作为对照，本文研究了三种常用的收缩曲线 [9] ，其型线 $h$表达式如下所示：

1) 维氏曲线

$h/R_2=\frac{1}{\sqrt{1-\left[1-{\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}^2\right]\frac{{\left(1-{\left(x/L\right)}^2\right)}^2}{{\left(1+\frac{1}{3}{\left(x/L\right)}^2\right)}^3}}}$(1)

2) 五次曲线

$\eta =-10{\left(x/L\right)}^4+15{\left(x/L\right)}^4-6{\left(x/L\right)}^5$(2)

$h=R_1\left(\eta \left(1-R_2/R_1\right)+1\right)$(3)

3) 双三次曲线

$\frac{h-R_2}{R_1-R_2}=(\begin{array}{l}1-\frac{1}{x_m^2}{\left(x/L\right)}^3,x/L<x_m\hfill \\ \frac{1}{1-x_m^2}\left[1-{\left(x/L\right)}^3\right],x/L\ge x_m.\hfill \end{array}$(4)

其中 $x_m$为两条三次曲线连接点的横坐标相对于收缩段长度的流向位置。

当 $x_m\mathrm{<mo>\; =\; </mo>0.5}$时，三种收缩段曲线比较如 图3 所示。可以看到维氏曲线在入口处收缩最快，而出口处最为平缓。双三次曲线和五次方曲线在入口处收缩都较为平缓，相比之下双三次方曲线在中间部位收缩较快，且在出口处更为平缓。汽车风洞的设计需求下，三种曲线的空气动力学特性将在后续章节进行详细讨论比较。

在传统气动轮廓设计方案的基础上，本文提出一种基于高–低阶多项式的风洞收缩段曲线的设计方法。具体而言，收缩段曲线 $h\left(x\right)$由下游处的高阶多项式( $m$阶)和上游处的低阶多项式( $n$阶)耦合组成。其中 $3\le m\le n$。 $m$和 $n$均为整数。高低阶多项式的数学表达式为：

$h/R_2=(\begin{array}{l}{A}_1{\left(x/L\right)}^n+R_1/R_2,0\le x/L\le x_m\hfill \\ A_2{\left(1-x/L\right)}^m+A_3{\left(1-x/L\right)}^{m-1},x_m<x/L\le 1\hfill \end{array}$(5)

其中 $x_m$为高低阶多项式连接点的流向位置。定义矩阵 $B$、 $C$如下：

$B=\left[\begin{array}{c}1-R_1/R_2\\ 0\\ 0\end{array}\right],$

$C=\left[\begin{array}{ccc}{\left(x_m\right)}^n& -{\left(1-x_m\right)}^m& -{\left(1-x_m\right)}^{m-1}\\ n{\left(x_m\right)}^{n-1}& m{\left(1-x_m\right)}^{m-1}& \left(m-1\right){\left(1-x_m\right)}^{m-2}\\ n\left(n-1\right){\left(x_m\right)}^{n-2}& m\left(m-1\right){\left(1-x_m\right)}^{m-2}& \left(m-1\right)\left(m-2\right){\left(1-x_m\right)}^{m-3}\end{array}\right],$(6)

则常数 $A_1$， $A_2$， $A_3$的值可以由下列公式给出：

$A=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right]=C^{-1}B.$

采用该方法，可以保证：

本方法中高、低阶多项式的阶次 $m$和 $n$，以及连接点的位置 $x_m$，均可在定义范围内进行调整，从而保证可以在不同的设计约束条件限制下尽可能好的保障型线的气动特性。 图4 展示了不同的连接点、不同高阶次、和不同的低阶次取值对型线整体气动轮廓的影响。可以看到，低阶次主要影响收缩段上游处的平缓程度，阶次越高则上游处的收缩越缓慢，与此同时型线中游的收缩则越剧烈。与之相反，高阶次主要影响收缩段下游的平缓程度，阶次越高则收缩段出口处越平缓，同时导致收缩段中部收缩更剧烈。连接点的作用与双三次曲线中类似，其位置主要影响上下游收缩的比例，连接点位置越接近上游则收缩更靠近上游，反之亦然。这种三个调节参数共同作用的设计方式使得该方法相较于固定气动轮廓、或者仅有单参数可调的传统气动设计方式更为灵活，这种上游–中游–下游的共同调节方式可以有效扩宽设计边界，可以在实际工程设计中的现场条件、整体布局约束下进行灵活调整，实现气动效果的优化。上述高低阶多项式的阶次以及连接点的位置既可以通过经验进行有效选取(一个有效的方案是 $m=5,n=3,x_0=0.5$)，也可以在实际工程中通过仿真进行参数优化，针对具体问题选择适当的参数。基于有限体积法的CFD计算、以及涡面元法，都可以支持在有限时间内进行流场仿真以及参数迭代，实现快速高效的寻优过程。

