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2325-2251

Scientific Research Publishing

10.12677/SA.2018.72031

SA-24738

SA20180200000_21995365.pdf

数学与物理

主成分分析在教学质量分析中的应用 The Application of Principal Component Analysis in the Analysis of Teaching Quality

胡

蓉

¹ ^* 李

泽妤

³ ² 牟

唯嫣

¹ ²

北京建筑大学理学院，北京；北京建筑大学，建筑结构与环境修复功能材料北京市重点实验室，北京

北京工商大学嘉华学院，北京

null

* E-mail: hurong_hr@163.com(胡蓉) ;

04 04 2018

07 02 263 270

2014

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

一所学校教学质量的好坏，往往与学生的学习成绩息息相关。为了研究陕西某地区几所小学教学质量的好坏，我们对学生的12科平均成绩进行主成分分析，以便了解各个学校学生的学习成绩。研究结果表明：由学生的学习成绩来分析一所学校的教学质量的好坏，实际上可以只考虑某几个由各科成绩的平均分组成的线性组合，可以简化问题，提高分析效率。 The quality of the teaching of a school is often closely related to the students’ academic performance. In order to study the teaching quality of several primary schools of Shaanxi, we made a principal component analysis of the average scores of 12 subjects in order to know the achievement of each school student . The research results show that the quality of a school’s teaching can be analyzed by student’s academic record. In fact, only a few linear combinations consisting of the average scores of each subject can be considered, which can simplify the problem and improve the efficiency of analysis.

主成分分析，主成分得分，教学质量, Principal Component Analysis Score of the Principal Component Quality of Teaching

主成分分析在教学质量分析中的应用

胡蓉^1,2，李泽妤³，牟唯嫣^1,2

¹北京建筑大学理学院，北京

²北京建筑大学，建筑结构与环境修复功能材料北京市重点实验室，北京

³北京工商大学嘉华学院，北京

收稿日期：2018年4月5日；录用日期：2018年4月23日；发布日期：2018年4月30日

摘要

一所学校教学质量的好坏，往往与学生的学习成绩息息相关。为了研究陕西某地区几所小学教学质量的好坏，我们对学生的12科平均成绩进行主成分分析，以便了解各个学校学生的学习成绩 [ 1 ] 。研究结果表明：由学生的学习成绩来分析一所学校的教学质量的好坏，实际上可以只考虑某几个由各科成绩的平均分组成的线性组合，可以简化问题，提高分析效率。

关键词 :主成分分析，主成分得分，教学质量

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

教育是国之根本，社会的进步与经济发展都离不开教育。随着我国经济的迅速发展，国家对教育事业扩大投资，教育经费逐年上涨。近几年，我国将一些偏远山区的九年义务教育调整到十二年义务教育，并给农村的学生提供免费的餐宿，这足以显示我国对教育事业的重视。

国家对教育事业的投资如此之大，是希望能培育出将来报效祖国的人才，这和学校的老师就密切相关，与学校的教学质量密不可分。一般情况下，我们认为一所学校教学质量的好坏，往往根据升学率和学生的考试成绩来评价，这就需要研究学生的学习成绩，如果每一学科都考虑就会使得问题复杂化。而且，农村地区硬件设施较落后，也有可能影响学校的教学 [ 2 ] ，从而影响学生的学习成绩。本文通过多元统计中的主成分分析，以学生的12科平均考试成绩作为指标，对9所学校学生的学习成绩进行分析，其分析结果希望能对以后学校教学改革起到一定作用 [ 3 ] 。

2. 数据收集

由于农村学校一年级到二年级开设科目较少，所以，研究对象为陕西山区某镇的9所小学三到六年级的学生。在山区，有些学校偏远，学生人数少，为方便教学，将高年级的学生统一到一所学校，因此，有些学校没有五年级和六年级。

