定理3 系统(1)具有唯一的无病平衡点 $P_0\left(S_1^0,0,0,0,0,S_2^0,0,0,0,0\right)$。

证明根据无病平衡点的定义，设置感染变量 $E_i=I_i=D_i=0\left(i=1,2\right)$代入模型(1)。再由

$\frac{\text{d}{R}_i}{\text{d}t}=0$

有

$\{\begin{array}{l}-m_{21}{R}_1+m_{12}{R}_2-n_1{R}_1=0\hfill \\ -m_{12}{R}_2+m_{21}{R}_1-n_2{R}_2=0,\hfill \end{array}$

即

$-\left(\begin{array}{cc}{m}_{21}+n_1& -m_{12}\\ -m_{21}& m_{12}+n_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

可记为 $-GR=0$。由于G的所有非对角元素都为负且每一列的元素之和都为正，由Salmani等人 [21] 文章中的定理B.6知G是一个非奇异M-矩阵且有 $G^{-1}>0$。故方程组只有零解，即 $R_1=0,R_2=0$。

由

$\frac{\text{d}{S}_i}{\text{d}t}=0$，

有

$\{\begin{array}{l}{A}_1-m_{21}{S}_1+m_{12}{S}_2-n_1{S}_1=0\hfill \\ A_2-m_{12}{S}_2+m_{21}{S}_1-n_2{S}_2=0,\hfill \end{array}$

即

$\left(\begin{array}{cc}{m}_{21}+n_1& -m_{12}\\ -m_{21}& m_{12}+n_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{S}_1\\ S_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right)\triangleq CS=A.$

由于矩阵C具有正的列和负的非对角项，因此，由Salmani等人 [21] 文章中的定理B.6可知C是一个非奇异M-矩阵，并且 $C^{-1}>0$。因此方程有唯一解，即 $S^0=C^{-1}A$。因此，系统(1)存在无病平衡点且唯一。

为了研究系统(1)的定性特性，计算耐药结核病是否流行的阈值对耐药结核病的控制具有重要意义。为了使表达式更简单，定义 ${\hat{m}}_1=n_1$， ${\hat{m}}_2={\alpha }_1+n_1$， ${\hat{m}}_3=c_1+b_1+n_1$， ${\hat{m}}_4={\epsilon }_1+d_1+n_1$， ${\hat{m}}_5=n_2$， ${\hat{m}}_6={\alpha }_2+n_2$，

${\hat{m}}_7=c_2+b_2+n_2$， ${\hat{m}}_8={\epsilon }_2+d_2+n_2$， ${\lambda }_1=\frac{{\beta }_1\left(I_1+{\mu }_1{D}_1\right)}{N_1}$， ${\lambda }_2=\frac{{\beta }_2\left(I_2+{\mu }_2{D}_2\right)}{N_2}$。

根据Driessche等人 [22] 提出的下一代矩阵方法来计算系统的基本再生数， $x=\left(E_1,E_2,I_1,I_2,D_1,D_2\right)$。系统(1)可以表示为

$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=ℱ\left(x\right)-\mathcal{V}\left(x\right)$，

且

$ℱ=\left(\begin{array}{c}\frac{{\beta }_1\delta \left(I_1+{\mu }_1{D}_1\right)S_1}{N_1}\\ \frac{{\beta }_2\delta \left(I_2+{\mu }_2{D}_2\right)S_2}{N_2}\\ \frac{{\beta }_1\left(1-\delta \right)\left(I_1+{\mu }_1{D}_1\right)S_1}{N_1}\\ \frac{{\beta }_2\left(1-\delta \right)\left(I_2+{\mu }_2{D}_2\right)S_2}{N_2}\\ 0\\ 0\end{array}\right),\mathcal{V}=\left(\begin{array}{c}{\hat{m}}_2{E}_1\\ {\hat{m}}_6{E}_2\\ -{\alpha }_1{E}_1-{\epsilon }_1{D}_1+{\hat{m}}_6{I}_1\\ -{\alpha }_2{E}_2-{\epsilon }_2{D}_2+{\hat{m}}_7{I}_2\\ -b_1{I}_1+{\hat{m}}_4{D}_1\\ -b_2{I}_2+{\hat{m}}_8{D}_2\end{array}\right).$

