本文研究了一类二维时变离散时空系统的混沌性，并分析了它的多种伪随机性能。在此基础上，结合拉丁方构造的基本密码系统，设计了一种新的多元流密码算法。将该算法应用于数字图像加密之中，并与二元流密码系统的加密效果进行了对比。实验结果表明新算法具有足够大的密钥空间，并具有良好的加密性能和安全性。

流密码算法，基本密码系统，拉丁方，时变离散时空混沌系统

Yao Zhang, Chuanjun Tian

College of Electronics and Information Engineering, Shenzhen University, Shenzhen Guangdong

Received: Dec. 28^th, 2022; accepted: Jan. 24^th, 2023; published: Jan. 31^st, 2023

This paper studies the chaos of a class of two-dimensional time-varying discrete spatiotemporal systems and analyzes its several pseudorandom properties. On this basis, combined with a basic cipher system constructed by a Latin square, a new multi-bit stream cipher algorithm is designed out and is applied in digital image encryption. Compared with the encryption effect of the single-bit stream cipher algorithm, simulations show that the new algorithm has a large enough key space, good encryption performance and security.

Keywords:Stream Cipher Algorithm, Basic Cryptosystem, Latin Square, Time-Varying Discrete Spatiotemporal Chaotic System

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随着信息技术的发展，密码学已经成为防止数据泄露、保护数据安全的重要手段。流密码是密码学中常见的一种密码算法，在信息安全领域中有着广泛应用 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]。根据现代密码学可知，常见的流密码算法都是以模加法运算所建立的完善保密通信模型为理论基础，这导致了近几十年以来模2加法或2元加法或单比特流密码算法得到广泛研究和应用。但是，常见的二元流密码算法的基本加解密变换或运算过于简单而导致其性能存在一些不足 [ 4 ] [ 5 ]。近几年中，文献 [ 2 ] 将模加法流密码的理论模型推广为更一般的基于拉丁方变换的理论模型，将会极大促进流密码算法的理论及其应用的研究。文献 [ 2 ] 明确指出流密码算法设计分为两个部分：基本系统和密钥流生成器设计(或主密钥空间设计)，且任意阶拉丁方都可用于设计基本系统，并有可能实现理想安全的完善保密通信。不难发现，二元加法流密码的基本加解密变换本质上是由2阶拉丁方决定的。由于拉丁方的阶数决定了基本系统的复杂度和加解密难度，因而寻求高于2阶或1比特的拉丁方基本密码系统将有利于设计出安全性更高和性能更好的密码算法。然而，当前利用高阶或多比特拉丁方来设计基本密码系统和流密码算法的研究还未充分发展，有许多问题都值得进一步研究。

另一方面，密钥流序列也会极大地影响流密码算法的安全性和性能，其中的一个关键问题是如何设计出随机性优良的密钥流生成器。一个良好的密钥流生成器应满足输出的密钥流具有较强的不可预测性以及抵抗统计分析的能力。当前，利用离散混沌系统来构造密钥流序列及其相应的流密码算法受到了广泛关注和研究。在混沌序列密码算法研究中，根据各类文献发现，离散混沌系统的构造类型多样且类随机性能优良，但对多维时变离散混沌时空系统的研究相对较少。因此，本文拟对一类二维时变离散时空系统的混沌性进行分析或研究其在流密码算法中的应用，可参见图1。

图1. 基于二维离散时空系统的密钥流生成器结构示意图

设Z为全体整数集， t ∈ Z ， N t = { t , t + 1 , ⋯ } 为单边整数集，I为有界实数集，且

{ x m + 1 , n = f ( m , y m , n , x m , n + 1 ) y m + 1 , n = g ( m , x m , n , y m , n + 1 ) (1-1)

