主成分分析 [ 16 ] 的核心在于降维，将原有的多个性能指标(即多个自变量)减少为只含有少数几个综合性能指标。这些综合性能指标称为派生变量，是原来的性能指标的线性组合，它们相互独立且保留了原来变量绝大部分信息，这样的派生变量称之为主成分。

设x是有n个随机变量组成的列向量¹。主成分分析法中，寻找主成分的步骤如下²：

第一步 寻找第一个主成分，即找出x的一个线性组合 β 1 ，记为 β 1 ≜ α 1 T x ，其中 α 1 = ( α 11 , α 12 , ⋯ , α 1 n ) T 是一个n维列向量， x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ， var ( β 1 ) 为 β 1 的方差。

β 1 ≜ α 1 T x = α 11 x 1 + α 12 x 2 + ⋯ + α 1 n x n ，

s.t. var ( β 1 ) 最大，且 α 1 T ⋅ α 1 = 1 。

第二步 寻找第二个主成分，也即寻找x的第二个线性组合 β 2 ，记为 β 2 ≜ α 2 T x ，其中 α 2 = ( α 21 , α 22 , ⋯ , α 2 n ) T 是一个n维列向量， x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T ，

β 2 ≜ α 2 T x = α 21 x 1 + α 22 x 2 + ⋯ + α 2 n x n ，

s.t. var ( β 2 ) 最大，且 α 2 T ⋅ α 2 = 1 ， β 1 与 β 2 线性无关

以此类推，直至找到线性关系 β k ，使其与 β 1 , β 2 , ⋯ , β k − 1 不相关且具有最大方差。至此，k个主成分找到了。

利用数学推导过程可以证明，向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α k 分别是随机变量向量x的协方差矩阵 ∑ 的特征向量，其特征值分别为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ k ，且 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ k 是矩阵 ∑ 依大小次序排列的特征值，其中 λ 1 最大特征值。

依据 ∑ i = 1 s | λ i | ∑ i = 1 t | λ i | ≥ 95 % or 90 % 确定从 ∑ 所有t个特征值 λ i ( i = 1 , ⋯ , t ) 中选取s个特征值 λ i ( i = 1 , ⋯ , s ) 和相应的特征向量，从而选取s个主成分。

谱分析方法是在频域上分析时间序列的一种有效而实用的方法，它将时间序列表示成不同振幅、不同频率的分量的叠加，即用傅立叶级数表示时间序列。谱分析应用必须满足两个条件：第一、不少于200次的理论观测数据，第二、时间序列具有平稳特征，即整个时间区间中时间序列的方差和均值保持不变；如果时间序列本身不满足平稳性，它的一阶或高阶差分序列具有静态性。

谱分析的机理 [ 10 ] 对于一个具有平稳性的时间序列 X t ( t = 1 , 2 , ⋯ , N ) ，通常可用傅立叶级数来拟合：

X t = A 0 + ∑ m = 1 n ( A m cos ( 2 π m t / N ) + B m sin ( 2 π m t / N ) ) + ε t ,     t = 1 , 2 , ⋯ , N , (1)

其中：N为样本容量，且 N = 2 n ； t = 1 , 2 , ⋯ , N 为时间指数； m = 1 , 2 , ⋯ , n ；频率 1 N 为样本容量的倒数； m N 为第m次谐波的频率； ε t 为随机误差项。

利用最小二乘法估计，得到傅立叶级数拟合方程(1)的系数，并代入式(1)，得

X t = A 0 + ∑ m = 1 n { ( 2 N ∑ t = 1 N X t cos ( 2 π m t / N ) ) cos ( 2 π m t / N )     + ( 2 N ∑ t = 1 N X t sin ( 2 π m t / N ) ) sin ( 2 π m t / N ) } + ε t = A 0 + 2 ∑ m = 1 n { ( 1 N ∑ t = 1 N X t cos ( 2 π m t / N ) ) cos ( 2 π m t / N )     + ( 1 N ∑ t = 1 N X t sin ( 2 π m t / N ) ) sin ( 2 π m t / N ) } + ε t

其中 A 0 = x 1 + x 2 + ⋯ + x N N = ∑ t = 1 N x t N ；

所以傅立叶级数拟合方程的系数和 X t 的谱密度及周期长度分别可写成：

A ¯ m = 1 N ∑ t = 1 N X t cos ( 2 π m t / N ) , m = 1 , 2 , ⋯ , n (2)

B ¯ m = 1 N ∑ t = 1 N X t sin ( 2 π m t / N ) , m = 1 , 2 , ⋯ , n (3)

I ( f m ) = N ( A ¯ m 2 + B ¯ m 2 ) , m = 1 , 2 , ⋯ , n (4)

周 期 长 度 = max { N ( A ¯ 1 2 + B ¯ 1 2 ) → N , N ( A ¯ 2 2 + B ¯ 2 2 ) → N 2 , ⋯ , N ( A ¯ n 2 + B ¯ n 2 ) → N n } .