新感染项的矩阵F和剩余转移项的矩阵V如下所示：

$F={\frac{\partial {ℱ}_i}{\partial {\mu }_j}|}_{P_0}=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& {\beta }_1\delta & 0& {\beta }_1\delta {\mu }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\beta }_2\delta & 0& {\beta }_2\delta {\mu }_2\\ 0& 0& {\beta }_1\left(1-\delta \right)& 0& {\beta }_1\left(1-\delta \right){\mu }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\beta }_2\left(1-\delta \right)& 0& {\beta }_2\left(1-\delta \right){\mu }_2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$ $V={\frac{\partial {\mathcal{V}}_i}{\partial {\mu }_j}|}_{P_0}=\left(\begin{array}{cccccc}{\hat{m}}_2& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& {\hat{m}}_6& 0& 0& 0& 0\\ -{\alpha }_1& 0& {\hat{m}}_3& 0& -{\epsilon }_1& 0\\ 0& -{\alpha }_2& 0& {\hat{m}}_7& 0& -{\epsilon }_2\\ 0& 0& -b_1& 0& {\hat{m}}_7& 0\\ 0& 0& 0& -b_2& 0& {\hat{m}}_8\end{array}\right).$

因此基本再生数表示为 $R_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)$，其中 $\rho \left(F{V}^{-1}\right)$表示下一代矩阵的谱半径，因此得到系统的基本再生数为 $R_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)=max\left(R_0^1,R_0^2\right)$。其中，

$R_0^1=\frac{{\beta }_1\left(b_1{\mu }_1+{\hat{m}}_4\right)\left({\hat{m}}_2-n_1\delta \right)}{{\hat{m}}_2\left({\hat{m}}_3{\hat{m}}_4-b_1{\epsilon }_1\right)},R_0^2=\frac{{\beta }_2\left(b_2{\mu }_2+{\hat{m}}_8\right)\left({\hat{m}}_6-n_2\delta \right)}{{\hat{m}}_6\left({\hat{m}}_7{\hat{m}}_8-b_2{\epsilon }_2\right)}.$

为了讨论无病平衡点P₀的稳定性，根据Driessche等人 [22] 的定理2，引入下面引理：

引理1 如果O是非负矩阵，Q是非奇异M-矩阵，则

$s\left(O-Q\right)<0\iff \rho \left(O{Q}^{-1}\right)<1,s\left(O-Q\right)>0\iff \rho \left(O{Q}^{-1}\right)>1,$

其中 $s\left(A\right)=maxRe\left({\lambda }_i\right)$： $\lambda$是矩阵A的特征值。

定理4 在非负初始条件下，若 $R_0<1$，系统的无病平衡点是局部渐近稳定的；若 $R_0>1$，系统是不稳定的。

证明因为系统在无病平衡点P₀处的雅可比矩阵为

$J_0=\left(\begin{array}{cc}F-V& 0\\ J_3& J_4\end{array}\right).$

其中，

$J_3=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& c_1& 0& d_1& 0\\ 0& 0& 0& c_2& 0& d_2\\ 0& 0& -{\beta }_1& 0& -{\mu }_1{\beta }_1& 0\\ 0& 0& 0& -{\beta }_2& 0& -{\mu }_2{\beta }_2\end{array}\right),J_4=\left(\begin{array}{cccc}-m_{21}-n_1& m_{12}& 0& 0\\ m_{21}& -m_{12}-n_2& 0& 0\\ 0& 0& -m_{21}-n_1& m_{12}\\ 0& 0& m_{21}& -m_{12}-n_2\end{array}\right),$

记

$J_4=-\left(\begin{array}{cc}G& 0\\ 0& C\end{array}\right)\triangleq -H,G=\left(\begin{array}{cc}{m}_{21}+n_1& -m_{12}\\ -m_{21}& m_{12}+n_2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}{m}_{21}+n_1& -m_{12}\\ -m_{21}& m_{12}+n_2\end{array}\right).$

