如今，以微博、微信等社交媒体主导的线上平台，在提供发布消息渠道的同时，也会提供多种互动方式，如点赞、评论、转发等。互动方式能为消息带来热度并使其拥有更多的用户关注，更广泛的传播范围。因此在传播过程中加入对互动方式的刻画能好地描述传播过程。本文结合文献 [18] 的感染病传播模型，同样将人群分为四类：未知者 $S$、轻度传播者 $I_1$、重度传播者 $I_2$、免疫者 $R$。 图1 展示了传播过程中，不同状态的转换过程。

在传播时，对于未知者 $S$，其可能会受到轻度传播者 $I_1$的影响，从而参与信息互动变为轻度传播者 $I_1$，也有可能受到重度传播者 $I_2$的影响变为轻度传播者 $I_1$或重度传播者 $I_2$。对于轻度传播者 $I_1$，其可能经过多次互动后转变为重度传播者 $I_2$。在整个传播过程中，未知者 $S$、轻度传播者 $I_1$、重度传播者 $I_2$都有一定概率对消息失去兴趣从而直接转变为免疫者 $R$。 表1 解释了传播过程 图1 中相关状态和传播参数的定义。

接着，为了弥补上述传播过程在描述动态性方面的不足，本文再结合活动驱动网络 [13] 体现传播过程中网络的动态性。在活动驱动网络中，每个时刻 $t$，节点 $i$都会附上一个活跃值 $a_i=\eta x_i$。当节点被激活后，就会选择周围的 $m$个节点连接。其中， $\eta$是缩放因子， $x_i$是活跃概率值，整个网络的节点活跃概率值遵循幂律分布函数 $F\left(x\right)~x^{-\alpha }$，其中 $\alpha$为幂律分布的指数。以上传播过程结合活动驱动网络就构成了基于时序网络的舆情传播模型。

结合现有研究和本文研究的传播特点可知，在较短时间内平台用户的变化并不明显，因此本文假设整个网络中节点个数为 $N$且传播过程中总数不变展开研究。定义节点 $P_i^X\left(t\right)$，表示 $t$时刻节点 $i$处在 $X\in \left\{S,I_1,I_2,R\right\}$状态的概率，在计算时 $X\in \left\{I_1,I_2\right\}$也可能会被记为 $X=I$，表示该节点为不区分轻度、重度的传播者。由活动驱动网络定义可知，节点产生连接的方式主要有两种，节点自身被激活或者与激活节点连接。重度传播者 $I_2$在影响其他节点转变为传播者 $I$时，该节点会以 $m_1$的概率变为轻度传播者 $I_1$，以 $m_2$的概率变为重度传播者 $I_2$，且 $m_1+m_2=1$。

传播过程中，未知者 $S$转变为轻度传播者 $I_1$的概率为：

${\beta }_1\left(x_i^{I_1}\left(t\right)+y_i^{I_1}\left(t\right)\right)$

其中， $x_i^{I_1}\left(t\right)$表示在 $S$状态 $i$节点激活后，与 $I_1$或 $I_2$状态节点连接的概率，如下：

$x_i^{I_1}\left(t\right)=\left(a_{i}m{P}_j^{I_1}\left(t\right)+a_{i}m{m}_1{P}_j^{I_2}\left(t\right)\right)\frac{1}{N}=\frac{a_{i}m}{N}\left(P_j^{I_1}\left(t\right)+m_1{P}_j^{I_2}\left(t\right)\right)$

同理， $y_i^{I_1}\left(t\right)$表示 $S$状态的 $i$节点与被激活 $I_1$或 $I_2$状态节点连接的概率，如下：

$y_i^{I_1}\left(t\right)=\left(a_{j}m{P}_j^{I_1}\left(t\right)+a_{j}m{m}_1{P}_j^{I_2}\left(t\right)\right)\frac{1}{N}=\frac{a_{j}m}{N}\left(P_j^{I_1}\left(t\right)+m_1{P}_j^{I_2}\left(t\right)\right)$

类似地，由于传播过程中，只有受到重度传播者 $I_2$的影响，未知者 $S$才会转变为重度传播者 $I_2$，结合未知者 $S$转变为轻度传播者 $I_1$的概率可得，未知者 $S$转变为重度传播者 $I_2$的概率如下：

${\beta }_2\left(x_i^{I_2}\left(t\right)+y_i^{I_2}\left(t\right)\right)={\beta }_2\frac{m{m}_2}{N}\left(a_i{P}_j^{I_2}\left(t\right)+a_j{P}_j^{I_2}\left(t\right)\right)$