我们对该镇2016~2017学年度第二学期期末质量调研测试学生成绩进行分析，以X₁——语文、X₂——数学、X₃——英语、X₄——思品、X₅——社科、X₆——美术、X₇——音乐、X₈——体育、X₉——劳动、X₁₀——舞蹈、X₁₁——法制安全、X₁₂——综合，这12科的测试平均成绩为指标，即变量数。以保安镇中心小学三年级(1)、四年级(2)、五年级(3)、六年级(4)，文峪小学三年级(5)、四年级(6)、五年级(7)、六年级(8)，瓦子坪小学三年级(9)、四年级(10)、五年级(11)、六年级(12)，乱石坪小学三年级(13)、四年级(14)，蒿坪小学三年级(15)、四年级(16)、五年级(17)，八道河小学三年级(18)、四年级(19)，西坝小学三年级(20)、四年级(21)、五年级(22)，涧底小学三年级(23)、四年级(24)、五年级(25)，眉底小学三年级(26)、四年级(27)、五年级(28)的平均成绩作为样本，即样品数。由于对原始数据进行标准化处理后，使得每个指标的作用在主成分的构成中相等，因此，本文所用的数据都是经过标准化处理后的数据。

3. 主成分分析 3.1. 主成分分析的基本思想

研究某一事物的整体情况时，我们需要对该事物的各个指标都进行考虑，这就使得问题变得复杂化。而主成分分析正是解决这种复杂问题比较好的途径之一，该方法是研究如何通过原始变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大部分信息的一种多元统计方法，从而达到降维的目的 [ 4 ] 。本文采用SPSS软件和R语言对某镇2016~2017学年度第二学期期末质量调研测试学生成绩进行主成分分析。

3.2. 主成分分析的数学模型

对于一个样本资料，观测p个变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X p ，n个样品的数据资料阵为

X = [ x 11 x 12 ⋯ x 1 p x 21 x 22 ⋯ x 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n p ] = [ X 1 , X 2 , ⋯ , X p ] , x j = [ x 1 j x 2 j ⋮ x n j ] , j = 1 , 2 , ⋯ , p

主成分分析就是将p个观测变量综合成为p个新的变量(综合变量)，即

{ F 1 = γ 11 X 1 + γ 12 X 2 + ⋯ + γ 1 p X p F 2 = γ 21 X 1 + γ 22 X 2 + ⋯ + γ 2 p X p ⋮ F p = γ p 1 X 1 + γ p 2 X 2 + ⋯ + γ p p X p

简写为：

F j = γ j 1 X 1 + γ j 2 X 2 + ⋯ + γ j p X p

且

V a r ( F j ) = λ j

C o v ( F i , F j ) = 0

其中， λ j 是样本资料阵X的协方差矩阵的特征根，由大到小排列，即 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ p ， γ j = ( γ 1 j , γ 2 j , ⋯ , γ p j ) ′ 为 λ j 对应的标准正交特征向量。于是，称 F 1 为第一主成分， F 2 为第二主成分，依次类推，一共有p个主成分，主成分又叫主分量。

上述模型可用矩阵表示为

F = γ X

其中，

F = [ F 1 F 2 ⋮ F p ] , γ = ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ p )

γ为主成分系数矩阵。

主成分分析可以得到p个主成分，主成分的贡献率越大，说明该主成分所包含的原始变量的信息越多。但是，由于各个主成分的方差是递减的，包含的信息量也是递减的，所以实际分析时，一般不是选取p个主成分，而是根据累积贡献率选取前k个主成分，使得累积贡献率达到85%以上，才能保证综合变量能包括原始变量的绝大多数信息，即

∑ j = 1 k λ j ∑ j = 1 p λ j ≥ 85 %

这里累积贡献率就是指前k个主成分的方差和占全部方差总和的比重 [ 5 ] 。

3.3. 主成分分析模型的应用

以为 X 1 , X 2 , ⋯ , X 12 这12个指标为变量，以上述每个学校中各个年级的平均成绩为样本，一共28个样本，用SPSS软件的因子分析模块做主成分分析 [ 6 ] ，输出结果如下。