那么J₀的特征值就是 $F-V$的特征值和J₄的特征值。

首先，由于C和G都是非奇异M-矩阵，因此H是非奇异M-矩阵，由文献 [21] 中的定理B.5有 $s\left(-H\right)=s\left(J_4\right)<0$，即。故 $J_4$的特征值均具有负实部。那么无病平衡点的局部稳定性就取决于矩阵 $F-V$的稳定性。

其次，因为F是一个非负矩阵，且V是一个非奇异M-矩阵，所以由引理1有 $s\left(F-V\right)<0\iff \rho \left\{F{V}^{-1}\right\}<1$，即 $s\left(F-V\right)=maxRe\left({\lambda }_i\right)<0$，所以 $F-V$的特征值均具有负实部，因此，当 $R_0<1$时，无病平衡点P₀是局部渐近稳定的。

最后，由引理1，当 $\rho \left\{F{V}^{-1}\right\}>1\iff s\left(F-V\right)>0$，即 $s\left(F-V\right)=maxRe\left({\lambda }_i\right)>0$，也就是说 $R_0>1$时， $F-V$的所有特征值中至少存在一个实部大于0的特征值。因此，当 $R_0>1$时，无病平衡点P₀不稳定。

定理5 在非负初始条件下，如果 $R_0<1$，则系统的无病平衡点是全局渐近稳定的。

证明系统(1)可表示为

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{S}_i}{\text{d}t}=A_i-\frac{\left(I_i+{\mu }_i{D}_i\right){\beta }_i{S}_i}{N_i}-n_i{S}_i+m_{ij}{S}_j-m_{ji}{S}_i\\ \frac{\text{d}{E}_i}{\text{d}t}=\frac{\left(I_i+{\mu }_i{D}_i\right){\beta }_i\delta S_i}{N_i}-\left({\alpha }_i+n_i\right)E_i\\ \frac{\text{d}{I}_i}{\text{d}t}=\frac{\left(I_i+{\mu }_i{D}_i\right){\beta }_i\left(1-\delta \right)S_i}{N_i}+{\alpha }_i{E}_i+{\epsilon }_i{D}_i-\left(c_i+b_i+n_i\right)I_i\\ \frac{\text{d}{D}_i}{\text{d}t}=b_i{I}_i-\left({\epsilon }_i+d_i+n_i\right)D_i\\ \frac{\text{d}{R}_i}{\text{d}t}=c_i{I}_i+d_i{D}_i-n_i{R}_i+m_{ij}{R}_j-m_{ji}{R}_i\end{array}$(2)

其中 $i=1,2;j=1,2$ $\left(i\ne j\right)$。方程组(2)的第2个方程和第三个方程在 $S_i\le N_i$下，有以下不等式：

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{E}_i}{\text{d}t}\le \left(I_i+{\mu }_i{D}_i\right){\beta }_i\delta -\left({\alpha }_i+n_i\right)E_i\\ \frac{\text{d}{I}_i}{\text{d}t}\le \left(I_i+{\mu }_i{D}_i\right){\beta }_i\left(1-\delta \right)+{\alpha }_i{E}_i+{\epsilon }_i{D}_i-\left(c_i+b_i+n_i\right)I_i\end{array}$(3)

由方程组(2)的第4个方程和方程组(3)定义一个辅助线性系统，记为：

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{\bar{E}}_i}{\text{d}t}=\left({\bar{I}}_i+{\mu }_i{\bar{D}}_i\right){\beta }_i\delta -\left({\alpha }_i+n_i\right){\bar{E}}_i\\ \frac{\text{d}{\bar{I}}_i}{\text{d}t}=\left({\bar{I}}_i+{\mu }_i{\bar{D}}_i\right){\beta }_i\left(1-\delta \right)+{\alpha }_i{\bar{E}}_i+{\epsilon }_i{\bar{D}}_i-\left(c_i+b_i+n_i\right)\bar{I}\\ \frac{\text{d}{\bar{D}}_i}{\text{d}t}=b_i{\bar{I}}_i-\left({\epsilon }_i+d_i+n_i\right){\bar{D}}_i\end{array}$(4)