传播过程中，未知者 $S$接触可能会使其转变轻度传播者 $I_1$的节点后，仍保持未知状态的概率为：

Figure 2 ${\beta }_1,x_i^{I_1}\left(t\right),y_i^{I_1}\left(t\right)<1$，并规定： $Y^{I_1}=\frac{1}{N}\underset{j}{{\displaystyle \sum }}{P}_j^{I_1}\left(t\right),Y^{I_2}=\frac{1}{N}\underset{j}{{\displaystyle \sum }}{a}_j{P}_j^{I_2}\left(t\right)$并且有 $Y^I=Y^{I_1}+Y^{I_2}$。类似得，定义 未知者 $S$接触可能使其变为轻度传播者 $I_1$的节点后，仍保持状态不变的概率为： 同理，未知者 $S$节点接触可能使其重度传播者 $I_2$的节点后，仍保持状态不变的概率为： $\begin{array}{c}{q}_i^{I_2}\left(t\right)=\underset{j}{{\displaystyle \prod }}\left(1-x_i^{I_2}\left(t\right){\beta }_2\right)+\underset{j}{{\displaystyle \prod }}\left(1-y_i^{I_2}\left(t\right){\beta }_2\right)\\ \approx 2-{\beta }_{2}m{m}_2\left(a_i{Y}^{I_2}+Z_a^{I_2}\right)\end{array}$在整个传播过程中 $P_i^S\left(t\right)+P_i^{I_1}\left(t\right)+P_i^{I_2}\left(t\right)+P_i^R\left(t\right)=1$，网络在每个时间区间 $\Delta t$的连接是相互独立的，运用马尔可夫过程 [19] 相关知识，可以得到网络中的状态转换方程： $\{\begin{array}{l}{P}_i^S\left(t+1\right)=P_i^S\left(t\right)\left[q_i^{I_1}\left(t\right)+q_i^{I_2}\left(t\right)+\eta \left(t\right)\right]-p{P}_i^S\left(t\right)\hfill \\ \begin{array}{l}{P}_i^{I_1}\left(t+1\right)=P_i^S\left(t\right){\beta }_1\left(x_i^{I_1}\left(t\right)+y_i^{I_1}\left(t\right)\right)+\left(1-{\alpha }_1-\gamma \right)P_i^{I_1}\left(t\right)\\ P_i^{I_2}\left(t+1\right)=P_i^S\left(t\right){\beta }_2\left(x_i^{I_2}\left(t\right)+y_i^{I_2}\left(t\right)\right)+\left(1-{\alpha }_2\right)P_i^{I_2}\left(t\right)+\gamma P_i^{I_1}\left(t\right)\\ P_i^R\left(t+1\right)=P_i^R\left(t\right)+{\alpha }_1{P}_i^{I_1}\left(t\right)+{\alpha }_2{P}_i^{I_2}\left(t\right)+p{P}_i^S\left(t\right)\end{array}\hfill \end{array}$

其中 $\eta \left(t\right)$表示了未知者 $S$对消息有兴趣但未接触到传播者 $I$从而保持自身状态不变的概率，公式中对应变量满足：

$q_i^{I_1}\left(t\right)+q_i^{I_2}\left(t\right)+\eta \left(t\right)+{\beta }_i\left(x_1^{I_1}\left(t\right)+y_i^{I_1}\left(t\right)\right)+{\beta }_2\left(x_i^{I_2}\left(t\right)+y_i^{I_2}\left(t\right)\right)=1$

随着时间的推移，网络最后会到达平衡状态，可以得到传播状态方程满足：

$\{\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim }{p}_i^S\left(t+1\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{P}_1^S\left(t\right)=P_i^S\hfill \\ \underset{t\to \infty }{\lim }{P}_i^{I_1}\left(t+1\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{P}_i^{I_1}\left(t\right)=P_i^{I_1}\hfill \\ \underset{t\to \infty }{\lim }{P}_i^{I_2}\left(t+1\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{P}_i^{I_2}\left(t\right)=P_i^{I_2}\hfill \\ \underset{t\to \infty }{\lim }{P}_i^R\left(t+1\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{P}_i^R\left(t\right)=P_i^R\hfill \end{array}$

当传播到达平稳状态后，传播阈值与传播者 $I$相关且未知者 $S$数量较少并满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }\eta \left(t\right)=\eta \to 0$，结合状态转换方可得：