图5 展示了典型的汽车空气动力学–气动声学风洞的几何效果图。参考该类风洞的常用设计方案，给出收缩段的约束条件如下。收缩段出口处的横截面积为 $4\text{m}\times 7\text{m}$，收缩段的长度。约束收缩段的截面收缩比为6，本问题中不约束单方向的收缩比。参照典型车辆测试工况，定义来流速度为40 m/s。本研究希望通过设计 $Y_0$和 $Z_0$截面上的收缩段的气动轮廓，使得以下损失函数 $J$达到最小值：

$J=J_a+\gamma J_b$(7)

公式中 $J_a$代表收缩段出口处的流场均匀度， $J_b$为出口截面处垂直流向速度分量的标准差。上述定义可以充分作为对出口截面处气流均匀、平直的优化目标的数学表达。

在本文中，根据风洞设计经验，取权重系数 $\gamma =0.1$。

根据高–低阶多项式的数学表达式，本工作将对 $Y_0$和 $Z_0$截面收缩段气动轮廓参数进行同步优化。优化参数包括两个截面上的低阶多项式阶次 $m\mathrm{,}p$，高阶多项式阶次 $n\mathrm{,}q$，连接点的位置 $x_m$， $Y_0$和 $Z_0$方向的收缩比 $C{R}_y$。各个参数的取值范围见表1所示。

应用计算流体力学软件Star-CCM+进行收缩段流场的数值仿真计算。通过不可压缩气体的稳态流动进行定常计算。采用六面体 + 棱柱层的自动化网格划分，对网格的特征尺寸、边界层网格的层数，厚度和增长率进行约束。在优化开始前进行了网格无关性研究，研究了精细、一般、粗糙的网格尺寸对于损失函数值的影响，最终采用的网格数量约为150万。用于CFD数值计算的一般模型及网格划分情况如 图6 所示。计算模型采用 $k-\omega$ SST湍流模型，采用壁面函数模拟近壁流动，采用分离隐式求解器。压力速度耦合采用SIMPLE算法。压力、动量、湍流度方程均采用二阶迎风格式。边界条件设置如下：稳定段入口设为速度入口，速度大小为 $30\text{m}/\text{s}$，湍流强度设为1%。出口设为压力出口，压强为标准大气压强。流体选用理想气体。

近年来基于人工智能技术的优化算法逐渐获得更多的关注。该类算法可以处理传统优化理论难以解决的高维复杂的问题，在寻找全局最优解，以及强非线性问题时，可以有效避免陷入局部最优，适用于各种类型的优化问题。本文采用遗传算法对约束条件下的收缩段气动轮廓进行优化。遗传算法是一种模仿自然进化过程，来解决优化和搜索问题的启发式算法。通过遗传学的机制如选择、交叉和变异来逐代进化出更优的解决方案。如 图7 所示，算法流程开始于随机生成的一组初始个体。通过评估每个个体的损失函数，决定其在后代中的再生几率。此外，算法模仿自然界进化过程，通过参数交叉和变异产生新的后代个体。该过程重复进行，直到满足某个终止条件停止。该算法具有强大的全局搜索、并行寻优、以及高适应性和灵活性等优点，是解决复杂优化问题的高效工具。

本文优化试验基于某高性能工作站开展。算法对表1中列出的所有参数进行同步寻优，采用个体数为10、进化轮次为15轮的优化方案。该方案对应的优化试验总时长约70小时。如 图8 所示，优化流程耦合了基于Star-CCM+的流场求解器和基于MATLAB搭建的智能优化算法。接收到收缩段设计参数后，求解器根据输入值建立数值风洞模型，进行网格划分，边界条件设置。随后进行求解，待求解结束后通过后处理计算损失函数。求解器将损失函数取值传递给优化器，同时等待优化器通过智能算法对个体参数进行更新，进行新一轮计算。整个流程循环执行直到满足停止条件。