APP Applied Physics 2160-7567 Scientific Research Publishing 10.12677/APP.2019.910049 APP-32702 APP20191000000_93889754.pdf 数学与物理 IBM模型对偶–偶核 100Zr的理论研究 Study of Even-Even Nuclei 100Zr by Interacting Boson Model 董 鸿飞 2 1 王 印 2 1 李 晓伟 2 1 吕 立君 2 1 魏 天枝 2 1 赤峰学院，内蒙古 赤峰 null 28 10 2019 09 10 403 409 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

本文在相互作用玻色子模型框架下对偶–偶核 100Zr进行了理论研究。绘制了基态带的E-GOS曲线，讨论其动力学对称性极限性质，数据分析表明 100Zr是具有U(5)振动极限到SU(3)转动极限之间的过渡核，趋近于O(6)极限。同时文中也拟合了 100Zr核的低能谱的谱带，并对波函数结构进行了理论研究，计算了 100Zr核的低能谱部分的电磁跃迁，计算结果表明理论计算与实验值符合较好。 Even-even nuclei 100Zr were studied within the framework of the interacting boson model. The E-Gamma Over Spin (E-GOS) was drawn, and the analysis of the dynamic symmetry limit found that 100Zr is a transition nuclei from U(5) vibrational limit to SU(3) rotational limit , close to O(6) dynamic symmetry limit. At the same time, the energy spectrum of low-lying states of 100Zr was fitted, the components of the wave function were analyzed, and the B(E2) values of transitions between low-lying states of 100Zr were analyzed respectively. The results show good agreement with the available experimental data.

偶–偶核，相互作用玻色子模型，能谱，E-GOS曲线，电磁跃迁, Even-Even Nuclei Interacting Boson Model Energy Level E-GOS Curve Electromagnetic Transitions IBM模型对偶–偶核<sup>100</sup>Zr的理论研究<sup> </sup>

董鸿飞，王印，李晓伟，吕立君，魏天枝

赤峰学院，内蒙古 赤峰

收稿日期：2019年10月9日；录用日期：2019年10月21日；发布日期：2019年10月28日

 摘 要

本文在相互作用玻色子模型框架下对偶–偶核100Zr进行了理论研究。绘制了基态带的E-GOS曲线，讨论其动力学对称性极限性质，数据分析表明100Zr是具有U(5)振动极限到SU(3)转动极限之间的过渡核，趋近于O(6)极限。同时文中也拟合了100Zr核的低能谱的谱带，并对波函数结构进行了理论研究，计算了100Zr核的低能谱部分的电磁跃迁，计算结果表明理论计算与实验值符合较好。

关键词 :偶–偶核，相互作用玻色子模型，能谱，E-GOS曲线，电磁跃迁

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 1. 引言

采用唯象的理论模型是原子核结构研究的重要手段。相互作用玻色子模型(interacting boson model，简称为IBM)就是一个十分成功的研究原子核集体运动的代数模型，利用该模型，人们成功地描述了原子核低激发能谱、电磁跃迁以及相变等性质 [ 1 ]。在IBM中，假设原子核有一个稳定的双幻核芯，价核子配对成角动量是0或2的核子对，这些核子都被看作是玻色子。角动量L为0的s玻色子和L为2的d玻色子共有六种，这六种玻色子算符构成了IBM模型的哈密顿量，即能谱的生成代数是U(6)。从U(6)开始约化，有U(5)、SU(3)和O(6)三种约化方式。约化的三个子群链为：

U ( 6 ) ⊃ U ( 5 ) ⊃ O ( 5 ) ⊃ O ( 3 ) ⊃ O ( 2 ) U ( 6 ) ⊃ SU ( 5 ) ⊃ O ( 3 ) ⊃ O ( 2 ) U ( 6 ) ⊃ O ( 6 ) ⊃ O ( 5 ) ⊃ O ( 3 ) ⊃ O ( 2 ) (1)

这三个子群链分别对应于不同类型的动力学对称性，用来描述原子核的三种集体运动极限：振动、转动和γ-不稳定特性 [ 2 ] - [ 7 ]。

三个极限的晕态能谱和能级衰变能分别为：

E I = I 2 ℏ ω ， E γ ( I → I − 2 ) = ℏ ω ，

E I = ℏ 2 2 J I ( I + 1 ) ， E γ ( I → I − 2 ) = ℏ 2 2 J ( 4 I − 2 ) ，

E I = I ( I + 6 ) 16 E ( 2 + ) ， E γ ( I → I − 2 ) = E ( 2 + ) 4 ( I + 2 ) 。

令 [ 8 ]，做I-R曲线既为E-GOS曲线。

将基向量表示为 | Ψ 〉 = | n d , n β , n Δ , L d , L 〉 ，哈密顿量可写成多极展开形式为：

H = EPS n d + 1 2 ELL ( L ⇀ ⋅ L ⇀ ) + 1 2 QQ ( Q ⇀ ⋅ Q ⇀ )     − 5 7 OCT [ ( d † d ˜ ) ( 3 ) × ( d † d ˜ ) ( 3 ) ] 0 ( 0 )     + 15 HEX [ ( d † d ˜ ) ( 4 ) × ( d † d ˜ ) ( 4 ) ] 0 ( 0 ) (2)

