}J},g\left(x\right)=f\left(x\right)/J,{\bar{M}}_0=M_0/J,F_m=T_m/J,F_p=T_p/J$， $c=C_{2}J,T_1=T_0+T_p\sin \omega t,F_0=\frac{T_0}{J_1}+\frac{T_2}{J_2},F_p=\frac{T_p}{J_1}$

则上式可化为

$\ddot{x}+2w_n\xi \stackrel{\dot{}}{x}+w_n^{2}x+g\left(x\right)+{\bar{M}}_0\mathrm{sgn}\left(x\right)=F_m+F_p\sin \left(\omega t\right)$ (8)

根据文献 [10] 中有关双质量飞轮扭转减振器的研究，参考其文献资料，选取系统参数 $J=0.0495,k_1=3.2,\alpha =3.4375,c=0.005,{\theta }_0=9,{\theta }_1=45,F_m=10,F_p=10$。为了分析系统的全局动力学特性，研究系统周期运动的稳定性和存在区域，选择定周期面构建Poincaré映射。以 $\omega$为分岔参数，采用四阶变步长的龙格–库塔法(Runge-Kutta)对系统的微分方程进行数值求解 [11] ，取初始计算步长 $\Delta h=0.1\text{s}$，变步长误差限 $\epsilon ={10}^{-6}$，舍去前500个周期以消去瞬态响应，得出如 图3 所示的系统分岔图。

图3 呈现了系统激励频率 ${\omega }_n\in \left[9,20\right]$时全局的分岔图以及部分局部分岔图，从图中可以看出，随着激励频率 $\omega$的增大，系统发生了擦切分岔、跳跃分岔、倍化分岔、逆倍化分岔等动力学行为，使得系统经历了单周期运动、拟周期运动、多周期运动和混沌运动。在 $\omega \in \left[9,11.726\right]$范围内，系统动力学行为较为复杂，系统多次经过跳跃分岔、倍化分岔进入混沌，取激励频率 $\omega =11.6$，系统相轨迹为在相平面内的闭合曲线簇，Poincaré映射图为许多无规则分布的离散点，如 图4(a) 所示。在此运动状态下，系统稳定性较差，双质量飞轮第一质量与第二质量之间的冲击力变化大，产生较大的振动和噪声，严重危害系统稳定性和安全。在 $\omega \in \left[12.594,17.941\right]$范围内，系统由单周期运动状态发生跳跃分岔为二周期运动状态，此后系统经历二周期–三周期–二周期–三周期–七周期–单周期的运动形式变化，当 $\omega =15$时，系统处于二周期运动状态，Poincaré映射图和时间历程图如 图4(b) ，当 $\omega =16$时，系统处于三周期运动状态，Poincaré映射图和时间历程图如 图4(c) 。在 $\omega \in \left[11.726,12.594\right]$和 $\omega \in \left[17.941,20\right]$范围内系统表现为一直处于单周期运动状态，在激励频率 $\omega =19$系统相图为一条轨迹闭合的曲线，Poincaré映射图为一个投影点，时间历程图的轨迹周期为1，如 图4(d) 所示，验证了系统当激励频率 $\omega \in \left[11.726,12.594\right]$和 $\omega \in \left[17.941,20\right]$范围内系统表现为一直处于单周期运动状态，在时间历程图上看，系统最大位移较小，系统运行较为平稳。

图4. 系统相图，Poincaré映射图和时间历程图

为了更好的分析双质量飞轮传动系统的非线性动力学特性，提高双质量飞轮系统的运行稳定性。减小系统在运行时受到的不稳定冲击，选取出能使双质量飞轮系统达到最佳工作状态的参数区间。为此，我们需要分别研究系统参数刚度幅值、阻尼系数、等效惯性比等对双质量飞轮系统动力学特性的影响，分析各参数在不同激励频率下的分岔特性。

