模型参考自适应系统(MRAS)采用闭环自适应观测机制，其结构框架包含三个核心模块：标准参考模块、参数可调模块及动态调节单元，如 图1 所示的技术架构。该观测器具备动态收敛特性，其运行机理建立在双模型动态匹配原理之上——标准参考模块采用确定参数体系，而参数可调模块则内置待辨识变量集合，通过实时参数优化实现系统状态追踪 [3] 。

该系统的核心运行机理体现为双通道信号处理架构：当外部激励信号同步输入至双模型通道时，观测器将生成具有对比价值的双路状态量。通过构建状态量差异函数，动态调节单元将生成参数修正指令，以迭代方式优化可调模块的待辨识变量 [4] 。这种渐进式误差衰减机制使得可调模型输出持续逼近参考模型，最终实现对外部激励信号的动态跟踪能力。特别值得注意的是，该闭环调节过程具备自主参数整定特性，通过构建李雅普诺夫能量函数可证明其全局渐近稳定性，理论上保证系统误差在有限时间内收敛至预设阈值范围内 [5] 。

永磁同步电机通过abc/dq变换后，在d-q坐标系下的定子电压方程如下式：

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_d=R_s{i}_d+L_d\frac{d{i}_d}{dt}-n_p{\omega }_r{L}_q{i}_q\\ u_q=R_s{i}_q+L_q\frac{d{i}_q}{dt}+n_p{\omega }_r{L}_d{i}_d+n_p{\omega }_r{\Psi }_r\end{array}\end{array}\end{array}$ (1)

在公式(1)中：u_d和u_q分别代表定子绕组的直轴和交轴电压，而i_d与i_q则为对应的直轴和交轴电流；ω_r表示转子机械角速度，L_d和L_q分别对应直轴与交轴的电感参数，R_s指代定子绕组电阻，Ψ_r表征永磁体产生的转子磁链，n_p则代表电机的极对数。通过引入前馈补偿控制策略，能够有效消除d-q轴间的耦合效应。鉴于表贴式永磁同步电机具有均匀气隙结构特征，其直轴与交轴电感呈现等值关系(L_d = L_q = L_s)。基于此特性，从式(1)可推导出定子电流的状态方程表达式：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{i}_d}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L_s}{i}_d+n_p{\omega }_r{i}_q+\frac{1}{L_s}{u}_d\\ \frac{\text{d}{i}_q}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L_s}{i}_q-n_p{\omega }_r\left(i_d+\frac{{\Psi }_r}{L_s}\right)+\frac{1}{L_s}{u}_q\end{array}$ (2)

整理后可得定子电流标准形式状态方程，并令 ${i^{\prime }}_d=i_d+\left({\Psi }_r/L_s\right)$， $i{\prime }_q=i_q$， ${u^{\prime }}_d=u_d+\left(R_s/L_s\right){\Psi }_r$， ${u^{\prime }}_q=u_q$，合并简化后可得状态空间表达式：

$\begin{array}{c}\frac{d{i}^{\prime }}{dt}=A{i}^{\prime }+B{u}^{}\end{array}$ (3)

其中：

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{i}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{i^{\prime }}_d\\ {i^{\prime }}_q\end{array}\right]u^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{u^{\prime }}_d\\ {u^{\prime }}_q\end{array}\right]\\ A=\left[\begin{array}{ll}-\frac{R_{\text{s}}}{L_{\text{s}}}\hfill & n_p{\omega }_r\hfill \\ -n_p{\omega }_r\hfill & -\frac{R_s}{L_s}\hfill \end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& \frac{1}{L_s}\end{array}\right]\end{array}\end{array}$ (4)

根据模型参考自适应观测器设计原理( 图3 )，式(4)中状态矩阵A包含需要估计的参数 ${\omega }_r$，因此可将电流 $i^{\prime }$建立为含可调参数的自适应模型，而具有已知系数矩阵B的定子电压 $u^{\prime }$则构成固定参数参考模型。通过对比两类模型的输出误差，采用参数辨识与闭环调节机制对 ${\omega }_r$进行实时观测。在此基础上，对解算获得的角速度量实施积分运算，即可重构转子的空间位置角θ，最终实现电机转子位置–转速信号的动态追踪 [6] 。

对于隐极永磁同步电机的矢量控制技术，通常采用 $i_d=0$的控制策略，可以得到良好的控制效果。如果将 $i_d=0$也应用到MRAS无传感器算法中，可以极大的简化算法。首先由电流方程构造参考模型

$\begin{array}{c}\frac{d{i}_q}{dt}=-\frac{R_s}{L}{i}_q+\frac{u_q-{\omega }_r{\psi }_f}{L}\end{array}$ (5)

