磁流变辅助支承的结构如 图1 所示，底座1通过螺纹与可升降外部接线柱3连接以便于调整装置高度；可升降外部接线柱3在外部绕制外部线圈2来提供额外磁场以加强磁流变效应；可升降外部接线柱3与壳体4通过螺钉连接；装置内部由顶杆6、内部线圈5和磁流变液组成，磁流变液均匀分布在装置内部的工作间隙空间中，为保持底部工作间隙始终能够留有空间，该装置设计了上部弹簧拉回的机构，顶杆6通过螺栓9与挡圈8螺纹连接，挡圈8和端盖7中间加装了弹簧10以实现装置内部磁流变液始终留有1 mm的工作间隙，提高了磁流变效应的稳定性。

建立磁流变液力学模型是研究磁流变减振装置电流控制策略的基础，当前应用较为广泛的力学模型有以下两种：修正后的Bingham模型和Bouc-wen模型 [5] ，这两种力学模型虽然可以模拟出磁流变液的一些力学特性，但在建立后续控制电流和力学参数之间的联系时会遇到较大的困难，因此本文将通过实验测定出不同电流工况下磁流变液的应力与应变速率图来更加直接方便地建立磁流变液力学模型，从而为后续控制电流的加入提供基础。

图1. 装置结构图

流体力学主要分三个基本单元分别是弹性元件、粘性原件和塑性原件。弹性元件由弹簧表示， $\tau$为剪应力， $G$为剪切弹性模量， $\gamma$表示剪应变，应满足 $\tau =G\gamma$。粘性元件用粘壶表示，应满足 $\tau =\eta \stackrel{\dot{}}{\gamma }$， $\eta$为粘性系数， $\stackrel{\dot{}}{\gamma }$为应变速率。塑性元件只要发生变形，总有剪应力 $\tau =f$， $f$为摩擦力产生的应力，因此 $f$可称为极限剪切应力。本文测得磁流变液剪切应力——应变特性关系图进行建模， 图2 为MCR301流变仪得到的0 A到5 A的实验结果。

图2. 剪切应变率–应力特性图

通过数据分析，得到 图3 所示的力学模型。其中弹簧 $K_1$收到的剪应力为 $\tau -f$，其剪应变为 ${\gamma }_1$；弹簧 $K_2$与粘壶 $\eta$并联，其剪应变相等都为 ${\gamma }_2$，它们所受的剪应力之和为 $\tau -f$，整体系统总应变为 ${\gamma }_1$与 ${\gamma }_2$之和，由此得到式(1)、(2)、(3)。

$\tau -f=K_1{\gamma }_1$(1)

$\tau -f=K_2{\gamma }_2+\eta {\stackrel{\dot{}}{\gamma }}_2$(2)

$\gamma ={\gamma }_1+{\gamma }_2$(3)

由式(3)得 ${\gamma }_1=\gamma -{\gamma }_2$，代入式(1)，求导可得式(4)：

${\stackrel{\dot{}}{\gamma }}_2=\stackrel{\dot{}}{\gamma }-\frac{\stackrel{\dot{}}{\tau }}{K_1}$(4)

将式(4)代入式(2)，由于剪切应变率与时间为线性变换关系，即 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }=\lambda t$，则 $\gamma =\frac{\lambda }{2}{t}^2+c_1$， $c_1$为积分常数，不妨设其为0，通过计算得到式(5)：

$\tau +\frac{\eta }{K_1+K_2}\stackrel{\dot{}}{\tau }=\frac{\lambda K_1{K}_2}{2\left(K_1+K_2\right)}{t}^2+\frac{\eta K_1\lambda }{K_1+K_2}t+f$(5)

求解式(5)的一阶常系数非齐次线性微分方程，得到剪应力 $\tau$与剪切应变率 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }$关系式，如式(6)所示：

$\tau =\frac{K_1{K}_2}{2\lambda \left(K_1+K_2\right)}{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}^2+\frac{\lambda K_1{}^2}{{\left(K_1+K_2\right)}^2}+\left[f-\frac{\lambda {\eta }^2{K}_1{}^2}{{\left(K_1+K_2\right)}^3}\right]+c_2{\text{e}}^{\frac{K_1+K_2}{\eta \lambda }\stackrel{\dot{}}{\gamma }}$(6)

令每一项剪切应变率 $\stackrel{\dot{}}{\gamma }$前的系数为 $a_1$到 $a_5$得到式(7)：

$\tau =a_1{\stackrel{\dot{}}{\gamma }}^2+a_2\stackrel{\dot{}}{\gamma }+a_3+a_5{\text{e}}^{-a_4\stackrel{\dot{}}{\gamma }}$(7)

根据磁流变力学模型公式(7)中剪应力与剪应变率关系，对不同励磁电流下测得的磁流变液应力–应变速率进行拟合，如 表1 所示，R代表的是拟合精度的确定系数，它的取值范围是[0, 1]，当它越接近1时，表示方程的变量对函数的解释能力越强，模型就越准确，拟合误差越小。

