本研究采用问卷调查法收集数据。问卷设计综合参考了相关学术文献，并充分征求了领域专家的建议，涵盖慢性病发病率、身体活动能力、心理健康状况、医疗可及性、经济自主性、收入水平、社区参与度、生活成本、家庭支持度、社会交往网络、居住条件、环境安全性、交通便捷性等13项指标。调查在湘、鄂、渝、黔四省交界地区开展，共向1016名60岁及以上的老年人发放问卷，其中城镇男性347名、女性279名，农村男性63名、女性127名。数据录入和分析借助SPSS软件进行，并对数据进行清洗和校验，以此保障数据处理的严谨性和可靠性。

通过广泛查阅相关参考文献，并紧密结合武陵山区老年人的实际生活状况，选取慢性病发病率、身体活动能力、心理健康状况、就医便利性、经济独立性、收入水平、社区参与度、生活成本、家庭支持、社会网络、住房条件、环境安全性、交通便利性等因素，构建评价因素集 $U=\left\{u_1,u_2,\cdot \cdot \cdot ,u_{13}\right\}$。

为实现对老年人生活质量的明确分级，设定评价等级集 $V=\left\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\right\}$，依次对应“非常好”、“较好”、“一般”、“较差”、“非常差”五个等级。

将武陵山区老年人生活质量评价问题分为目标层、准则层和指标层。目标层为武陵山区老年人生活质量；准则层包括健康状况、经济状况、社会支持、生活环境等方面；指标层即先前确定的13个具体评价因素 [5] ，如慢性病发病率、收入水平等(见 图1 )。

采用二元对比法对不同层次的相关因素进行比较，经研究表明，采用1~9标度 [6] 较为合适。具体比较标准度如 表1 所示。

运用方根法计算权重向量。首先，计算判断矩阵每行元素的乘积；接着，计算该乘积的 $n$次方根，最后，对所得结果进行归一化处理，进而得到权重向量：

$W_i=\frac{{\bar{W}}_i}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{\bar{W}}_j}}$ (1)

为判断上述得到的权重分配是否合理，需对判断矩阵进行一致性检验。一致性检验公式为：

$CI=\frac{{\lambda }_{\max }-n}{n-1}$ (2)

其中， ${\lambda }_{\max }$为判断矩阵的最大特征值， $n$为判断矩阵的阶数。

计算得到一致性指标后，再计算一致性比例：

$CR=\frac{CI}{RI}$ (3)

其中， $RI$为随机一致性指标。

最终，依据一致性比例判断矩阵是否通过一致性检验。综合考虑各层权重，确定各因素权重向量 $W=\left[0.15,0.12,0.1,0.08,0.1,0.12,0.06,0.06,0.1,0.06,0.06,0.05,0.05\right]$。由于健康和经济因素对武陵山区老年人生活质量影响较大，所以赋予慢性病发病率、收入水平等相关因素较高权重。

由于收集到的武陵山区老年人生活质量数据存在一定误差，因此需要确定评价对象对各评价等级的隶属度，进而建立三角形隶属函数。

以慢性病发病率 $\left(u_1\right)$为例，经调查该地区老年人慢性病发病率平均为40%。设定发病率低于15%为“非常好”(隶属度为1)，发病率在35%时为“一般”(隶属度为0)，在15%~35%之间呈线性变化。根据三角形隶属函数计算：

$\mu \left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x<15\%\\ \frac{35\%-x}{35\%-15\%},15\%<x<35\%\\ 0,x>35\%\end{array}$ (4)

计算得到对“非常好”的隶属度为0，对“较好”的隶属度为0.25，对“一般”的隶属度为0.75，对“较差”和“非常差”的隶属度为0，即 $\left[0,0.25,0.75,0,0\right]$。

对于身体活动能力 $\left(u_2\right)$，调查发现大部分老年人只能进行简单日常活动。假设能轻松进行高强度活动为“非常好”(隶属度为1)，只能进行简单日常活动为“一般”(隶属度为0.5)，无法进行日常活动为“非常差”(隶属度为0)。依据设定的三角形隶属函数计算，得到隶属度向量为 $\left[0,0.2,0.5,0.3,0\right]$。

按照类似方法，对其余11个因素分别根据各自设定的三角形隶属函数计算其对各评价等级的隶属度，得到模糊关系矩阵 $R_{三角形}$：

$R_{三角形}=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{cccc}0& 0.25& 0.75& \begin{array}{cc}0& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& 0.2& 0.5& \begin{array}{cc}0.3& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& 0.1& 0.4& \begin{array}{cc}0.4& 0.1\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.1& 0.3& 0.4& \begin{array}{cc}0.2& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.1& 0.2& 0.3& \begin{array}{cc}0.3& 0.1\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& 0.1& 0.3& \begin{array}{cc}0.4& 0.2\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.2& 0.3& 0.3& \begin{array}{cc}0.2& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.1& 0.2& 0.3& \begin{array}{cc}0.3& 0.1\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.2& 0.3& 0.3& \begin{array}{cc}0.2& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.2& 0.3& 0.3& \begin{array}{cc}0.2& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.1& 0.2& 0.4& \begin{array}{cc}0.3& 0.1\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.2& 0.3& 0.3& \begin{array}{cc}0.2& 0\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0.2& 0.3& 0.3& \begin{array}{cc}0.2& 0\end{array}\end{array}\end{array}\right]$