在本小节中，以激励频率 $\omega$作为分岔参数，选取刚度幅值的分析区间为 $k_1\in \left[0.6,4\right]$，通过控制变量法 [12] ，绘制不同刚度幅值 $k_1$下系统的全局分岔图，以此来研究刚度幅值 $k_1$对系统动力学特性的影响。为分析方便，定义激励频率 $\omega \in \left[9,11.726\right]$的区间为系统的低频区，区间 $\omega \in \left[11.726,17.941\right]$为系统的中频区，区间 $\omega \in \left[17.941，20\right]$为系统的高频区。系统在不同刚度幅值 $k_1$下系统的全局分岔图如 图5(a)~(f) 所示。

如图 图5(a)~(f) 可见，随着系统刚度幅值 $k_1$的增大，系统的分岔特性逐渐趋于复杂化。首先分析低频区系统的动态特性，结合 图5(a)~(f) 可以看出，当 $k_1=0.6$时，在整个区间范围内，系统一直处于周期1运动状态。当 $\omega =18.582$时，系统发生跳跃分岔，位移幅值增大。当刚度幅值增大到 $k_1=1.2~4.0$时，系统在低频区的混沌区域逐渐增多，且混沌区域向中频区移动。

接下来分析系统在中频区域 $\omega \in \left[11.726,17.941\right]$的动态特性，在 $k_1=0.6$和 $k_1=1.2$时，系统一直处于周期1运动状态。在 $k_1=1.8$时，系统由低频区域混沌状态退化到周期2运动状态，而后通过跳跃分岔到周期1运动状态，此后在 $\omega =13.206$时通过倍化分岔变为周期二运动，后通过逆倍化分岔变为周期1运动。在 $k_1=2.4~4.0$时，系统出现混沌状态，且区域逐渐增大，系统运动状态不稳定。

最后分析系统在高频区域的动态特性，由 图5(d)~(f) 可知，当系统处于高频区，系统混沌状态基本消失，系统基本处于在周期1、周期3、周期5的运动状态。

本小节中将研究系统的阻尼系数对系统动态特性的影响，选取阻尼系数的分析区间为 $\xi \in \left[0.01,0.2\right]$。沿用控制变量法原理绘制阻尼系数 $\xi$下系统的全局分岔图，以此来研究阻尼系数 $\xi$对系统动力学特性的影响。为分析方便，依旧定义激励频率 $\omega \in \left[9,11.726\right]$的区间为系统的低频区，区间 $\omega \in \left[11.726,17.941\right]$为系统的中频区，区间 $\omega \in \left[17.941,20\right]$为系统的高频区。系统在不同阻尼系数 $\xi$下系统的全局分岔图如 图6(a)~(f) 所示。

如 图6(a)~(f) 可见，随着系统阻尼系数 $\xi$的增大，系统的运动特性趋于稳定化。当阻尼系数 $\xi$增大到 $\xi =0.2$时，其系统在低频区的混沌区域逐渐消失，且混沌区域仅在中频区域 $\omega =12.506$时短暂出现，此后系统在高频区域一直处于周期1运动状态，表明系统趋于稳定。

系统等效惯性比J的变化也会影响系统的动态响应，保持其他参数固定不变，仅使系统等效惯性比J在区间 $[0.04,0.15]$内变化，取激励频率 $\omega$为分岔参数，以此来研究系统的等效惯性比对系统动态特性的影响。同样的，依旧定义激励频率 $\omega \in \left[9,11.726\right]$的区间为系统的低频区，区间 $\omega \in \left[11.726,17.941\right]$为系统的中频区，区间 $\omega \in \left[17.941,20\right]$为系统的高频区。系统在等效惯性比J下系统的全局分岔图如 图7(a)~(f) 所示。

图7. 不同等效惯性比J下系统的分岔图

如 图7(a)~(f) 可见，随着系统等效惯性比J的增大，系统在低频区域的运动特性逐渐稳定为周期运动。当等效惯性比J增大到 $J=0.15$时，系统在高频区域的动力学行为，且混沌区域仅在中频区域 $\omega =12.506$和15.648时短暂出现，此后系统在高频区域一直处于周期1运动状态，表明系统趋于稳定。