表1显示了各主成分解释原始变量总方差的情况，前6个主成分的解释总方差为85.477%，即这6个主成分集中了12个原始变量信息的85.477%，因此保留前6个主成分。由图1也可以看出第六个和第七个特征根变化的趋势已经开始平缓，取前6个或前7个主成分都可以，但是为了更好地达到降维的目的，所以这里取前6个主成分。

表2的成分矩阵表示的是因子载荷矩阵而不是主成分系数矩阵，因此要对成分矩阵中第j列的每个元素分别除以第j个特征根的平方根 λ j 就可以得到主成分分析的系数矩阵，即 γ j i = a i j λ j ， a i j 为成分矩阵中的元素，称为因子载荷，所得结果如表3所示，则主成分就可写成由原始变量表示的线性表达式：

F 1 = 0.411417 x 1 + 0.412534 x 2 + 0.160213 x 3 + 0.434863 x 4 + 0.309819 x 5 − 0.16245 x 6 − 0.30982 x 7 − 0.18868 x 8 + 0.334381 x 9 − 0.24227 x 10 − 0.12337 x 11 + 0.080385 x 12

F 2 = 0.235393 x 1 + 0.313423 x 2 + 0.05007 x 3 + 0.25425 x 4 + 0.103391 x 5 − 0.45648 x 6 + 0.446076 x 7 + 0.269206 x 8 − 0.14761 x 9 + 0.122248 x 10 + 0.439573 x 11 + 0.242546 x 12

F 3 = − 0.07099 x 1 + 0.140462 x 2 + 0.415279 x 3 + 0.000763 x 4 − 0.31833 x 5 − 0.247335 x 6 − 0.08779 x 7 + 0.558795 x 8 + 0.176341 x 9 − 0.30459 x 10 − 0.17787 x 11 − 0.40536 x 12

F 4 = 0.111978 x 1 + 0.177146 x 2 + 0.610374 x 3 − 0.12483 x 4 − 0.12391 x 5 − 0.16246 x 6 + 0.238643 x 7 − 0.15695 x 8 − 0.31758 x 9 + 0.301975 x 10 − 0.44791 x 11 + 0.228546 x 12

F 5 = − 0.21108 x 1 − 0.04242 x 2 + 0.220397 x 3 + 0.191425 x 4 + 0.548406 x 5 − 0.18004 x 6 + 0.169696 x 7 + 0.023799 x 8 − 0.03208 x 9 + 0.339391 x 10 + 0.112785 x 11 − 0.61359 x 12

F 6 = 0.139163 x 1 + 0.143512 x 2 − 0.10655 x 3 − 0.09459 x 4 − 0.28159 x 5 + 0.278327 x 6 − 0.06849 x 7 − 0.19026 x 8 + 0.541432 x 9 + 0.646892 x 10 − 0.05219 x 11 − 0.16743 x 12

各主成分的意义是由各线性组合中权数较大的几个指标的综合意义来确定，例如，由上述6个表达式可以看出第一主成分 F 1 中， X 1 , X 2 , X 4 这3个指标的系数较大，所以第一主成分主要就是 X 1 , X 2 , X 4 这3个指标的综合反映，第二主成分 F 2 主要是 X 7 和 X 11 的综合反映，第三主成分 F 3 主要是 X 8 这一个指标的反映。

我们将标准化后的原始数据代入上述6个表达式就可以计算出各样品的主成分得分，如表4所示，只取前两个主成分就能把样品的主成分得分在直角坐标系中描出来，然后可进行样品分类，由于计算量较大，主成分得分使用R软件来计算 [ 7 ] ，输出结果如图2所示。