$\underset{t\to \infty }{\lim }\left[{\alpha }_1{P}_i^{I_1}\left(t\right)+{\alpha }_2{P}_i^{I_2}\left(t\right)\right]=\underset{t\to \infty }{\lim }\left[P_i^S\left(t\right)\left(1-q_i^{I_1}\left(t\right)-q_i^{I_2}\left(t\right)-\eta \left(t\right)\right)\right]$

对于整个网络，平均传播概率为 ${\beta }^{*}$平均免疫概率为 ${\alpha }^{*}$，结合上式可得：

${\alpha }^{\text{*}}{P}_i^I=P_i^S\left(1-q_i^{I_1}-q_i^{I_2}\right)$

对上式进行累加求和，可得：

${\alpha }^{\text{*}}{Y}^I={\beta }^{\text{*}}m\left(\langle a\rangle Y^I+Z_a^I\right)-{\beta }^{\text{*}}m\left(Y^I{Z}_a+Y^R{Z}_a^I\right)$

其中， $\langle a\rangle$表示网络中所有节点活跃值 $a_i$的平均。对于 $t$时刻的免疫者 $R$，参考上式的求解方法可得：

${\alpha }^{\text{*}}{Z}_a^I={\beta }^{\text{*}}m\left(\langle a^2\rangle Y^I+\langle a\rangle Z_a^S\right)-{\beta }^{\text{*}}m\left(Y^2{Z}_{a^2}^R+Z_a^I{Z}_a^R\right)$

其中 $Z_{a^2}^R=\frac{1}{N}\underset{j}{{\displaystyle \sum }}{a}_j^2{P}_j^R\left(t\right)$。

重新将 ${\alpha }^{*}{Y}^I$与 ${\alpha }^{*}{Z}_a^I$的对应公式写成与传播者 $I$相关的矩阵形式可得：

$\frac{{\alpha }^{\text{*}}}{{\beta }^{\text{*}}m}\left[\begin{array}{c}{Y}^I\\ Z_a^I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\langle a\rangle -Z_a^R& 1-Y^R\\ \langle a^2\rangle -Z_{a^2}^R& \langle a\rangle -Z_a^R\end{array}\right]\text{*}\left[\begin{array}{c}{Y}^I\\ Z_a^I\end{array}\right]=M\text{*}\left[\begin{array}{c}{Y}^I\\ Z_a^I\end{array}\right]$

当有谣言传播时 $\left[\begin{array}{c}{Y}^I\\ Z_a^I\end{array}\right]\ne \stackrel{\rightharpoonup }{0}$。网络处于稳态时，可以得到 ${\alpha }^{*}/{\beta }^{*}M={\Lambda }_{\max }\left(M\right)$，对于免疫者 $R$相关参数满足：

Figure 2. Public opinion propagation process in (a) static networks (b) temporal networks

图2. (a) 静态网络(b) 时序网络情况下的舆情传播过程

在传播中，平台整体活跃程度也会影响其内部信息的传播效果和用户的状态转变，这一影响因素由缩放因子 $\eta$体现。模型的缩放因子 $\eta$值越大，网络节点的活跃值 $a_i$也会因此被放大，被激活的节点数和概率也会因此增加。 图3 控制其他参数不变，比较不同缩放因子 $\eta =1,\eta =2,\eta =4,\eta =6$的舆情传播趋势。从图中可以发现，轻度、重度传播者的密度峰值和变化速率与 $\eta$呈正相关，平台越活跃消息传播也会更迅速。所以，当舆情传播时，可以通过加大教育力度和宣传相关背景知识，让用户以更谨慎的心态面对不同信息，从而达到降低缩放因子 $\eta$的目的，来抑制负面舆情事件的发酵。

相比平台活跃程度对传播的影响，作为影响用户激活的与否的活跃值对传播的影响更直接，这一影响因素由幂律分布函数 $F\left(x\right)$对应的指数 $\alpha$来体现。当 $\alpha$的值越大，函数分布的尾部变薄，极端值出现的概率降低且分布的峰值变高且更窄，函数离散程度减小。体现在模型中，其对应表现就是用户的活跃程度会变的更集中，事件讨论的极端者会减少。 图4 控制其他参数不变，比较不同幂律指数 $\alpha =1.5,\alpha =2.0,\alpha =2.5,\alpha =3.0$对传播的影响。从图中可以发现，传播过程中，轻度、重度传播者的峰值到来时间会更短且峰值会变得更高，由此免疫者也会更快到达平稳状态。所以，在实际传播中，我们也能通过了解用户的活动分布，从而实现对舆情峰值的估计，并结合其他传播参数的控制分析实现对舆情的有效控制。