将对应系数拟合值代入各项系数a的表达式，即可求得各励磁电流下磁流变液的动态力学参数—— $f$、 $K_1$、 $K_2$、 $\eta$如 表2 所示。

由于外加电流在2 A时，产生的磁场会使得磁流变液形成磁饱和现象，因此电流的取值范围在0~2 A，通过 表2 的数据对磁流变力学参数进行曲线拟合，可得到各个参数与不同电流的关系表达式，如 表3 所示。

上章通过参数拟合得到了电流和磁流变液各个力学参数的关系表达式，而本章则是需要在建立铣削系统与磁流变液减振装置的动力学方程后，将上章所得的表达式代入铣削系统动力学方程，得到铣削系统整体的刚度阻尼和磁流变液塑性阻尼力与控制电流的关系表达式，为后续铣削系统动态响应仿真和控制系统的开发打下基础。

本文将铣削系统简化为单自由度系统，可得 图4 带有磁流变减振装置的系统动力学模型 [6] 。

图中 $F\left(t\right)$为铣削力； $M$为磁流变减振装置与铣削系统的总质量； $C_1$为磁流变装置的阻尼； $K_1$、 $K_2$为磁流变模型中的两个弹簧元件的刚度； $K_3$、 $C_2$分别为铣床自身的刚度和阻尼， $f$磁流变液模型的塑性力。表达式为式(8)和式(9)。

$F-f=K_1{x}_1$(8)

$F-f=K_2{x}_2+C_1{\stackrel{\dot{}}{x}}_2$(9)

其中， $x_1$为弹簧元件 $K_1$的位移， $x_2$为弹簧元件 $K_1$的位移， ${\stackrel{\dot{}}{x}}_2$为粘壶 $C_1$的速度。

求解微分方程式(10)可得：

$x_2=\frac{F-f-{\text{e}}^{-\frac{K_2{\stackrel{\dot{}}{x}}_2}{C_1\lambda }}}{K_2}$(10)

因此磁流变液模型总变形为： $x=x_1+x_2$，则磁流变液模型总刚度 $K_{eq}$如式(11)所示：

$K_{eq}=\frac{F{K}_1{K}_2}{\left(K_1+K_2\right)\left(F-f\right)-K_1{\text{e}}^{-\frac{K_2{\stackrel{\dot{}}{x}}_2}{C_1\lambda }}}$(11)

由 图4 磁流变减振装置铣削系统动力学模型，设该系统的总刚度为 $K$，则其表达式为： $K=\frac{K_3{K}_{eq}}{K_3+K_{eq}}$，系统的总阻尼为： $C=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$，因此，该铣削系统动力学方程可写为：

$M\ddot{Q}\left(t\right)+C\stackrel{\dot{}}{Q}\left(t\right)+KQ\left(t\right)-f=F\left(t\right)$(12)

其中 $C_1$的取值就由 表3 中 $\eta$的表达式， $K_3$、 $C_2$分别为铣床自身的刚度和阻尼为固定值，代入总刚度 $K$和总阻尼 $C$的表达式可得到式(13)、式(14)：

$C=\frac{21.73I+0.9621}{5.1\times {10}^{-4}I+1}$(13)

$K=\frac{14069I+90.3}{31.36I+1.61}$(14)

磁流变液模型的塑性力 $f$可直接由 表3 中得到式(15)：

$f=14069I+7.663$(15)

本文将通过不同波形的电流来仿真铣削系统的加速度响应，电流分别按照恒流、正弦波、三角波和方波形态，每一种形态再通过不同电流大小进行对比，以得出效果最佳的电流形态以及电流大小，以下将使用Simulink [7] 软件来对系统加速度响应进行仿真，其方程将使用上节的式(12)到式(15)，为后续控制策略的确定做好振动响应数据的基础。

经机床手册查询，可知机床自身刚度为： $K_3=2.8\times {10}^7\text{N/m}$；机床自身的阻尼为： $C_2=5.42\times {10}^4\text{N}\cdot \text{s/m}$；磁流变铣削系统质量为 $M=7.58\text{kg}$；铣削力可由式(16)的经验公式 [8] 求得：

$F_c=11278a_e^{1.06}{f}_z^{0.88}{d}_0^{-1.3}{a}_p^{0.90}{n}^{0.18}z$(16)

式中， $a_e$为铣削宽度， $f_z$为进给量， $d_0$为刀具直径， $a_p$为切削深度， $n$为刀具转速， $z$为刀具齿数。查阅手册可知，使用的刀具为德利星70度钨钢合金球头刀，铣刀长度100 mm，铣刀直径12 mm，刀具齿数 $z$为2，刀刃长度32 mm，刀具螺旋角35度，刀具进给速度 $v_f$为900 mm/min，进给量 $f_z$为0.45 mm/r，切削深度 $a_p$为0.2 mm，铣削宽度 $a_e$为0.4 mm，根据经验公式式(16)可计算出铣削力 $F_c=89.5\text{N}$。