得分的正负仅表示该样品与平均水平的关系，由于原始数据已经过标准化处理，所以这里的平均水平为0。

Table 1 Interpretation of the total varianc

组件	初始特征值			提取载荷平方和
组件	总计	方差百分比	累积%	总计	方差百分比	累积%
1	3.209	26.739	26.739	3.209	26.739	26.739
2	2.365	19.709	46.449	2.365	19.709	46.449
3	1.716	14.297	60.745	1.716	14.297	60.745
4	1.187	9.893	70.638	1.187	9.893	70.638
5	0.934	7.787	78.425	0.934	7.787	78.425
6	0.846	7.052	85.477	0.846	7.052	85.477
7	0.519	4.323	89.800	0.519	4.323	89.800
8	0.479	3.995	93.795	0.479	3.995	93.795
9	0.278	2.316	96.111	0.278	2.316	96.111
10	0.224	1.868	97.979	0.224	1.868	97.979
11	0.157	1.306	99.286	0.157	1.306	99.286
12	0.086	0.714	100.000	0.086	0.714	100.000

表1. 总方差解释

图1. 碎石图

Table 2 Matrix of component

	组件
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x₁	0.737	0.362	−0.093	0.122	−0.204	0.128	0.283	−0.340	−0.050	0.181	0.045	0.106
x₂	0.739	0.482	0.184	0.193	−0.041	0.132	−0.176	0.027	0.001	−0.160	−0.272	0.032
x₃	0.287	0.077	0.544	0.665	0.213	−0.098	0.223	0.165	−0.099	−0.116	0.135	−0.017
x₄	0.779	0.391	0.001	−0.136	0.185	−0.087	−0.262	−0.218	0.142	−0.037	0.154	−0.139
x₅	0.555	0.159	−0.417	−0.135	0.530	−0.259	−0.059	0.300	−0.056	0.146	−0.002	0.091
x₆	−0.291	0.702	0.324	−0.177	−0.174	0.256	−0.271	0.136	−0.284	0.086	0.099	0.011
x₇	−0.555	0.686	−0.115	0.260	0.164	−0.063	0.169	−0.015	0.024	0.198	−0.133	−0.150
x₈	−0.338	0.414	0.732	−0.171	0.023	−0.175	−0.002	0.044	0.316	0.071	0.013	0.106
x₉	0.599	−0.227	0.231	−0.346	−0.031	0.498	0.243	0.294	0.099	0.080	−0.008	−0.084
x₁₀	−0.434	0.188	−0.399	0.329	0.328	0.595	−0.094	−0.024	0.161	−0.053	0.070	0.068
x₁₁	−0.221	0.676	−0.233	−0.488	0.109	−0.048	0.341	−0.015	−0.049	−0.262	0.026	0.012
x₁₂	0.144	0.373	−0.531	0.249	−0.593	−0.154	−0.015	0.301	0.153	−0.024	0.077	−0.004

表2. 成分矩阵

Table 3 The coefficient matrix of the principal componen

	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆
X₁	0.411417	0.235393	−0.07099	0.111978	−0.21108	0.139163
X₂	0.412534	0.313423	0.140462	0.177146	−0.04242	0.143512
X₃	0.160213	0.05007	0.415279	0.610374	0.220397	−0.10655
X₄	0.434863	0.25425	0.000763	−0.12483	0.191425	−0.09459
X₅	0.309819	0.103391	−0.31833	−0.12391	0.548406	−0.28159
X₆	−0.16245	0.45648	0.247335	−0.16246	−0.18004	0.278327
X₇	−0.30982	0.446076	−0.08779	0.238643	0.169696	−0.06849
X₈	−0.18868	0.269206	0.558795	−0.15695	0.023799	−0.19026
X₉	0.334381	−0.14761	0.176341	−0.31758	−0.03208	0.541432
X₁₀	−0.24227	0.122248	−0.30459	0.301975	0.339391	0.646892
X₁₁	−0.12337	0.439573	−0.17787	−0.44791	0.112785	−0.05219
X₁₂	0.080385	0.242546	−0.40536	0.228546	−0.61359	−0.16743

表3. 主成分系数矩阵

4. 结果分析

本文通过主成分分析对9所学校中各个年级学生的学习成绩进行分析，主成分的意义是由线性组合中权重较大的几个指标的综合意义决定的，结果用前6个主成分进行研究。

由这6个主成分表达式可以看出第一主成分主要是语文、数学、思品这3个指标的综合反映，它反映了学生的基础学科和思想素质，第二主成分是音乐和法制安全这2个指标的综合反映，它代表了学生的艺术成绩和安全意识，这两个主成分反映了学生所受的主要教育，这与学校的教学质量息息相关 [ 8 ] 。