其中， m , n ∈ N 0 ， f : N 0 × I 3 → I 和 g : N 0 × I 3 → I 是两个三元函数，称 ( f , g ) 为系统(1-1)的系统函数。不难验证：给定两个序列 ϕ = { ϕ 0 , n } n = 0 ∞ 和 φ = { φ 0 , n } n = 0 ∞ ，存在一个二维离散时空序列 z = { ( x m , n , y m , n ) } m , n = 0 ∞ 满足(1-1)，且 x 0 , n = ϕ 0 , n 和 y 0 , n = φ 0 , n ， n = 0 , 1 , 2 , ⋯ 。称z为系统(1-1)初值为 ( ϕ , φ ) 的一个解。为了方便，下面将列向量 ( a 0 , a 1 , ⋯ ) T 与行向量 ( a 0 , a 1 , ⋯ ) 不加区别。

记

I 2 ∞ = { { ( a n , b n ) T } n = 0 ∞ = ( a 0     a 1     ⋯     a n     ⋯ b 0     b 1     ⋯     b n     ⋯ ) | a i , b i ∈ I , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ } (1-2)

不难验证，在 I 2 ∞ 上定义一个映射 d 1 : I 2 ∞ × I 2 ∞ → I 2 ∞ 可得到一个度量空间 ( I 2 ∞ , d 1 ) ：

d 1 ( z 1 , z 2 ) = ∑ n = 0 ∞ | x 1 , n − x 2 , n | + | y 1 , n − y 2 , n | 2 n , z i = { ( x i , n , y i , n ) } n = 0 ∞ , i = 1 , 2 . (1-3)

设 z = { ( x m , n , y m , n ) } m , n = 0 ∞ 是系统(1-1)的一个解， x 0 , n , y 0 , n ∈ I ， n ∈ N 0 ，且

z m = { ( x m , n , y m , n ) } n = 0 ∞ , m = 0 , 1 , 2 , ⋯ (1-4)

则系统(1-1)等价于下式(1-5)中的无穷维离散系统：

z m + 1 = { ( x m + 1 , n , y m + 1 , n ) = ( f ( m , y m , n , x m , n + 1 ) , g ( m , x m , n , y m , n + 1 ) ) } n = 0 ∞ = G m + 1 ( z m ) ,(1-5)

其中， m = 0 , 1 , 2 , ⋯ ， G 1 , G 2 , ⋯ 是由 ( f , g ) 所决定的 I 2 ∞ 上的一列映射。称(1-5)或 G = { G m } m = 0 ∞ 是由系统(1-1)或 ( f , g ) 所导出的离散系统或映射列。

下面先给出一种拉丁方的构造方法，以便为基本系统设计做好准备。

定理2.1设n是一个自然数。对任意 m = m 1 m 2 ⋯ m 2 n ∈ Z 2 2 n 和 k = k 1 k 2 ⋯ k 2 n ∈ Z 2 2 n ，记

c m k = c 1 c 2 c 3 c 4 ⋯ c 2 n − 1 c 2 n = E ( m , k ) = E ( m 1 m 2 m 3 m 4 ⋯ m 2 n − 1 m 2 n , k 1 k 2 k 3 k 4 ⋯ k 2 n − 1 k 2 n ) = [ m 1 ( m ¯ 1 ⊕ m 2 ) m 3 ( m ¯ 3 ⊕ m 4 ) ⋯ m 2 n − 1 ( m ¯ 2 n − 1 ⊕ m 2 n )     + k 1 ( k ¯ 1 ⊕ k 2 ) k 3 ( k ¯ 3 ⊕ k 4 ) ⋯ k 2 n − 1 ( k ¯ 2 n − 1 ⊕ k 2 n ) ] mod 2 2 n = [ W ( m ) + W ( k ) ] mod 2 2 n (2-1)

则 L = ( c m k ) 2 n × 2 n 是一个2n阶拉丁方，其中， ⊕ 是异或运算， a ¯ = 1 − a 表示比特a的补运算，并将 Z 2 2 n 与 Z 2 2 n 对应的数不加区别，且对任意 u = u 1 u 2 ⋯ u 2 n − 1 u 2 n ∈ Z 2 2 n ，映射 W : Z 2 2 n → Z 2 2 n 定义为

W ( u ) = u 1 ( u ¯ 1 ⊕ u 2 ) u 3 ( u ¯ 3 ⊕ u 4 ) ⋯ u 2 n − 1 ( u ¯ 2 n − 1 ⊕ u 2 n ) ∈ Z 2 2 n .

