本文采用的是VOF模型，这是建立在固定的欧拉网格下的界面跟踪办法，适合使用在几种不相融的流体混合流动的情况。通过求解某一相体积分数的连续性方程来完成各相之间的界面的跟踪。该气液两相流数值模型求解采用k-ε湍流模型方程，气体是可压缩的理想气体，液体为密度998 kg/m³的水。其基本方程如下：

连续性方程：

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 (1)

动量方程：

∂ ρ u i ∂ t + ∂ ρ u i u j ∂ x j = ∂ p ∂ x i + ∂ τ i j ∂ x j + ρ g i (2)

容积比率方程：

∂ α w ∂ t + v ∇ ⋅ α w = 0 (3)

式中：ρ是单元平均密度，g_i是i方向上重力体积力。P是静压强，x_j是坐标分量，v和u_i是速度和其分量，τ_ij是应力张量

能量方程：

∂ ρ E ∂ t + ∂ ∂ x j [ u i ( ρ E + p ) ] = ∂ ∂ x i ( k e f f ∂ T ∂ x i ) (4)

式中：E是能量，T是温度，k_eff是有效热传导系数。

对于气水两相流动，水相体积分数的连续性方程为：

∂ ∂ t ( α w ρ w ) + ∇ ⋅ ( α w ρ w U ) = 0 (5)

式中：α表示体积分数；ρ表示密度；下标w、a分别表示水相、气相。气相的体积分数α_a将受下面方程约束：

α w + α a = 1 (6)

在两相系统中，每个单元的平均密度为：

ρ = ( α w ρ w ) + ( 1 − α w ) ρ a (7)

式中，ρ为气–水混合物密度。

湍流模型采用k-ε模型，其控制方程为：

{ ∂ ρ k ∂ t + ∂ ρ k u i ∂ x i = ∂ ∂ x j [ ( μ + μ t σ k ) ∂ k ∂ x j ] + G k + G b + ρ ε − Y M ∂ ρ ε ∂ t + ∂ ρ ε u i ∂ x i = ∂ ∂ x j [ ( μ + μ t σ ε ) ∂ ε ∂ x j ] + C 1 ε ε k ( G k + C 3 ε G b ) − C 2 ε ρ ε 2 k (8)

湍动粘度μ_t可以用k-ε的函数表示：

μ t = ρ C μ k 2 ε (9)

式中：k为湍动能；ε为湍流耗散率；σ_k和σ_ε分别是k和ε的紊流普朗特数，μ是粘性系数，G_k是由平均速度梯度产生的湍流动能，G_b是由浮力产生的湍流动能，Y_M是由可压缩湍流脉动扩散的。方程中的各常数均使用经验值，值取为C_1ε = 1.44，C_2ε = 1.92，C_μ = 0.09，σ_k = 1.0，σ_ε = 1.3。

采用有限体积法分离式迭代(Segregated Method)的方法求解二维流场，压力速度耦合采用PISO算法。

1) 进口边界条件设置。进水口断面为压力进口，在实验过程中为系统提供稳定的水压。

2) 出口边界条件设置。出口边界为压力出口，相对压力为零。

3) 管道壁条件设置。壁面为光滑壁面，粗糙度为0。

为了验证所提二维数值模拟方法在模拟排水管道系统中滞留气团排放过程的有效性，选取Jing et al. [ 2 ] 设计搭建的排水管道实验系统，其简化的实验装置示意图如图1所示。整个系统主要由水箱、水平管道、竖管、阀门及压力传感器组成。水平横管总长约6 m，内径D = 0.05 m。竖管高度为1.8 m。上游水箱的尺寸0.51 × 0.63 × 0.69 m。4个PVC直角回转球阀用于将管道分离成不同的部分。管道的下游安装了一个可拆卸的盖子，允许在实验后排水。水平横管尾部和竖管底部各有一个压力传感器，用于监测实验压力数据。

实验开始前，系统水位注至H₀，阀门后为相应体积的空气，气压为一个大气压。阀门打开的同时传感器开始记录实验数据，直至气体从竖管排出。

目前，研究城市排水系统中间歇泉现象的实验方法，主要过程是令恒定体积的空气从水平管道进入到竖直管道并且从竖管口释放。其中，竖管与水平管的直径比(d/D)是一个重要的研究参数，该比值通常小于1。

建立二维模型时，需要将立体的三维实验装置简化到二维平面。在此过程中，对于管网系统，需解决主支管连接处不同的直径比的问题。为此，针对图1所示的管道系统，提出两种简化方案：第一种是按原模型横竖管的直径比直接建立二维模型，称为等直径比例简化；第二种是是按原模型横竖管的截面积比例建立二维模型。各自的简化公式分别为：

等直径比例简化：

a b = d D (10)

等截面比例简化：

a x b x = π d 2 / 4 π D 2 / 4 ⇒ a b = d 2 D 2 (11)