其中：

L ⇀ ⋅ L ⇀ = − 10 3 [ ( d † d ˜ ) ( 1 ) × ( d † d ˜ ) ( 1 ) ] 0 (0)

Q ⇀ ⋅ Q ⇀ = 5 [ { ( s † d ˜ + d † s ) ( 2 ) + CHQ 5 ( d † d ˜ ) ( 2 ) } × { ( s † d ˜ + d † s ) ( 2 ) + CHQ 5 ( d † d ˜ ) ( 2 ) } ] 0 (0)

式中的EPS、ELL、QQ、OCT、HEX、CHQ为模型的可调参数 [ 9 ]。本文工作是在合理的范围内调节参数值，使计算结果符合实验数据。

 2. 计算结果

本文研究的是100Zr，它有10个价质子(空穴)和10个价中子，共组成10个玻色子。

2.1. 各级限值和E-GOS曲线

根据其实验能谱可以计算出R值并做E-GOS曲线，R值见表1。相应的E-GOS曲线见图1。本文选取了实验数据 20 1 + 以下的角动量为偶数的能级。

Experimental data and the dynamic symmetry limit of 100Z
I 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
实验 106.25 88.00 82.85 78.20 73.92 70.14 66.90 64.52 63.01 62.19
U(5) 106.25 53.13 35.42 26.56 21.25 17.71 15.18 13.28 11.81 10.63
SU(3) 106.25 123.96 129.86 132.81 134.58 135.76 136.61 136.98 137.24 138.13
O(6) 106.25 79.69 70.83 66.41 63.75 61.98 60.71 59.77 59.03 58.44

表1. 100Zr核的实验及各动力学极限值

图1. 100Zr核的E-GOS曲线

 2.2. 模型参数

通过拟合实验的能级，确定了模型的参数，见表2。

Hamiltonian matrix of 100Z
EPS ELL QQ OCT HEX CHQ
−0.3201 0.0237 −0.00116 0.0365 0.0252 −2.9580

表2. 100Zr的哈密顿参数

 2.3. 能谱结果

在选定的参数下，理论计算的能级与实验能级的对比图见图2。可见所选参数较好地拟合了低激发态能谱，其中Band 1和Band 2的符合程度均很好，只是在较合理的范围内存在一定的误差。

图2. 100Zr的实验能谱与理论能谱

 2.4. 波函数

确定了模型参数，我们就可以给出每条能级具体的波函数，本文主要用到的波函数的结构为：

| 0 1 + 〉 ≈ 0.5248 | s 10 d 0 〉 + 0.4457 | s 8 d 2 〉 + 0.0292 | s 6 d 4 〉 + 0.0003 | s 4 d 6 〉

| Ψ 0 1 〉 ≈ 0.724 | 0 , 0 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.668 | 2 , 1 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.171 | 4 , 2 , 0 , 0 , 0 + 〉     + 0.018 | 6 , 3 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.001 | 8 , 4 , 0 , 0 , 0 + 〉

| 0 2 + 〉 ≈ 0.4704 | s 10 d 0 〉 + 0.4528 | s 8 d 2 〉 + 0.0756 | s 6 d 4 〉 + 0.0012 | s 4 d 6 〉

| Ψ 0 2 〉 ≈ 0.686 | 0 , 0 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.673 | 2 , 1 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.275 | 4 , 2 , 0 , 0 , 0 + 〉     − 0.035 | 6 , 3 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.002 | 8 , 4 , 0 , 0 , 0 + 〉

| 0 3 + 〉 ≈ 0.8624 | s 6 d 4 〉 + 0.1010 | s 8 d 2 〉 + 0.0317 | s 4 d 6 〉 + 0.0048 | s 10 d 0 〉

| Ψ 0 3 〉 ≈ − 0.069 | 0 , 0 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.318 | 2 , 1 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.929 | 4 , 2 , 0 , 0 , 0 + 〉     − 0.178 | 6 , 3 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.011 | 8 , 4 , 0 , 0 , 0 + 〉

| 2 1 + 〉 ≈ 0.8335 | s 9 d 1 〉 + 0.1519 | s 7 d 3 〉 + 0.0105 | s 8 d 2 〉 + 0.0002 | s 6 d 4 〉

| Ψ 2 1 〉 ≈ 0.913 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.103 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.390 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.015 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉     + 0.062 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.001 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.004 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 2 2 + 〉 ≈ 0.7410 | s 7 d 3 〉 + 0.1203 | s 9 d 1 〉 + 0.0899 | s 8 d 2 〉 + 0.0434 | s 5 d 5 〉     + 0.0051 | s 6 d 4 〉 + 0.0003 | s 2 d 8 〉 + 0.0001 | s 3 d 7 〉