证明：对任一固定的 m ∈ Z 2 2 n ，下面证明当k依次取遍 Z 2 2 n = { 0 , 1 , 2 , ⋯ , 2 2 n − 1 } 中的每一个整数时，L第m行的所有元素 c m 1 , c m 2 , ⋯ , c m , 2 n − 1 , c m , 2 n 将是互不相同的整数，即为 { 0 , 1 , 2 , ⋯ , 2 2 n − 1 } 。否则，将存在两个不同的整数 k = k 1 k 2 ⋯ k 2 n ∈ Z 2 2 n 和 k ˜ = k ˜ 1 k ˜ 2 ⋯ k ˜ 2 n ∈ Z 2 2 n ，使得

c m k = E ( m , k ) = E ( m , k ˜ ) = c m k ˜ ,

即 m + k 1 ( k ¯ 1 ⊕ k 2 ) ⋯ k 2 n − 1 ( k ¯ 2 n − 1 ⊕ k 2 n ) = m + k ˜ 1 ( k ˜ ¯ 1 ⊕ k ˜ 2 ) ⋯ k ˜ 2 n − 1 ( k ˜ ¯ 2 n − 1 ⊕ k ˜ 2 n ) mod 2 2 n 。因此，存在一个整数r，使得 k 1 ( k ¯ 1 ⊕ k 2 ) ⋯ k 2 n − 1 ( k ¯ 2 n − 1 ⊕ k 2 n ) = k ˜ 1 ( k ˜ ¯ 1 ⊕ k ˜ 2 ) ⋯ k ˜ 2 n − 1 ( k ˜ ¯ 2 n − 1 ⊕ k ˜ 2 n ) + r 2 2 n 。由于

0 ≤ k 1 ( k ¯ 1 ⊕ k 2 ) ⋯ k 2 n − 1 ( k ¯ 2 n − 1 ⊕ k 2 n ) < 2 2 n 和 0 ≤ k ˜ 1 ( k ˜ ¯ 1 ⊕ k ˜ 2 ) ⋯ k ˜ 2 n − 1 ( k ˜ ¯ 2 n − 1 ⊕ k ˜ 2 n ) < 2 2 n ,

因而 r = 0 和 k 1 ( k ¯ 1 ⊕ k 2 ) ⋯ k 2 n − 1 ( k ¯ 2 n − 1 ⊕ k 2 n ) = k ˜ 1 ( k ˜ ¯ 1 ⊕ k ˜ 2 ) ⋯ k ˜ 2 n − 1 ( k ˜ ¯ 2 n − 1 ⊕ k ˜ 2 n ) 。于是，依次可推出

k 1 = k ˜ 1 , ( k ¯ 1 ⊕ k 2 ) = ( k ˜ ¯ 1 ⊕ k ˜ 2 ) , ⋯ , k 2 n − 1 = k ˜ 2 n − 1 , ( k ¯ 2 n − 1 ⊕ k 2 n ) = ( k ˜ ¯ 2 n − 1 ⊕ k ˜ 2 n ) .

这样就有 k 1 = k ˜ 1 ， k 2 = k ˜ 2 ， ⋯ ， k 2 n − 1 = k ˜ 2 n − 1 ， k 2 n = k ˜ 2 n ，即 k = k ˜ ，矛盾！由此证明了方阵L的每一行取遍 Z 2 2 n = { 0 , 1 , 2 , ⋯ , 2 2 n − 1 } 中的每一个整数。类似可证明L的每一列也取遍 Z 2 2 n 中的每一个整数。因

此，L是一个2n阶拉丁方。证毕！

由定理2.1可知，当 n = 4 时可得到如下2⁸阶拉丁方L：

L = [ 84 83 82 83 82 81 82 81 80 ⋯ 167 166 169 166 165 168 165 164 167 ⋮ ⋱ ⋮ 167 166 165 166 165 164 169 168 167 ⋯ 250 249 252 249 248 251 252 251 254 ] , H = [ 0 128 64 1 129 65 2 130 66 ⋯ 191 127 255 190 126 254 189 125 253 ⋮ ⋱ ⋮ 253 125 189 254 126 190 255 127 191 ⋯ 66 130 2 65 129 1 64 128 0 ]