将权重向量 $W$与模糊关系矩阵 $R_{三角形}$进行合成运算，从而得到综合评价向量： $B=W\cdot R_{三角形}=\left[0.073,0.226,0.382,0.234,0.085\right]$。

采用与确定三角形隶属函数类似的方法，对13个因素指标进行求解。

仍以慢性病发病率 $\left(u_1\right)$为例，其梯形隶属函数为：

$\mu \left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\le 15\%\\ 1,15\%<x\le 25\%\\ \frac{45\%-x}{45\%-35\%},35\%<x<45\%\\ 0,x\ge 45\%\end{array}$ (5)

经计算，得到对“非常好”的隶属度为0，对“较好”的隶属度为0.25，对“一般”的隶属度为0.75，对“较差”和“非常差”的隶属度为0，即 $\left[0,0.25,0.75,0\right]$。

$R_{梯形}\text{=}\left[\begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{0}& \text{0}\text{.25}& \text{0}\text{.75}& \begin{array}{cc}\text{0}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}& \text{0}\text{.1}& \text{0}\text{.5}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.4}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}& \text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.35}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.5}& \text{0}\text{.1}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.25}& \text{0}\text{.4}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.3}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.3}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.4}& \text{0}\text{.1}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}& \text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.25}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.5}& \text{0}\text{.2}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.3}& \text{0}\text{.3}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.2}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.3}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.4}& \text{0}\text{.1}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.3}& \text{0}\text{.3}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.2}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cccc}\text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.3}& \text{0}\text{.3}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.2}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.4}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.3}& \text{0}\text{.1}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.3}& \text{0}\text{.3}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.2}& \text{0}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cccc}\text{0}\text{.05}& \text{0}\text{.15}& \text{0}\text{.4}& \begin{array}{cc}\text{0}\text{.3}& \text{0}\text{.1}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\right]$

按照同样的方式，对其余12个因素分别根据各自设定的梯形隶属函数计算其对各评价等级的隶属度，进而得到相应的模糊关系矩阵 $R_{梯形}$。

将权重向量 $W$与模糊关系矩阵梯形 $R_{梯形}$进行合成运算，得到综合评价向量 $B=W\cdot R_{梯形}\text{=}\left[\text{0}\text{.061}，\text{0}\text{.204}，\text{0}\text{.367}，\text{0}\text{.263}，\text{0}\text{.105}\right]$。

采用最大隶属度原则确定生活质量等级。观察基于三角形隶属函数得到的综合评价向量，其中 $b_{3三角}$最大，则 $B$中最大隶属度0.382，对应“一般”等级，所以初步判断该地区老年人生活质量为“一般”。观察基于梯形隶属函数得到的综合评价向量，其中 $b_{3梯形}$最大，则 $B_{梯形}$中最大隶属度为0.367也评价为“一般”等级。

计算综合评价值，设“非常好” $j=1$，“较好” $j=2$，以此类推。则综合评价值计算公式为：

$S={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\text{5}}{\sum }}{b}_j\cdot j}$ (6)

则：

$\{\begin{array}{l}{S}_{三角}\text{=0}\text{.073}\times \text{1+0}\text{.226}\times \text{2+0}\text{.382}\times \text{3+0}\text{.234}\times \text{4+0}\text{.085}\times \text{5=3}\text{.01}\\ S_{梯形}\text{=0}\text{.061}\times \text{1+0}\text{.204}\times \text{2+0}\text{.367}\times \text{3+0}\text{.263}\times \text{4+0}\text{.105}\times \text{5=3}\text{.024}\end{array}$ (7)

通过计算，分别得到基于三角形隶属函数和梯形隶属函数的综合评价值。对比二者可以发现，两种隶属函数的计算结果相近，均表明该地区老年人生活质量处于“一般”水平，但在具体数值上存在差异，这反映出不同隶属函数对评价结果存在细微影响。

为了分析各指标对最终结果的贡献程度，我们需要考虑各指标的权重以及其在不同隶属函数下对综合评价向量的影响。通过计算权重与隶属度乘积之和来体现各指标对综合评价值的贡献程度。如 表2 所示：

续表

从上述表格计算结果可以看出，慢性病发病率、收入水平等指标对综合评价值的贡献相对较大。

结合武陵山区的实际情况，针对影响老年人生活质量的关键因素，提出以下具体的政策建议：

1. 健康因素干预措施：加大对武陵山区医疗卫生资源的投入，在乡镇和村落增设医疗卫生站点，配备专业的医护人员和基础医疗设备，提高老年人就医的便捷性。定期组织医护人员为老年人开展免费体检和慢性病筛查活动，建立健康档案，对患有慢性病的老年人进行跟踪管理和个性化治疗指导。同时，开展健康知识普及活动，通过社区讲座、宣传手册等形式，向老年人传授慢性病预防、健康饮食、适度运动等知识，提高老年人的健康意识和自我保健能力。

2. 经济因素干预措施：政府出台针对武陵山区农村老年人的养老补贴政策，根据老年人的经济状况和生活需求，给予一定的经济补贴，提高其收入水平。鼓励和扶持本地特色产业发展，创造更多适合老年人的就业机会，如农产品加工、手工制作等，让有劳动能力的老年人能够增加收入。