| Ψ 2 2 〉 ≈ − 0.347 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.300 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.861 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.071 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉     + 0.208 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.007 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.018 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.001 | 9 , 4 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 2 3 + 〉 ≈ 0.8338 | s 8 d 2 〉 + 0.0599 | s 5 d 5 〉 + 0.0564 | s 7 d 3 〉 + 0.0451 | s 9 d 1 〉     + 0.0040 | s 6 d 4 〉 + 0.0007 | s 3 d 7 〉

| Ψ 2 3 〉 ≈ − 0.212 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.913 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.238 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.245 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉     + 0.063 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.026 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.001 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 2 4 + 〉 ≈ 0.9079 | s 5 d 5 〉 + 0.0656 | s 8 d 2 〉 + 0.0262 | s 7 d 3 〉 + 0.0002 | s 9 d 1 〉 + 0.0001 | s 2 d 8 〉

| Ψ 2 4 〉 ≈ 0.014 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.256 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.002 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.953 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉     − 0.004 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.162 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.009 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 4 1 + 〉 ≈ 0.9348 | s 8 d 2 〉 + 0.0646 | s 6 d 4 〉 + 0.0007 | s 4 d 4 〉

| Ψ 4 1 〉 ≈ 0.967 | 2 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.254 | 4 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.027 | 6 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.001 | 8 , 3 , 0 , 4 , 4 + 〉

| 4 2 + 〉 ≈ 0.9087 | s 6 d 4 〉 + 0.0650 | s 8 d 2 〉 + 0.0263 | s 4 d 6 〉 + 0.0001 | s 2 d 8 〉

| Ψ 4 2 〉 ≈ - 0.225 | 2 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.953 | 4 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.162 | 6 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.009 | 8 , 3 , 0 , 4 , 4 + 〉

| 4 3 + 〉 ≈ 0.9689 | s 7 d 3 〉 + 0.0309 | s 5 d 5 〉 + 0.0002 | s 3 d 7 〉

| Ψ 4 3 〉 ≈ 0.984 | 3 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.176 | 5 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.013 | 7 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉

| 4 4 + 〉 ≈ 0.9549 | s 5 d 5 〉 + 0.0310 | s 7 d 3 〉 + 0.0140 | s 3 d 7 〉

| Ψ 4 4 〉 ≈ − 0.176 | 3 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.977 | 5 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.118 | 7 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.004 | 9 , 3 , 0 , 4 , 4 + 〉

 2.5. 电磁跃迁

利用波函数我们可以进一步研究原子核的电磁性质，本文计算了低激发能级的B(E2)值，见表3。

The B(E2) of electromagnetic transitions of 100Z
B(E2) B(E2) B(E2)
2 1 + → 0 1 + 19.3592 2 2 + → 0 2 + 7.5032 2 4 + → 0 3 + 3.3401
2 3 + → 2 1 + 21.3204 2 4 + → 2 2 + 16.2634 3 1 + → 2 3 + 15.8039
4 1 + → 2 1 + 25.9874 4 2 + → 2 2 + 16.2476 4 3 + → 2 3 + 16.2775
4 4 + → 2 4 + 11.6057 4 1 + → 3 1 + 6.5414 4 3 + → 4 1 + 14.0172
4 4 + → 4 2 + 10.6001 5 1 + → 3 1 + 16.7196 5 1 + → 4 3 + 7.5998
29.4361 6 2 + → 4 2 + 22.2603 6 3 + → 4 3 + 21.7138
6 4 + → 4 4 + 16.2353 6 3 + → 6 1 + 10.1331 6 4 + → 6 2 + 7.5764
7 1 + → 5 1 + 22.3819 8 1 + → 6 1 + 31.8469 8 2 + → 6 2 + 23.8116
8 3 + → 6 3 + 24.8066 8 4 + → 6 4 + 17.5420 8 3 + → 8 1 + 7.8337
8 4 + → 8 2 + 5.5396 9 1 + → 7 1 + 24.2268 10 1 + → 8 1 + 32.6402
10 2 + → 8 2 + 23.0816 25.5915 10 4 + → 8 4 + 16.3520

表3. 100Zr电磁跃迁的B(E2) 值

 3. 结论

本文用IBM模型对偶–偶核100Zr进行了研究，在模型所选的参数下拟合了低激发能级，计算结果在一定的误差允许范围内是合理的。同时也用能级的对应的波函数计算了约化跃迁几率。100Zr核素的E-GOS曲线结果表明100Zr是具有U(5)振动极限到SU(3)转动极限之间的过渡核，趋近于O(6)极限，具有较明显的γ-不稳定特性。

 基金项目

内蒙古自治区教育厅自然科学重点项目(NJZZ17296)。

 文章引用

董鸿飞,王 印,李晓伟,吕立君,魏天枝. IBM模型对偶–偶核100Zr的理论研究Study of Even-Even Nuclei 100Zr by Interacting Boson Model[J]. 应用物理, 2019, 09(10): 403-409. https://doi.org/10.12677/APP.2019.910049

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