其中，方阵是文献 [ 6 ] 中所构造的2⁸阶拉丁方，且L比H 的构造方法要更复杂一些。本文将基于L 所设计的基本密码系统设为 ( M , K , C , E , D ) ，其中，L的第k行是将基本明文空间 M = { 0 , 1 , ⋯ , 255 } 依次作加密变换所得到的基本密文单元，即对任一 m ∈ M ，按照式(2-1)中当 n = 4 时的公式加密可得到密文 c = E ( m , k ) ，且基本解密变换如下：对任意 u = u 1 u 2 ⋯ u 7 u 8 ∈ Z 2 8 ，

m m k = D ( m , k ) = W [ ( c − W ( k ) ) mod 256 ] , W ( u ) = u 1 ( u ¯ 1 ⊕ u 2 ) ⋯ u 7 ( u ¯ 7 ⊕ u 8 ) ∈ Z 2 8 .

设 I = [ 0 , 1 ) ，并定义两个函数 f : N 0 × I 3 → I 和 g : N 0 × I 3 → I ：

f ( m , y , x ) = 〈 s m y 2 + a m x 〉 和 g ( m , x , y ) = 〈 t m x 2 + b m y 〉 ， (3-1)

其中， { a m } m = 0 ∞ ， { b m } m = 0 ∞ ， { s m } m = 0 ∞ 和 { t m } m = 0 ∞ 都是周期数列，即存在正整数p，使得 a m = a m + p ， b m = b m + p ， s m = s m + p 和 t m = t m + p ，对一切 m ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯ } ，且 〈 u 〉 表示实数u的小数。

不难发现，上述映射 ( f , g ) 可产生如下的二维时变离散时空系统

{ x m + 1 , n = f ( m , y m , n , x m , n + 1 ) = 〈 s m y m , n 2 + a m x m , n + 1 〉 y m + 1 , n = g ( m , x m , n , y m , n + 1 ) = 〈 t m x m , n 2 + b m y m , n + 1 〉 (3-2)

其中， x m , n , y m , n ∈ I = [ 0 , 1 ) ，对任一 m , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ 。参照现有文献可以发现，该二维时变离散时空系统(3-2)

的Devaney混沌性还没有被研究过。参照系统(1-1)和系统(1-5)之间的关系可知，系统(3-2)会等价于如下

离散系统：对 z = { ( x m , n , y m , n ) } m , n = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ ，

z m + 1 = { ( x m + 1 , n , y m + 1 , n ) = ( 〈 s m y m , n 2 + a m x m , n + 1 〉 , 〈 t m x m , n 2 + b m y m , n + 1 〉 ) } n = 0 ∞ = G m + 1 ( z m ) ,(3-3)

其中， G m + 1 : I 2 ∞ → I 2 ∞ 是由f和g决定的映射，即对任一 β = { ( u m , v m ) } m = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ ，都有

G m + 1 ( β ) = { 〈 s m v n 2 + a m u n + 1 〉 , 〈 t m u n 2 + b m v n + 1 〉 } n = 0 ∞ , m = 1 , 2 , ⋯ . (3-4)

参照文献 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]，易得如下引理及推论。

引理3.1式(3-3)中映射列 G = { G m } m = 1 ∞ 是周期为p的周期序列，即 G m = G m + p ， m = 1 , 2 , ⋯ 。而且，对一切 m , s , t ∈ N 1 ，都有

G s + m p − 1 ∘ G s + m p − 2 ∘ ⋯ ∘ G s = G t + m p − 1 ∘ G t + m p − 2 ∘ ⋯ ∘ G t .

