吴延科^*，柴华金

广东海洋大学数学与计算机学院，广东 湛江

收稿日期：2018年7月18日；录用日期：2018年8月3日；发布日期：2018年8月10日

本文对两个独立二项分布的比例差提出了一种提升Beal区间估计方法，这种方法具有较好的覆盖率和最小覆盖率，区间长度也比较短，并且，新方法使用的最优权值具有显式表达式，计算简单，增加的计算量很小。模拟结果和实例分析表明了这种方法具有良好的有效性和稳定性。

关键词 :Beal区间，二项比例，比例差，独立的

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区间估计是统计推断的基本任务之一，很多常用的区间估计方法都是基于正态近似。令 X 1 , X 2 是两个独立的二项分布变量，分别服从二项分布 B ( n 1 , p 1 ) , B ( n 2 , p 2 ) 。两个二项分布的比例差定义为 θ = p 1 − p 2 ， θ 的最大似然估计是 θ ^ = p ^ 1 − p ^ 2 ，其中 p ^ 1 = X 1 p 1 , p ^ 2 = X 2 p 2 分别是 p 1 , p 2 的最大似然估计。给定 p 1 和 p 2 ， θ ^ 的方差是 v a r ( θ ^ ; p 1 , p 2 ) = 1 n 1 p 1 ( 1 − p 1 ) + 1 n 2 p 2 ( 1 − p 2 ) ，用 p ^ 1 , p ^ 2 分别替换 p 1 , p 2 得到著名的Wald区间

C I W a l d = θ ^ ± z α 2 1 n 1 p ^ 1 ( 1 − p ^ 1 ) + 1 n 2 p ^ 2 ( 1 − p ^ 2 ) ，

其中 z α 2 是标准正态分布的 α 2 分位数。Fleiss [ 1 ] 对Wald区间做了一个连续校正，得到

C I W a l d , c c = θ ^ ± { z α 2 1 n 1 p ^ 1 ( 1 − p ^ 1 ) + 1 n 2 p ^ 2 ( 1 − p ^ 2 ) + 1 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) } .

Mee [ 2 ] 使用 p 1 , p 2 的限制最大似然估计 p ˜ 1 , p ˜ 2 代替最大似然估计 p ^ 1 , p ^ 2 ，得到

C I M e e = θ ^ ± z α 2 1 n 1 p ˜ 1 ( 1 − p ˜ 1 ) + 1 n 2 p ˜ 2 ( 1 − p ˜ 2 ) .

Beal [ 3 ] 引入了一个讨厌参数 η = 1 2 ( p 1 + p 2 ) ，对 p 1 , p 2 重参数化得到 p 1 = η + θ 2 , p 2 = η − θ 2 ，给定 η 和 θ ，可以得到 θ ^ 的方差是 v a r ( θ ^ ; η , θ ) = u [ 4 η ( 1 − η ) − θ 2 ] + 2 v ( 1 − 2 η ) θ ，其中 u = 1 4 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) , v = 1 4 ( 1 n 1 − 1 n 2 ) 。取 η 的一个估计 η ˜ ，求解 ( θ ^ − θ ) 2 ≤ z α 2 2 v a r ( θ ^ ; η ˜ , θ ) 得到Beal区间

C I B e a l = θ * ± w ,

其中

θ * = θ ^ + z α / 2 2 v ( 1 − 2 η ˜ ) 1 + z α / 2 2 u ,

w = z α / 2 1 + z α / 2 2 u u [ 4 η ˜ ( 1 − η ˜ ) − θ ^ 2 ] + 2 v ( 1 − 2 η ˜ ) θ ^ + 4 z α / 2 2 u 2 η ˜ ( 1 − η ˜ ) + z α / 2 2 v 2 ( 1 − 2 η ˜ ) 2 .

Beal [ 3 ] 使用贝叶斯方法得到 η ˜ = 1 2 ( X 1 + μ n 1 + 2 μ + X 2 + μ n 2 + 2 μ ) ，其中 μ ≥ 0 。Beal研究了不同 μ 值得到的区间的小样本行为后建议使用 μ = 0 或 μ = 1 2 ，这两个值对应的Beal区间分别又称为Haldane区间和Jeffreys-Perks区间。Roths & Tebbs [ 4 ] 发现，细心选择 μ 值可以提升Beal区间的表现，他们给出了 μ 值的最大似然估计和矩估计，使用这两个 μ 值的区间分别记为 C I B e a l − M L E 和 C I B e a l − M O M 。