得到仿真基础数据后，本文将利用Simulink对振动方程进行仿真，由于需要对不同电流下的相同波形进行对比分析，所以需要先设置子程序加入方程，根据式(12)可得到子程序仿真模型框图， 图5 。

主程序的框图和子程序同样，都根据式(12)进行建模，框图如 图6 所示。

将铣削力设置为正弦波，其大小已计算出为89.5 N，频率设置为60 Hz。

将波形图信号分别设置为恒流、正弦波、三角波和方波，波形设置如 图7 所示。

将得到的时域信号结果通过Matlab转化成频率响应可得到不同波形下的频率系统频响图如 图8 所示，分别为0 A、1 A和2 A时的响应图。

图8. 不同波形电流下的系统频域响应

将上述频率响应图的峰值频率做成数据表如 表4 所示可以更直观地分析出减振效果。

由此可知，任意电流波形下，随着电流大小从0 A到2 A，系统峰值频率在不断右移。对于振动系统来说，当外界振动源的激励频率与系统固有频率接近时，系统会产生共振现象。铣削系统的外部激励主要为低阶低频，为减少低阶低频的振动幅值，就需要使得系统峰值频率调整为尽量远离低频的区域，以避免共振。因此，当频率右移幅度越大，即峰值频率越大，铣削系统对于低阶低频的受迫振动下收到的

干扰将越不明显。根据固有频率总计算公式 ${\omega }_n=\sqrt{\frac{k}{m}}$，随着固有频率的增加，系统该振动方向上的刚度

也会越来越大，表明其抗振能力也在越来越强。其中方波的右移幅度最大，相较零电流提升了100 Hz，其次是三角波，正弦波和直流，其中正弦波和直流的差异较不明显，表明当外部激励为大小89.5 N、频率60 Hz的正弦波时，方波减振效果最佳。然而系统在不同频率的铣削力输入下，对应的最佳控制电流也有所不同，因此需要通过智能控制算法来帮助我们更快速方便地选择合适的电流波形和大小。

首先选择输入与输出，本文选择二维模糊控制器，即模糊控制器具有两个输入变量和一个输出变量，输入变量为振动幅值 $x$和振动频率 $f$，输出变量为电源的输出波形和电流大小 $I$。在铣削系统中，系统会通过传感器测量得到工件加速度信号并对其进行实时频域分析，通过加速度信号传感器可以直接得到振动幅值 $x$的输入变量，通过信号频域分析软件可以得到振动频率 $f$的输入变量。

根据第三章的动态特性仿真分析可以得到输入变量振幅的论域为 $\left[-9,9\right]$，模糊状态可以表示为{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}，即{NB, NM, NS, Z, PS, PM, PB}七个模糊集合；根据动态特性仿真结果，当振幅 $x\in \left[-9,-6\right)$时，定义为负大，即NB；振幅 $x\in \left[-6,-3\right)$时，定义为负中，即NM；振幅 $x\in \left[-3,0\right)$时，定义为负小，即NS；振幅 $x=0$时定义为零，即Z；振幅 $x\in \left(0,3\right]$时，定义为正小，即PS；振幅 $x\in \left(3,6\right]$时，定义为正中，即PM；振幅 $x\in \left(6,9\right]$时，定义为正大，即PB。为方便计算，输入和输出变量的隶属度函数采用与正态分布相近的三角形函数，如 图9 所示。

振动频率 $f$的论域为 $\left[0,500\right]$，模糊状态可表示为{很小，小，中，大，很大}，即{VS, S, M, B, VB}五个模糊集合；当振动频率 $f\in \left[0,85\right)$时，定义为很小，即VS；当 $f\in \left[85,180\right)$时，定义为小，即S；当 $f\in \left[180,300\right)$，定义为中，即M；当 $f\in \left[300,375\right)$时，定义为大，即B；当 $f\in \left[375,500\right)$时，定义为很大，即VB。振动频率的隶属度函数如 图10 所示。

模糊控制器输出变量电源的电流论域为[0, 2]，模糊状态可表示为{零，小，大}，即{Z, S, B}三个模糊集合。当电流 $I=0$时，定义为零，即Z；当 $I=1$时，定义为小，即S；当 $I=2$时，定义为大，即B。而作为电源的输入电流，需要有四种不同的波形电流，该四种波形电流的模糊语言为：直流(DC)，正弦波电流(SinC)，三角波电流(SawC)和方波电流(SquC)。则，0 A直流定义为Z (DC)；2 A方波定义为B (SquC)，以此类推。模糊控制器输出电流的隶属度函数如 图11 所示。

根据本文磁流变辅助支承铣削系统动力学响应特性分析，选择状态评估模糊控制规则法来指定本文基于磁流变辅助支承铣削系统的颤振控制策略。由第三章磁流变辅助支承动态响应特性仿真结果，根据不同的振动频率与不同的振动幅值来选择最佳的电流，其对应关系可由 表5 表示。

由基于磁流变辅助支承装置动态响应特性结果对应关系可以推断二维模糊控制器的模糊控制规则，规则表如 表6 所示。