渐开线球齿轮齿面的形成原理可用图1予以说明。C为基圆，K-K为发生线，N、S为基圆与旋转轴的两个交点，发生线K-K与旋转轴始终在基圆平面P内。当发生线K-K在基圆上作纯滚动，并随基圆平面P一起绕旋转轴作回转运动时，发生线上任一点的轨迹便形成了球齿轮的齿面，基圆上所有点的轨迹的集合称为基球。显然，在过旋转轴的任意剖面内的齿廓曲线均为渐开线，所有渐开线的集合构

图1. 渐开线球齿轮齿面的生成

成为一个环状曲面。极轴端部的球齿轮为一柱状回转体的球形齿轮为中凸齿轮，极轴端部为一回转凹坑的球形齿轮为中凹齿轮。

当其中一个球齿轮的齿数为无穷多时，其分度球半径亦将趋于无穷大，则球齿轮演变成齿盘，球齿轮机构演变成球齿轮齿盘机构。其中球齿轮做球面运动，齿盘做平面运动，如图2所示。

图3所示为喷泉机驱动部分的实物图，以圆环中心为原点建立空间直角坐标系。1为X向上的驱动电机1，2为Z向上的驱动电机2，3为喷泉机的底座。4为滑块a，5滑块b，滑块b在滑块a上沿Z轴运动，滑块a在底座上沿X轴运动。6位支架，7为圆环，8为球齿轮，9位齿盘。圆环与支架铰接，球齿轮通过横轴与圆环铰接，球齿轮可以在空间内做两自由度的转动，且转动中心位于圆环的中心位置。齿盘与球齿轮啮合，且齿盘通过螺丝固连在滑块b上，齿盘随滑块b在XOZ平面内做两自由度的平动。球齿轮顶部可以根据设计加装不同类型、不同数目的喷头，跟随球齿轮一起转动。

电机1、2驱动滑块带动齿盘与球齿轮啮合运动，将齿盘的平动转化成球齿轮的转动。给电机1、2输入给定的参数，使得球齿轮带动喷头按照设计的轨迹运动，从而使喷头喷出不同轨迹的水形。

喷泉机运行速度不高，但对运动精度要求较高，采用PLC控制步进电机的方式来控制喷泉机的运动。步进电机试讲电脉冲信号转变为角位移或者线位移的开环控制元件，在正常运转情况下，步进电机的转速和角位移仅取决于脉冲信号的频率和脉冲数，而不受负载的影响。即给步进电机一个脉冲信号，电机相应的转过一个步距角。通过KGLWIN软件对PLC进行编程，对步进电机输入给定的脉冲信号频率和脉冲数，从而输出需要的电机转速和角位移，实现球齿轮带动喷头按照设计的轨迹运动。图4为控制流程图。

如图5所示，P’为P点在XOZ平面的投影。给定齿盘位移 、 ，可以求出对应的方位角α和偏转角θ。

图5. 方位角α和偏转角θ示意图

式中： 表示Z轴位移， 表示X轴位移。

已知OP长度L = 15 mm，可求出P点坐标：

、 、 分别表示P点在X、Y、Z轴上的坐标。

给定球齿轮末端P点的偏转角和方位角，如图5所示，可以根据式(1)、式(2)反求齿盘的位移 、 ：

θ表示偏转角，α表示方位角，r表示球齿轮节球半径。

、 确定以后，就可以推算出驱动电机的转动参数，然后输入PLC中进行控制，就可以让喷泉机按照设定的轨迹运动。

第一步生成球齿轮。从设计库的TOOLBOX选取Gb、动力传动、正齿轮，设置具体参数，生成极薄的标准正齿轮。选取其中连续7个齿进行拉伸切除，然后截取轮齿部分再进行拉伸切除。在第4个齿的中间标示中心线，以中心线为轴进行旋转拉伸，然后在末端圆面再进行拉伸，生成球齿轮三维模型图，如图6所示。

第二步生成齿盘。从设计库的TOOLBOX选取Gb、动力传动、齿条，设置具体参数，生成极薄的标准齿条。选取其中连续6个齿进行拉伸切除，在第3个齿和第4个齿的中间位置标示中心线，以中心线为轴旋转生成齿盘三维模型图，如图7所示。

第三步依次生成其他零部件：支架、圆环、滑块、底座等。

图6. 球齿轮三维模型图

图7. 齿盘三维模型图

将SolidWorks生成的零件保存为Parasolid格式，然后导入到ADAMS中。然后对零部件进行连接，添加相应约束关系：底座与大地是固定副连接，滑块a与底座是移动副连接，滑块b与滑块a是移动副连接，球齿轮和齿盘是接触力连接，球齿轮和圆环是旋转副连接，圆环和机架是旋转福连接，机架和大地是固定副连接。

z设计球齿轮的运动轨迹为：球齿轮极轴沿X正向偏转30˚，然后绕OY轴顺时针转动一周。其中步骤①运行1 s，步骤②运行6 s，运动轨迹如图8所示：

图8. P点做圆周运动轨迹图

用ADAMS输入P点的运动轨迹，采用一般驱动进行仿真运动，可以得到M点在X轴、Z轴坐标。在ADAMS中对P点的X、Z向位移分别编程：

X—if(time-1:15*sin(30d*time),15*sin(30d*time),15*sin(30d)*cos(60d*(time-1)))

Z—if(time-1:0,0,15*sin(30d)*sin(60d*(time-1)))

将仿真结果与理论计算的结果进行对比，如图9、图10所示。其中图9表示M点在Z轴方向上的仿真结果与理论结果，蓝色的是理论值，红色的是仿真值；图10表示的是M点在X轴方向上的仿真结果和理论结果,蓝色的是理论值，红色的是仿真值。

设计球齿轮的运动轨迹为：球齿轮极轴沿X轴正向偏转10˚，然后绕OY轴顺时针转动两周，同时P点沿Y轴正方向上做匀速直线运动，最后回到原点。步骤①运行1 s，步骤②运行24 s。P点运动轨迹如图11所示：

在ADAMS中对P点的X、Z向位移分别编程：

X—if(time-1:15*sin(10d*time),15*sin(10d*time),sin(10d)*(15-15*cos(10d)-15*(1-cos(10d))*(time-1)/24)*cos(30d*(time-1))/(1-cos(10d)))

Z—if(time-1:0,0,sin(10d)*(15-15*cos(10d)-15*(1-cos(10d))*(time-1)/24)*sin(30d*(time-1))/(1-cos(10d)))

将仿真结果与理论计算的结果进行对比，如图12、图13所示。其中图12表示M点在Z轴方向上的仿真结果与理论结果，蓝色的是理论值，红色的是仿真值；图13表示的是M点在X轴方向上的仿真结果和理论结果，蓝色的是理论值，红色的是仿真值。

图式表明，M点的理论值与仿真值误差极小，因此本文所建立的模型是有效的，产生误差的原因是在ADAMS的装配过程中产生了误差。基于本文的模型，在后续的工作中可以在球齿轮顶部加装喷头装置，然后考虑水的重力、空气阻力、出水口处水的压力以及速度等因素，设计出不同轨迹的喷泉。