本文我们关注Beal区间中 η 值的非对称性问题，提出一种提升Beal区间。

Newcomb [ 5 ] 通过大量的模拟计算发现，Haldane区间的覆盖率在实际中可以接近0，而Jeffreys-Perks区间虽然可以在一定程度上改善这种情况，但仍然不能彻底避免覆盖率过小的现象。基于此，我们需要改进Beal区间的表现。

记

r = μ 2 ( 1 n 1 + 2 μ + 1 n 2 + 2 μ ) , f i = n i n i + 2 μ , i = 1 , 2 (2.1)

其中 μ ≥ 0 ，则 η ˜ = 1 2 ( f 1 p ^ 1 + f 2 p ^ 2 ) + r 。对Haldane区间， μ = 0 ，对Jeffreys-Perks区间， μ = 1 2 。Beal [ 3 ] 取 η 为 p 1 , p 2 的算术平均，但是 p 1 , p 2 对 η 的影响可能是不同的，因此，我们取

η λ = λ p 1 + ( 1 − λ ) p 2 , λ ∈ [ 0 , 1 ]

作为讨厌参数，重参数化得到 p 1 = η λ + ( 1 − λ ) θ , p 2 = η λ − λ θ ，则

v a r ( θ ^ ; η λ , θ ) = [ η λ + ( 1 − λ ) θ ] [ 1 − η λ − ( 1 − λ ) θ ] n 1 + ( η λ − λ θ ) ( 1 − η λ + λ θ ) n 2 .

假设 η ˜ λ 是 η λ 的一个估计，求解

( θ ^ − θ ) 2 − z α / 2 2 v a r ( θ ^ ; η ˜ λ , θ ) = 0 (2.2)

即得到以两个根为端点的 的一个置信区间。经过繁琐的计算可以得到提升的Beal区间

其中

使用Beal [ 3 ] 的贝叶斯方法可以得到

的值影响区间的端点和中点，我们期望 的均方误差(MSE)达到最小。容易计算得到 的偏差和方差分别为

其中 的定义见(2.1)式。最小化 可以得到最优的 ：

其中 。实际中，使用 替换 可以得到可用的最优调节参数 。

我们使用两个模拟试验验证提升Beal区间的效果，第一个用于检验覆盖率和最小覆盖率，第二个用于检验区间长度。作为对比，我们同时给出Wald方法、Mee方法和Beal方法(包含Roths & Tebbs [ 4 ] 改良的两种方法)的模拟结果。

我们使用Wallenstein [ 6 ] 的数据，这是一个有关种族歧视的法律案例，详情见原文。这里， 。我们之所以选择这个案例，是因为这里的 属于极端情况。判断一种区间估计方法的好坏，其中一个标准就是看这个方法能否恰当地处理这种极端数据。我们使用提升的

图1. 九种方法的覆盖率， ，

图2. 九种方法的覆盖率， ，

Beal方法估计比例差的95%和99%置信区间。作为对比，我们也给出前述几种方法的估计结果，见表3。我们发现，对于这种极端情况，除了Mee方法和提升的Beal方法，其它方法估计出的区间都超出了[−1,1]的合理范围，这种现象称为overshoot现象，而Mee方法和提升的Beal方法可以避免这种现象的发生。此外，Mee方法和提升的Haldane方法具有相同的估计结果，但是在3.2节的模拟中，Mee方法的平均区

表1. 九种方法的最小覆盖率

表2. 九种方法的平均置信区间长度( , )

表3. 实际数据的95%和99%置信区间

间长度比提升的Haldane方法要大。综上所述，实际中我们推荐使用Mee方法和我们提出的提升Jeffreys-Perks方法。

本文我们通过改良Beal区间中的讨厌参数的选取，提出了一种提升Beal区间方法，最优调节参数可以通过一个显式表达式给出，计算简单。实验模拟显示我们的方法具有大的覆盖率和最小覆盖率，平均区间长度也比较短。实际中，我们推荐使用Mee方法和我们提出的提升Jeffreys-Perks方法。

本文为“广东海洋大学人文社会科学项目：二项抽样下两独立总体的比例差的统计推断”项目成果。

吴延科,柴华金. 两个独立二项分布比例差的提升Beal区间估计A Modified Beal Interval for the Difference between Two Independent Binomial Proportions[J]. 统计学与应用, 2018, 07(04): 400-406. https://doi.org/10.12677/SA.2018.74046