即

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\begin{array}{c}{\bar{E}}_i\\ {\bar{I}}_i\\ {\bar{D}}_i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}F-V\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\bar{E}}_i\\ {\bar{I}}_i\\ {\bar{D}}_i\end{array}\right)$(5)

方程组(4)的右端有系数矩阵 $F-V$， $R_0=\rho \left(F{V}^{-1}\right)<1$，即 $s\left(F-V\right)<0$，因此 $F-V$的每个特征值都在左半平面，故方程组(4)的每个正解都满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }{\bar{E}}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{\bar{I}}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{\bar{D}}_i\left(t\right)=0$。

记 $u={\left({\bar{E}}_i,{\bar{I}}_i,{\bar{D}}_i\right)}^{\text{T}}$，那么(5)可写为 $\frac{\text{d}u}{\text{d}t}=\left(F-V\right)u$， $F-V$的所有非对角线项非负，记 $v={\left(E_i,I_i,D_i\right)}^{\text{T}}$，

使用Smith的比较原理 [23] 可得，对于所有的 $t>t_0$有 $v\left(t\right)\le u\left(t\right)$。由于， $\underset{t\to \infty }{\lim }{\bar{E}}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{\bar{I}}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{\bar{D}}_i\left(t\right)=0$。故方程组(2)的解都满足 $\underset{t\to \infty }{\lim }{E}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{D}_i\left(t\right)=0$。

因为随着 $t\to \infty$， $I_i\left(t\right)$， $D_i\left(t\right)$的每个正解都趋于0。对于方程组(2)的第5个方程，当 $t\to \infty$时，

$\frac{\text{d}{R}_i}{\text{d}t}=-\left(m_{ji}+n_i\right)R_i+m_{ij}{R}_2.$

这个系统具有系数矩阵 $-G$。由于 $-G$的所有特征值位于左半平面，因此 $\underset{t\to \infty }{\lim }{R}_i\left(t\right)=0$。

由于 $\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{D}_i\left(t\right)=0,\underset{t\to \infty }{\lim }{R}_i\left(t\right)=0$。那么对于方程组(2)的第1个方程则有

$\frac{\text{d}{S}_i}{\text{d}t}=A_i+m_{ij}{S}_j-\left(m_{ji}+n_i\right)S_i,$

可表示为

$\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=A-CS.$

其中，

$\frac{\text{d}S}{\text{d}t}=\left(\begin{array}{c}\frac{\text{d}{S}_1}{\text{d}t}\\ \frac{\text{d}{S}_2}{\text{d}t}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right),S=\left(\begin{array}{c}{S}_1\\ S_2\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}{m}_{21}+n_1& -m_{12}\\ -m_{21}& m_{12}+n_2\end{array}\right).$

该方程组的解被分为齐次解和特解。因为 $-C$是一个负的非奇异M-矩阵，所以 $s\left(C\right)<0$，根据Salmani等人 [21] 文章中的定理B.5，其所有的特征值都位于左半平面。因此， $\underset{t\to \infty }{\lim }{S}_n\left(t\right)=0$，其中 $S_n\left(t\right)$表示方程组的齐次解。又由于矩阵C是一个不可约的非奇异M-矩阵，根据Salmani等人 [21] 文章中的定理B.4，矩阵C具有正逆。故 $S_0=C^{-1}A$是方程组的特解。所以， $S=S_n\left(t\right)+S_0$是方程组的通解，故有 $\underset{t\to \infty }{\lim }{S}_i=S_i^0$.因此，无病平衡点在 $R_0<1$时是全局渐渐稳定的。

如果 $R_0^1>1,R_0^2>1$，对于给出的耐药结核病模型，令模型(1)的等式右端为0，求解方程组可得正的且唯一的疾病流行状态 $P^{*}\left(S_1^{*},E_1^{*},I_1^{*},D_1^{*},R_1^{*},S_2^{*},E_2^{*},I_2^{*},D_2^{*},R_2^{*}\right)$。其中，