根据周期理论 [ 1 ] [ 2 ] ，供需变量选择见表1所示。

从中国知网上中国统计年鉴或房地产行业的统计年鉴得到表2中的统计数据，对于这些数据进行规范化处理，使得每一列数据的均值为0，标准差为1，得到了标准化后的数据值(见表3)。

表1. 供需双方指标

表2. 房地产行业供需双方数据(1987~2016)

表3. 房地产行业供需双方标准化数据(1988~2016)

对标准化的数据值按照供给类与需求类分别提取主成分，并绘制主成分的时序图。表4、表5分别列出了供给类提取的主成分及相关信息情况、需求类提取的主成分及相关信息情况(Prin1指第一主成分，其余类同)。

主成分的时序图见图1、图2所示，图中横坐标代表按年计的时间序号(1代表1988年,…,29代表2016年)，data1为主成分1，其余类同。

表4. 供给类：特征值信息及相应的主成分

表5. 需求类：特征值信息及相应的主成分

图1. 供给类主成分的时间序图

图2. 需求类成分的时间序列图

考虑到供给类与需求类的第一主成分的贡献率分别为96.5577%、98.5368%，均超过95%，所以我们不妨选择各自的第一主成分作为供给类与需求类的综合指标值，并计算它们的一次差分与二次差分(见表6)。

绘制供需双方的综合指标、一阶差分及二阶差分时序图，如图3~5所示。各图中，横坐标代表按年计的时间序号(1代表1988年,…,29代表2016年)，data 1为供给类的数据，data 2为需求类的数据。观察图3~5，供需双方的二阶差分序列具有静态性，利用谱分析方法研究房地产行业的变动规律是可行的。

表6. 供需双方综合指标信息

图3. 供给类与需求类综合指标时序图

图4. 供给类与需求类综合指标一阶差分时序图

图5. 供给类与需求类综合指标二阶差分时序图

供给类综合类指标(yy)与需求类综合类指标(xx)具有正相关性，我们利用回归分析，得到

y y = 0.8481 ∗ x x , 且 bint = [ 0. 7997 , 0. 8965 ] ,

其中bint为系数b = 0.8481估计值的95%置信区间。绘制需求类与供给类综合指标关系图及其残差图(见图6，图7)。

供需双方的正相关性在2014年和2016年出现了较大的偏差，可能的因素有：虽然2014年3月份全国“两会”中对房地产调控提出“分类调控”的原则，但受2014年之前的限购政策的影响，房地产市场并没有像预期一样回暖，甚至于下滑的趋势不断加剧，购房者的观望情绪亦愈演愈烈，整个房地产市场笼罩在悲观的情绪中。2016年初，国家出台了多项房地产政策，降低首付、降低契税、第二套改善性住房契税优惠政策，使得购房者购房的门槛及成本再次降低，刺激了整体楼市的回暖。

分析供需双方综合指标的时序图、其一阶差分及二阶差分时序图，我们易判断出：供需双方的综合指标及其一阶差分均不具有平稳性特征，而二阶差分呈现出平稳性趋势，不过二次差分值的时序图后期波动性均比较大。我们可以分析供需双方综合类指标的二阶差分的频率谱，研究供给类与需求类的周期性特点(见表7)。按照式(2)、(3)、(4)计算谱密度值，绘制二次差分频率谱分布图(见图8)。

图6. 需求类与供给类综合指标关系图

图7. 需求类与供给类综合指标关系的残差序列图

图 8. 供给类与需求类综合指标二次差分频谱分布图

观察供需双方的综合指标的二阶差分的谱密度的值及其分布图，显示出供给方的主谱峰、次谱峰分别发生在3.5年和5.6年，而需求方的主谱峰、次谱峰分别发生于4.67年和2.8年，然而，它们的谱密度的最大值、次最大值均分别位于2年和2.15年。

谱密度分布图的谱峰，即曲线上凸起的拐点，对应的时间值即为相应的周期 [ 12 ]。观察供需双方的综合指标的二阶差分的密度谱图，我们了解到1988~2016年，全国房地产市场的供给类与需求类均存在主、次谱峰。因此，全国房地产市场供给方存在3.5年的主周期和5.6年的次周期；而需求方存在4.67年的主周期和2.8年的次周期。

然而，供需双方的综合指标的二阶差分的密度谱图显示，它们的谱密度的最大值、次最大值均分别位于2年和2.15年，这表明如果加以时日，再增加若干年的数据，可能得出供需双方存在不超过2年的主周期的结论。