实物观察启发：通过具体直观的演示，由直觉上升到理性认识。

设 ， 表示一条有始有终的连续光滑曲线AB，如图1。

质疑启发：图1中曲线AB上是否存在一点M，满足曲线在M点的切线平行弦AB？

自主探索：学生自己找到M点，画出切线MN，如图2。

引导学生猜测：一条有始有终的连续光滑曲线AB上至少存在一点M，满足曲线在M点的切线平行弦AB。

教师启发性提问：这个结论是否具有普遍性，背后是否隐藏着一般的数学原理？

图1. 一条连续光滑的曲线AB

图2. 平行于弦AB的切线MN

引导学生得出一般性结论：

1) 一条有始有终的连续光滑曲线AB用数学语言描述就是函数 满足

① 在区间 上连续；② 在区间 内可导。

2) 曲线AB上至少有一点 ，使得过M点的切线MN与弦AB平行，即两者的斜率相等。由导数的几何意义可知切线MN的斜率是 ，而弦AB的斜率是 。因此，至少存在一点 ，使得 。

总结概括、加深理解：

拉格朗日中值定理：

若函数 满足：① 在区间 上连续；② 在区间 内可导，则至少存在一点 ，使得

教师引导：若拉格朗日中值定理中的连续函数的端点的函数值相等， ，定理发生什么变化？

学生发现：在这种情况下，图2变成了图3，且定理变成了：

若函数 满足：① 在区间 上连续；② 在区间 内可导；③ ，则至少存在一点 ，使得 。(这就是罗尔定理)

教师引导：如果曲线AB不用 表示，而用参数方程 表示那么拉格朗日定理又会发生什么变化？(见图4)。

引导学生：由参数方程求导法可知，如果 ， ，

那么切线MN的斜率 ，

而弦AB的斜率 。

总结概括得到柯西中值定理：

若函数 ， 满足：① 在区间 上连续；② 在区间 内可导；③ ，则至少存在一点 ，使得

因为函数 ， 在区间 上都满足拉格朗日中值定理的条件，所以至少存在一点 ，满足 ， 。又由于 ，因此，

图4. 用参数方程表示的连续光滑曲线AB

学生自主探索：证明过程错误，因为对于不同的函数 ， ，存在的 点(即中值)不一定相同。

引导学生思考怎样用特殊证明一般。在定理证明中，以罗尔定理为基础，构造辅助函数，使其满足罗尔定理的条件。通过构造辅助函数证明微分中值定理是一种常用且有效的方法[ 5 ] [ 6 ] 。如何构造辅助函数是定理证明的重点和难点。一般地，构造的辅助函数并不唯一。

按教科书[ 9 ] 讲授罗尔定理的证明。(略)

拉格朗日中值定理的几何意义：

若在一条连续的曲线弧上，除端点外处处都有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点，使得曲线过该点的切线平行于弦AB。

拉格朗日中值定理的物理意义：

设 是质点的运动规律，则质点在时间 上走过的路程为 ，在 上的平均速度为 ，则存在 的某一时刻 ，满足质点在 时刻的瞬时速度正好是它的平均速度。