$S_1^{*}=\frac{\left({\hat{m}}_3{\hat{m}}_4-{\epsilon }_1{b}_1\right){\hat{m}}_2}{{\hat{\beta }}_1\left({\hat{m}}_2-\delta {\hat{m}}_1\right)\left({\hat{m}}_4+{\mu }_1{b}_1\right)}=\frac{N_1^{*}}{R_0^1},S_2^{*}=\frac{\left({\hat{m}}_7{\hat{m}}_8-{\epsilon }_2{b}_2\right){\hat{m}}_6}{{\hat{\beta }}_2\left({\hat{m}}_6-\delta {\hat{m}}_5\right)\left({\hat{m}}_8+{\mu }_2{b}_2\right)}=\frac{N_2^{*}}{R_0^2},$

$E_1^{*}=\frac{\delta \left[A_1-\left({\hat{m}}_1+m_{21}\right)S_1^{*}+m_{12}{S}_2^{*}\right]}{{\hat{m}}_2},E_2^{*}=\frac{\delta \left[A_2-\left({\hat{m}}_5+m_{12}\right)S_2^{*}+m_{21}{S}_1^{*}\right]}{{\hat{m}}_6},$

$I_1^{*}=\frac{{\hat{m}}_4\left[A_1-\left({\hat{m}}_1+m_{21}\right)S_1^{*}+m_{12}{S}_2^{*}\right]}{S_1^{*}{\hat{\beta }}_1\left({\hat{m}}_4+b_1{\mu }_1\right)},I_2^{*}=\frac{{\hat{m}}_8\left[A_2-\left({\hat{m}}_5+m_{12}\right)S_2^{*}+m_{21}{S}_1^{*}\right]}{S_2^{*}{\hat{\beta }}_2\left({\hat{m}}_8+b_2{\mu }_2\right)},$

$D_1^{*}=\frac{b_1\left[A_1-\left({\hat{m}}_1+m_{21}\right)S_1^{*}+m_{12}{S}_2^{*}\right]}{S_1^{*}{\hat{\beta }}_1\left({\hat{m}}_4+b_1{\mu }_1\right)},D_2^{*}=\frac{b_2\left[A_2-\left({\hat{m}}_5+m_{12}\right)S_2^{*}+m_{21}{S}_1^{*}\right]}{S_2^{*}{\hat{\beta }}_2\left({\hat{m}}_8+b_2{\mu }_2\right)},$

$R_1^{*}=\frac{c_1{I}_1^{*}+d_1{D}_1^{*}+m_{12}{R}_2^{*}}{m_{21}+n_2},R_2^{*}=\frac{\left(m_{21}+n_2\right)\left(c_2{I}_2^{*}+d_2{D}_2^{*}\right)+m_{21}\left(c_1{I}_1^{*}+d_1{D}_1^{*}\right)}{\left(m_{21}+n_2\right)\left(m_{12}+n_1\right)-m_{12}}.$

定理7 当 $R_0>1$时，系统(1)的地方病平衡点 $P^{*}\left(S_1^{*},E_1^{*},I_1^{*},D_1^{*},R_1^{*},S_2^{*},E_2^{*},I_2^{*},D_2^{*},R_2^{*}\right)$在正不变集上是全局渐近稳定的。

证明 为了证明疾病当前状态的全局渐近稳定性，参考文献 [6] [24] [25] ，定义如下等式：

$\begin{array}{c}{V}_1=\left(S_1-S_1^{*}-S_1^{*}\ln \left(\frac{S_1}{S_1^{*}}\right)\right)+B_1\left(E_1-E_1^{*}-E_1^{*}\ln \left(\frac{E_1}{E_1^{*}}\right)\right)\\ +B_2\left(I_1-I_1^{*}-I_1^{*}\ln \left(\frac{I_1}{I_1^{*}}\right)\right)+B_3\left(D_1-D_1^{*}-D_1^{*}\ln \left(\frac{D_1}{D_1^{*}}\right)\right),\end{array}$(6)

