本文研究了含区间参数的区间非线性方程的求解问题,通过单调分割技术对初始区间进行并行划分,对文献中的拓展区间牛顿算法进行了改进,建立了一类求解区间非线性方程的新算法,给出相关的理论结果并进行数值有效性测试。数值算例表明新算法不仅可以解决拓展区间牛顿法不能解决的问题,并且大大提高了计算效率。 In this paper, we consider the problem of solving interval nonlinear equation with interval para-meters. Dividing the initial interval by monotone segment technique, we extended the improved interval Newton algorithm proposed in, and established a class of improved algorithm for solving interval nonlinear equation. Besides, some relevant theoretical results and effectiveness tests are given. Numerical examples show the new algorithm can not only solve problems that can not be solved by improved interval Newton method, but also greatly improve the computational efficiency.
邱亮,王海军*,王琪
中国矿业大学数学学院,江苏 徐州
收稿日期:2017年8月6日;录用日期:2017年8月20日;发布日期:2017年8月25日
本文研究了含区间参数的区间非线性方程的求解问题,通过单调分割技术对初始区间进行并行划分,对文献 [
关键词 :含区间参数的区间非线性方程,拓展的区间牛顿算法,子区间,零解区间
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传统的非线性方程可以表示为:
这里
在众多科学领域(如:化工 [
这里
定义1.1
定义1.2
区间方程(3)的所有零解就是方程(2)所有方程零解的集合。显然区间方程(3)的解有3种情况:空区间、退化区间(区间内只包含一个值)和非退化区间。对于非退化区间来说,包含在其中的零解是无穷多的,方程(2)的系数是不断变化的,其零解也是不断变化的。但是,区间方程(3)的解区间的个数是有限的,所以我们不直接求方程(2)的零解,而求其解区间。
1966年,Moore [
本文基于Nikas提出的分离零解区间端点的方法,首先考虑区间函数在指定初始区间内不单调的情况下,先分割出存在零解的各个单调子区间,再逼近其零解区间的各个端点。数值算例证明该方法可在更少的迭代步下确定零解区间。
对于
其中:
对于区间牛顿法,当
为了求解区间方程(3),Nikas [
将区间牛顿法换一种表达方式,令:
根据区间运算法则,(5)可表示为:
令:
引理2.1 [
则
引理2.2 [
图1. 引理2.1中的4种情况
图2. 引理2.2中[r]不存在与[r]存在的2种情况
对于一些在指定初始区间内非单调的含区间参数的区间非线性方程,由(6)构造的迭代法计算其零解区间时可能会失效。如下例:
例2.1 求区间方程
根据例2.1的计算结果我们可以发现:
为了提高(5)和(6)在求解非单调的区间方程时的计算效率,我们首先把非单调的区间分割成若干个单调的子区间,在每个单调的子区间内再求解(3)的零解区间。
定理3.1 假设
证明:
1) 若
2) 若
3) 若
则
4) 若
则
所以:
定理3.1保证了在分割非单调的初始区间时不会丢失区间方程的零解区间的上下界。但是,分割得到的子区间有可能不包含方程的零解区间,对此我们给出定理3.2。
定理3.2 假设定理3.1的条件成立,
证明:假设
定理3.2保证了不包含零解的区间在迭代中会被自动删除,进而不会影响迭代结果。
图3. 区间函数
定理3.3 假设
证明:因为
又Moore在文献 [
下面给出通过分割非单调区间求解区间方程的零解区间的算法。在如下的算法1中,
注:算法1中,第3~7步是将非单调的初始区间分割成若干个单调的子区间(初始区间单调时不执行),第8~9步是对各单调子区间排序,以确保迭代出的r是零解区间,第10~28步是在各单调子区间内计算r。
本文所使用的数值算例全部来自 [
根据表2和表3的计算结果我们能得到:算法1在迭代步数上有明显的减少,
NO. |
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1. |
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2. |
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3. |
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4. |
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5. |
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6. |
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表1. 测试函数(来自参考文献 [
图4. 测试函数的图像
NO. |
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零解区间 |
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1. | [−3,2] | 45 | 88 | 43 | 0 | 1 |
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2. | [−2,3] | 15 | 28 | 13 | 0 | 1 |
|
3. | [−2.5,2.5] | 317 | 606 | 289 | 1 | 9 |
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4. | [−1.5,2.5] | 55 | 103 | 48 | 0 | 1 |
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5. | [−10,5] | 69 | 134 | 65 | 0 | 1 |
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6. | [1,11] | 62 | 118 | 56 | 0 | 2 |
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表2. EIN计算得到的数值结果
NO. |
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零解区间 |
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1. | [−3,2] | 30 | 31 | 31 | 0 | 1 |
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2. | [−2,3] | 6 | 12 | 15 | 0 | 1 |
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表3. 算法1计算得到的数值结果
Continued
本文通过分割非单调的区间得到单调的子区间的方法,对求解含区间参数的区间非线性方程在指定区间内的所有零解区间的拓展区间牛顿算法进行了改进,并且可以解决拓展区间牛顿算法不能解决的问题,在计算效率上也有所提高。
本文工作受到江苏省自然科学基金(NO.BK20151139)支持。
邱亮,王海军,王琪. 求解区间非线性方程的一类改进算法A Class of Improved Algorithm for Solving Interval Nonlinear Equation[J]. 应用数学进展, 2017, 06(05): 716-725. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.65086
https://doi.org/10.1016/j.amc.2009.03.041
https://doi.org/10.1007/BF02385253
https://doi.org/10.1023/A:1009921806032
https://doi.org/10.1016/S0005-1098(99)00042-4
https://doi.org/10.1007/BF02252344