记式(3-3)定义的映射列 G = { G m } m = 1 ∞ 所确定的复合映射为

H m = G m ∘ G m − 1 ∘ ⋯ ∘ G 1 , m = 1 , 2 , ⋯ . (3-5)

引理3.2对任一给定的常数 c m ≥ 1 ， h , r ∈ I 和 m = 1 , 2 , ⋯ ，存在 u ∈ I ，使得 〈 h + c m u 〉 = r 。

定义3.1若式(1-1)的系统函数 ( f , g ) 所确定的映射列 G = { G m } m = 1 ∞ 或系统(1-5)在度量空间 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上具有传递性、周期点的稠密性和初值敏感依赖性，则称 G = { G m } m = 1 ∞ 或系统(1-5)是Devaney混沌的，也称与系统(1-5)相应的等价系统(1-1)在 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上是Devaney混沌的。

定理3.1在上述条件下，离散系统(3-2)是 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上的Devaney混沌系统。

证明：由定义3.1可知，只需证明系统(3-3)在 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上是Devaney混沌的，即该系统具有周期点的稠密性、传递性和初值的敏感依赖性。首先将证明该系统具有周期点的稠密性。

对于给定的任一点 α = { ( u n , v n ) } n = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ 和 α 的任一邻域 U ⊆ I 2 ∞ ，都存在 δ > 0 ，使得

B δ ( α ) = { x = { ( x n , y n ) } n = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ | d 1 ( x , α ) < δ } n = 0 ∞ ⊆ U .

根据式(1-3)中 d 1 的定义知，存在整数 M ∈ { 1 , 2 , ⋯ } ，使得

{ x = { ( x n , y n ) } n = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ | x i = u i , y i = v i ; i = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 ; ∀ x j , y j ∈ I , j ≥ M } n = 0 ∞ ⊆ B δ ( α ) (3-6)

对任意一点 x = { ( x n , y n ) } n = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ ，记

H 1 ( x ) = G 1 ( x ) = { ( x n ( 1 ) , y n ( 1 ) ) = ( 〈 s 0 y n 2 + a 0 x n + 1 〉 , 〈 t 0 x n 2 + b 0 y n + 1 〉 ) } n = 0 ∞ = x ( 1 ) ,

H 2 ( x ) = G 2 ( x ( 1 ) ) = { ( x n ( 2 ) , y n ( 2 ) ) = ( 〈 s 1 ( y n ( 1 ) ) 2 + a 1 x n + 1 ( 1 ) 〉 , 〈 t 1 ( x n ( 1 ) ) 2 + b 1 y n + 1 ( 1 ) 〉 ) } n = 0 ∞ = x ( 2 ) ,

其中， x n ( 2 ) = 〈 s 1 ( t 0 x n 2 + b 0 y n + 1 ) 2 + a 1 s 0 y n + 1 2 + a 1 a 0 x n + 2 〉 = 〈 f 1 ( x n , x n + 1 , y n , y n + 1 ) + a 1 a 0 x n + 2 〉 ，且

f 1 ( x n , x n + 1 , y n , y n + 1 ) = 〈 s 1 ( t 0 x n 2 + b 0 y n + 1 ) 2 + a 1 s 0 y n + 1 2 〉 ,

以及 y n ( 2 ) = 〈 g 1 ( y n , y n + 1 , x n , x n + 1 ) + b 1 b 0 y n + 2 〉 和 g 1 ( y n , y n + 1 , x n , x n + 1 ) = 〈 t 1 ( s 0 y n 2 + a 0 x n + 1 ) 2 + b 1 t 0 x n + 1 2 〉 。

由递推法可知，对任意 m = 1 , 2 , ⋯ 和 x = { ( x n , y n ) } n = 0 ∞ ∈ I 2 ∞ ，有

H m ( x ) = G m ( x ( m − 1 ) ) = G m ∘ ⋯ ∘ G 1 ( x ) = { ( x n ( m ) , y n ( m ) ) } n = 0 ∞ = x ( m ) ,

其中， f m ( x n , ⋯ , x n + m , y n , ⋯ , y n + m ) = f m ( λ n ) 和 g m ( y n , ⋯ , y n + m , x n , ⋯ , x n + m ) = g m ( ρ n ) 是两个多元函数， λ n = ( x n , ⋯ , x n + m , y n , ⋯ , y n + m ) 和 ρ n = ( y n , ⋯ , y n + m , x n , ⋯ , x n + m ) ，且

x ( m + 1 ) = { ( 〈 f m ( λ n ) + a m ⋯ a 0 x n + m + 1 〉 , 〈 g m ( ρ n ) + b m ⋯ b 0 y n + m + 1 〉 ) } n = 0 ∞ . (3-7)