作为重度传播者的变化来源之一，轻度传播者在传播者中的占比也相对较高，其数量不仅影响着消息的传播还影响着重度传播者的数量。 图5 控制其他参数不变，比较不同轻度传播者免疫率 ${\alpha }_1=0.1,{\alpha }_1=0.2,{\alpha }_1=0.3,{\alpha }_1=0.4$对传播的影响。从图中可以发现，传播过程中，轻度、重度传播者的峰值与 ${\alpha }_1$呈负相关。在轻度、重度传播者到达对应峰值之前，轻度免疫率 ${\alpha }_1$对轻度、重度传播者的影响较小，但在到达峰值之后轻度、重度传播者的影响时间范围也会随着 ${\alpha }_1$的增加而减少。所以，在传播中后期，可以通过对网络中影响力相对较弱的用户进行背景知识科普，从而影响用户后续的传播态度，实现控制舆情传播的目的。

由于轻度、重度传播者具有不同传播能力，用户的状态转变容易程度也会影响传播。 图6 控制其他参数不变，比较不同转化率 $\gamma =0.3,\gamma =0.5,\gamma =0.7,\gamma =0.9$对传播的影响。从图中可以发现，随着转化率的增加，重度传播者对应峰值相比轻度传播者有更明显的变化，轻度传播者的峰值与 $\gamma$呈正相关，重度传播者的峰值与 $\gamma$呈负相关，且随着 $\gamma$的增加传播持续时间也在降低。因此，可以通过限制用户在一定时间内的互动次数，降低用户的状态转变的容易程度达到抑制传播的目的。

由时序网络定义可知，时序网络的结构变化由不同时刻网络节点的连接而产生。在社交网络中，以舆情信息为核心的相关传播信息统计，也会因为时间步长的不同而带来不同结果，如某条微博在整个传播周期的转发量是不变的，但传播过程中以天为单位和以小时为单位的过程统计会存在差异。文献 [22] 利用快照的方式探究了不同时间步长对传播的影响，文章将有 $N$个节点的社交网络接触矩阵集合记为 $M$，接着从 $M$中抽取一个矩阵 $M^0\in R^{N\times N}$作为初始网络快照，然后再在下一个时间步长内以相同的方法抽取 $M^1$作为新的传播网络，以此类推。在这种情形下，对于持续时间 $w\tau$的接触过程，可以得到一系列网络结构快照，记为 $S\left(w,\tau \right)=\left(M^0,M^1,\cdot \cdot \cdot ,M^{(w-1)}\right)$，其中 $\tau$是衡量网络结构变化的时间步长， $w$表示快照数量。本文使用真实传播数据 [23] 并参考以上方法，将网络结构快照 $M^i$定义修改为特定时间步长中的网络重叠，并将初始时刻的连接状态作为初始快照矩阵，考虑不同时间步长对传播的影响。 图7 绘制了传播周期为4个小时，时间步长分别为1小时、2小时、4小时的网络结构图，从中可以发现时间步长越长，该时间步长内的网络平均度就越高、动态性会更低。实验所用真实接触网络的静态特征如 表2 所示，其中接触网络数据没有方向性，初始数据格式如 表3 所示。

结合以上定义，本文分别选取时间步长为1小时、2小时、6小时和整个传播周期72小时作为时间步长，对于接触持续时间大于72小时的网络，则以0到72小时作为整个实验周期。基于前文定义的传播过程，设置初始感染节点为总结点数的1% (不满1个节点的情况下，初始感染节点个数为1)并且规定 ${\beta }_2=0.1,{\alpha }_1=0.1,{\alpha }_2=0.2,p=0.1,\gamma =0.2$单次实验进行50次取平均值，考虑不同轻度传播概率 ${\beta }_1$和对应轻度感染者密度 $I_1$的峰值，得到如下实验结果 图8 。

从实验结果中可以发现，在控制轻度传播概率 ${\beta }_1$不变的情况下，轻度传播者 $I_1$密度峰值会随着时间步长的增加而增加，因为时间步长越长对应的网络连通程度就会变高，受到消息影响的用户数量就会越多。再结合网络的静态特征可得，网络的平均度越高其对应的4条轻度传播者 $I_1$的峰值曲线在图中的分布会相对紧密，其中InVS15和InVS13与LH10和Theirs13相比接触更紧密。以上实验结果表明，在研究传播过程时，对网络使用不同时间步长刻画会影响传播过程中的网络数据的表示，时间步长越短传播过程的记录效果越符合实际。