式中：a是二维模型竖管直径，b是二维模型横管直径，d是原实验装置竖管直径，D是实验装置横管直径。

本文选取Jing et al. [ 2 ] 中的两组工况A、B建立二维模型，每种工况根据既定的两种简化方案，分别建立四种计算模型(Ad, As, Bd, Bs)，计算后所得数据与物理实验数据进行对比。四种工况参数见表1。

网格划分采用结构网格技术，在竖管处和横竖管交接处加密，以提高两相流流场计算精度，如图2

图1. 物理实验装置

图2. 模型网格

表1. 四种计算模型参数

所示。经过网格无关性验证后，得出四个模型的网格数量控制在两万以上模拟效果较好。

对A、B两种工况的滞留气团排放过程进行二维数值模拟，将计算结果与实验数据进行对比分析。

如图3所示，滞留气团的排放可以分为两个阶段，气团在水平管的横向移动(a)和在竖管的纵向移动(b)。A、B两种工况中，气团横向运动到竖管底部一般是8 s左右，在该过程中首先是气团受到有压水体冲击发生的压缩形变过程，在经过初步的气水混合后，开始向竖管方向运动。气体进入竖管后，先是以

图3. 工况(Bd)等直径比例简化气液相云图

段塞流或是弹状流的流态向上运动，气泡逐渐加速，把水体向上推举。段状气泡逐渐融合形成环状流继续向上运动。达到一定高度和速度后，或是水体被推出竖管口，或是气团破裂并且气水高度混合形成雾状流向外喷射。本文从上述的两个阶段对计算数据进行对比。

本文数值模拟所计算的动态过程和结果与Jing et al. [ 2 ]已发表论文的实验结果相比较，过程基本一致，也验证了本文数值模拟的正确性。

图4、图5、图6、图7为工况(A)、(B)中的在p1、p2两个监测点记录的压力数据。每张图有三组数据进行对比——实验数据、等直径简化模拟数据(d)、等截面简化模拟数据(s)。对比每张压力图的实验数据和等截面模拟数据，结果表明：两组工况数值模拟所得的结果与实验结果基本吻合，压力波动趋势基本一致。尤其在第一峰值，非常接近。气团运动到竖管底部的时间大约为8.4 s，与实验误差在0.8 s以内。压力波动经过第一峰值后与实验数据在峰值上偏小，但周期上完全吻合。8 s后滞留气团进入竖管时造成的剧烈波动比实验值提前一些(1 s)。从上述情况可得结论：二维VOF模型模拟所得的结果与实测结果压力变化过程曲线基本接近，变化趋势相似度高，该模型可用于该类问题仿真计算，可信度高。

从图4、图5、图6、图7中可以看出对比后可以发现，在第一峰值左右，三组数据基本吻合，然后按截面比例简化(s)的压力曲线与按直径比例简化(d)模型压力曲线相比，跟实验数据吻合程度更高，虽然在峰值上衰减较快，但在周期上完全吻合。

从工况(A)的模拟可以看出，按截面比例简化方案接近实验数据，更为准确一些。同时在图6、图7中，对比工况(B)后可以发现相似的波形走向，直径比例简化模型的过了第一峰值后，与实验数据开始发生偏移。按截面比例简化方案依然与实验数据较为吻合。

同时从图中可以看到当气体在竖管中运动，即间歇泉过程进入第二阶段时，所有的压力曲线均发生了剧烈波动。按截面比例简化(s)模型在第二阶段的波动与实验相似，而按直径比例简化(d)模型的波动较缓。

从上述的数据图可以直观的看出，按截面比例简化的方案在模拟时更为合理。现实中，城市排水系统和实验装置，大多使用的是圆管。若是采用直径比例简化方案，把圆形管的直径作为二维管道的宽度，加上计算时采用的一个固定的深度，在模拟计算中，整个系统成了由固定深度的矩形管组装的“新的实验装置”。

物理实验竖横管截面比：

η = d 2 / D 2 (12)

新装置的竖横管截面比：

μ = d ∗ h D ∗ h = d / D (13)

由于排水系统中，竖横管的直径比通常小于1，甚至大多情况小于0.5，所以结果 μ > η 。在模拟中，采用直径比例简化会放大竖管的截面，增大流通能力，对模拟结果会产生较大的影响。增大流通能力后，会放大细管截面积，使气体排放更加迅速，总体的排放气柱变短排放时间变短。气体更快更迅速的排出，会时气水相互作用的效果变差，故而，“等直径比例”简化方法的仿真结果较为平缓。

图4. 工况A的压力传感器#1的检测数据

图5. 工况(A)的压力传感器#2的检测数据

图6. 工况(B)的压力传感器#1的检测数据

图7. 工况(B)的压力传感器#2的检测数据

在气体进入竖管后，压力的剧烈波动是由于气水充分混合后产生的压力震荡，这也发生爆炸式间歇泉的一个标准。在该阶段模拟的数据与实验数据有一定的偏差。这是由于气水的混合度较高，这种复杂的气液两项流对网格划分和计算要就很高。所以在间歇泉反应喷发的时刻，较难进行模拟，有待进一步研究。