由已知条件可知，对任一 m = 1 , 2 , ⋯ ，都有 a m ⋯ a 0 ≥ 1 和 b m ⋯ b 0 ≥ 1 。由引理3.2，对任一固定的 η ∈ I ， λ , ρ ∈ I 2 ( m + 1 ) 和 m = 1 , 2 , ⋯ ，都存在实数 c = c m , e = e m ∈ I ，使得

〈 f m ( λ ) + a m ⋯ a 0 c 〉 = η 和 〈 g m ( ρ ) + b m ⋯ b 0 e 〉 = η . (3-8)

对于 α = { ( u n , v n ) } n = 0 ∞ ∈ U ，由式(3-6)、(3-7)、(3-8)，存在一点 β = { ( σ n , τ n ) } n = 0 ∞ ∈ U ，使得 σ n = u n , τ n = v n ， n = 0 , 1 , ⋯ , M − 1 ，且 σ M , τ M , σ M + 1 , τ M + 1 , ⋯ 依次满足：

〈 f M − 1 ( λ n ) + a M ⋯ a 0 σ n + M + 1 〉 = σ n , 〈 g M − 1 ( ρ n ) + b M ⋯ b 0 τ n + M + 1 〉 = τ n , n = 0 , 1 , 2 , ⋯ .

因此， H M ( β ) = G M ∘ ⋯ ∘ G 1 ( β ) = β ∈ V 和 β ∈ U ，即 β 是 G = { G m } m = 1 ∞ 的一个周期点。于是，系统(3-3)在 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上具有周期点的稠密性。同样地，可利用与上述类似的方法证明系统(3-3)还具有传递性和初值敏感依赖性。故系统(3-3)在 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上是Devaney混沌的。证毕！

例1：设二维时变离散时空系统为

{ x m + 1 , n = f ( m , y m , n , x m , n + 1 ) = 〈 4 y m , n 2 + a m x m , n + 1 〉 y m + 1 , n = g ( m , x m , n , y m , n + 1 ) = 〈 4 x m , n 2 + b m y m , n + 1 〉 (3-9)

其中， a m = 3 + ( − 1 ) m 和 b m = 3 + ( − 1 ) m + 1 ，对任意 m = 0 , 1 , 2 , ⋯ 。

基于现有文献无法断定上述系统是否具有Devaney混沌性。但由于该系统是(3-2)的特殊情形，结合定理3.1可知，该系统是 ( I 2 ∞ , d 1 ) 上的Devaney混沌系统。

下面通过SP800-22Rvlla标准系统检验例1系统混沌解序列的伪随机性能，其中，SP800-22Rvlla标准由美国国家标准技术研究所提出的专门针对随机数或伪随机数发生器产生的二进制随机序列的统计测试法。对长度为1×10⁶的混沌序列进行伪随机性检验，设置比特序列长度为10⁶，显著性水平为0.01，当测试p值大于显著性水平时，检验通过，测试结果见表1，且混乱性可见图2。

表1. SP800-22Rvlla测试结果

图2. 解的混乱性和自相关性

本文构建了一类新的时变离散时空混沌系统，基于该系统和高阶拉丁方构造了与常见模2加法或1比特流密码算法明显不同的一种多比特流密码算法。通过对数字图像加解密的多种效果分析与对比，验证了本文提出的算法具有可行性和良好的性能与安全性，具有一定的实际应用参考价值。不过，也要指出：复杂度适中的拉丁方及其变换组的流密码系统性构造方法还值得今后进一步研究。

张 瑶,田传俊. 基于拉丁方的混沌图像加密算法设计Design of a Chaotic Image Encryption Algorithm Based on Latin Squares[J]. 计算机科学与应用, 2023, 13(01): 143-153. https://doi.org/10.12677/CSA.2023.131015