由于采用并联结构，故构造可调模型为：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{\hat{i}}_q}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L}{\hat{i}}_q+\frac{u_q-{\hat{\omega }}_r{\psi }_f}{L}\end{array}$ (6)

定义误差：

$\begin{array}{c}{e}_2=i_q-{\hat{i}}_q\end{array}$ (7)

公式(5)与(6)相减可得：

$\begin{array}{c}\frac{d{e}_2}{dt}=A_{m2}{e}_2-W_2\end{array}$ (8)

式中：

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{A}_{m2}=-\frac{R_s}{L}\hfill \\ W_2=\left({\omega }_r-{\omega }_r\right)\frac{{\psi }_f}{L}\hfill \end{array}\end{array}$ (9)

根据Popov超稳定性定理 [7] ，为了使系统稳定需要：

(1) 前向通道线性部分的传递函数 $G\left(s\right)=D{(sI-A_m)}^{-1}$为严格的正实，这容易证明；

(2) 反馈回路的非线性时变部分需要满足下列积分不等式

$\begin{array}{c}M\left(0,t_1\right)={\displaystyle {\int }_0^{t_1}{e}^{\text{T}}W\text{d}t}\ge -r_0^2\forall t_1>0.\end{array}$ (10)

将公式(5)和公式(6)代入上述Popov积分不等式可得：

(11)

模型参考自适应的自适应律一般采用PI调节器，因此可设估计转速为：

$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_r={\displaystyle {\int }_0^{t_1}{F}_1\left(e,t,\tau \right)\text{d}\tau }+F_2\left(e,t\right)+{\hat{\omega }}_r\left(0\right)\end{array}$ (12)

最终可得估计转速为：

$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_r=\left(k_p+{\displaystyle {\int }_0^t{k}_i\text{d}\tau }\right)\frac{{\psi }_f}{L}\stackrel{}{\left({\hat{i}}_q-i_q\right)}\end{array}$ (13)

式中 $\frac{{\psi }_f}{L}$为常数可以并入PI调节器中，故(13)可写为

$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_r=\left(k_1+{\displaystyle {\int }_0^t{k}_2\text{d}\tau }\right)\left({\hat{i}}_q-i_q\right)\left(k_1和k_2均大于0\right)\end{array}$ (14)

利用公式(4-1)、(4-2)和(4-8)可得简化MRAS的原理框图，如 图2 所示。

改进后的MRAS观测器采用直轴电流强制归零策略实现系统全解耦控制。在该架构中，通过交轴电流分量在比例积分调节器作用下对实际电流值的精确跟踪，即可在消除稳态误差的同时完成转速估算。相较而言，经典MRAS算法需要同时对交轴和直轴电流分量进行双重估计，并借助PI调节器对两个轴向的误差信号进行复合调节才能实现转速辨识 [8] - [10] 。

这种改进型观测器的技术优势主要体现在两个方面：首先，由于省去了直轴电流的估计环节，系统结构得到显著简化，这不仅提升了算法执行效率，还增强了动态响应特性；其次，通过将直轴电流分量严格约束为零的工作模式，有效降低了系统稳态运行时的参数敏感性，从而获得更优的转速观测精度。这种结构优化使得改进算法在保持传统方法鲁棒性的同时，在计算效率和观测精度方面实现了双重提升。

电流环PI控制器结构如 图3 所示。它由PI控制器和SMPMSM模型的传递函数组成。电流环PI控制器的闭环传递函数如 表1 所示。电流环PDF控制器的结构如 图4 所示，包括PDF控制器和SMPMSM模型的传递函数。所提出的PDF电流控制器具有简单、不复杂、不存在高计算复杂度和抖振现象等特点 [11] 。

其中：

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}{d}_{11}=K_{ps}{K}_{ps}{K}_t,d_{12}=K_t\left(K_{ps}{K}_{is}+K_{pc}{K}_{is}\right),d_{13}=K_{is}{K}_{ic}{K}_t,d_{14}=J{L}_q,\\ d_{15}=J\left(R_s+K_{pc}\right),d_{16}=\left(J{K}_{ic}+K_{pc}KpsKt\right),d_{17}=J{K}_{ic},d_{18}=\left(K_{ps}{K}_{ic}{K}_t\right).\end{array}\end{array}$

PDF和PI控制器的区别在于比例增益项在PDF控制器中改变，其余不变。由两种控制器的传递函数可以看出，PDF控制器中不存在有限零。因此，PDF控制器的超调量小于PI控制器。同样，级联PI控制器和级联PDF控制器的结构分别如 图3 和 图4 所示。从传递函数可以看出，所提出的级联PDF控制器消除了零，因此级联PDF控制器的超调量小于级联PI控制器的超调量 [12] - [17] 。