由图2可以看出分布在第一象限的是文峪小学五年级和六年级，瓦子坪小学四年级和六年级，乱石

Table 4 The score of the principal componen

	F₁	F₂	F₃	F₄	F₅	F₆
1	−1.35	2.031	0.526	−0.301	−0.365	0.951
2	−0.997	1.223	0.048	−0.096	−1.612	0.348
3	0.077	−0.096	−2.014	0.059	−1.19	1.082
4	−0.16	−0.246	−1.7	0.073	−0.125	−0.034
5	0.037	1.188	1.397	−0.687	0.336	1.996
6	0.726	0.036	−0.247	−0.133	−0.18	1.185
7	−0.183	−0.3	−1.845	0.67	−0.885	0.002
8	−0.011	−0.882	−0.371	0.143	2.512	0.725
9	−0.509	−1.486	0.419	−1.042	−1.444	−1.122
10	−2.451	1.426	0.414	0.935	0.171	−1.09
11	1.279	−0.006	−0.445	−1.135	−0.505	1.189
12	0.477	1.197	−0.417	−0.417	1.544	−0.393
13	1.28	−1.199	1.507	0.076	−0.877	−0.667
14	2.04	0.611	0.092	−0.476	0.39	−2.359
15	−0.145	0.961	−0.343	−0.599	1.325	−2.199
16	1.214	0.552	−0.729	1.5	1.221	0.469
17	−0.556	−0.739	0.209	−1.946	0.01	0.391
18	0.638	0.036	2.183	−0.209	−0.942	−0.515
19	−0.647	−1.093	0.715	0.833	0.367	0.093
20	0.188	0.682	1.543	0.723	0.562	0.367
21	−1.156	−1.833	0.283	−2.25	1.607	0.5
22	0.713	0.557	−0.416	−0.127	−0.708	−0.563
23	0.728	0.018	0.333	0.809	0.194	1.234
24	1.478	−0.465	−0.13	0.965	−0.334	0.216
25	−0.438	0.321	−1.371	−1.37	−0.764	−0.725
26	−0.203	−0.122	0.601	0.928	−0.936	−0.265
27	−1.208	−1.991	0.215	2.034	−0.158	−0.112
28	−0.862	−0.378	−0.455	1.04	0.786	−0.707

表4. 主成分得分

坪小学四年级，蒿坪小学四年级，八道河小学三年级和四年级，涧底小学四年级和五年级这10个年级，这说明这几所学校中的这些年级的教学质量相对较好，其中蒿坪小学四年级教学质量最好。分布在第四象限的是文峪小学四年级、蒿坪小学五年级、西坝小学五年级、眉底小学四年级共四个年级，由于第四象限的主要特征是第一主成分，而第一主成分占信息总量比重最大，所以，这四个年级的教学质量也相对较好。而分布在第二象限和第三象限的年级可以划分为同一类，教学质量相对较差。因此，总体来说，文峪小学高年级的教学质量相对最好，保安镇中心小学教学质量相对最差。

图2. 主成分得分散点图

5. 结论与建议

经过对上述几所学校中各个年级学生的成绩进行主成分分析得出，该地区文峪小学和瓦子坪小学高年级教学质量相对较好，但文峪小学低年级的教学质量也相对较差，保安镇中心小学的整体教学质量相对于其他学校差，希望学校及政府能适当改革教学方法，从基础抓起，提高学生的学习兴趣，为学生营造良好的学习氛围，以提高教学成绩。

文章引用

胡蓉,李泽妤,牟唯嫣. 主成分分析在教学质量分析中的应用 The Application of Principal Component Analysis in the Analysis of Teaching Quality[J]. 统计学与应用, 2018, 07(02): 263-270. https://doi.org/10.12677/SA.2018.72031

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