$\begin{array}{c}{V}_2=\left(S_2-S_2^{*}-S_2^{*}\ln \left(\frac{S_2}{S_2^{*}}\right)\right)+B_1\left(E_2-E_2^{*}-E_2^{*}\ln \left(\frac{E_2}{E_2^{*}}\right)\right)\\ +B_2\left(I_2-I_2^{*}-I_2^{*}\ln \left(\frac{I_2}{I_2^{*}}\right)\right)+B_3\left(D_2-D_2^{*}-D_2^{*}\ln \left(\frac{D_2}{D_2^{*}}\right)\right),\end{array}$(7)

对于地方病平衡点 $P^{*}$满足以下两个方程组：

$\{\begin{array}{l}{A}_1={\lambda }_1^{*}{S}_1^{*}+{\hat{m}}_1{S}_1^{*}-m_{12}{S}_2^{*}+m_{21}{S}_1^{*}\hfill \\ {\lambda }_1^{*}\delta S_1^{*}={\hat{m}}_2{E}_1^{*}\hfill \\ {\lambda }_1^{*}\left(1-\delta \right)S_1^{*}+{\alpha }_1{E}_1^{*}+{\epsilon }_1{D}_1^{*}={\hat{m}}_3{I}_1^{*}\hfill \\ b_1{I}_1^{*}={\hat{m}}_4{D}_1^{*},\hfill \end{array}$(8)

$\{\begin{array}{l}{A}_2={\lambda }_2^{*}{S}_2^{*}+{\hat{m}}_5{S}_2^{*}-m_{21}{S}_1^{*}+m_{12}{S}_2^{*}\hfill \\ {\lambda }_2^{*}\delta S_2^{*}={\hat{m}}_6{E}_2^{*}\hfill \\ {\lambda }_2^{*}\left(1-\delta \right)S_2^{*}+{\alpha }_2{E}_2^{*}+{\epsilon }_2{D}_2^{*}={\hat{m}}_7{I}_2^{*}\hfill \\ b_2{I}_2^{*}={\hat{m}}_8{D}_2^{*}.\hfill \end{array}$(9)

对函数 $V_1$求微分后，有

${\stackrel{\dot{}}{V}}_1=\left(1-\frac{S_1^{*}}{S_1}\right){\stackrel{\dot{}}{S}}_1+B_1\left(1-\frac{E_1^{*}}{E_1}\right){\stackrel{\dot{}}{E}}_1+B_2\left(1-\frac{I_1^{*}}{I_1}\right){\stackrel{\dot{}}{I}}_1+B_3\left(1-\frac{D_1^{*}}{D_1}\right){\stackrel{\dot{}}{D}}_1\text{,}$(10)

将 $\stackrel{.}{S_1},\stackrel{.}{E_1},\stackrel{.}{I_1},\stackrel{.}{D_1},\stackrel{.}{R_1}$代入(10)中得

$\begin{array}{c}{\stackrel{\dot{}}{V}}_1=\left(1-\frac{S_1^{*}}{S_1}\right)\left({\hat{\beta }}_1{I}_1^{*}{S}_1^{*}+{\hat{\beta }}_1{\mu }_1{D}_1^{*}{S}_1^{*}+{\hat{m}}_1{S}_1^{*}+m_{21}{S}_1^{*}-m_{12}{S}_2^{*}-{\hat{\beta }}_1{I}_1{S}_1-{\hat{\beta }}_1{\mu }_1{D}_1{S}_1-{\hat{m}}_1{S}_1-m_{21}{S}_1+m_{12}{S}_2\right)\\ +B_1\left(1-\frac{E_1^{*}}{E_1}\right)\left({\hat{\beta }}_1\delta I_1{S}_1+{\hat{\beta }}_1\delta {\mu }_1{D}_1{S}_1-{\hat{m}}_2{E}_1\right)\\ +B_2\left(1-\frac{I_1^{*}}{I_1}\right)\left({\hat{\beta }}_1\left(1-\delta \right)I_1{S}_1+{\hat{\beta }}_1\left(1-\delta \right){\mu }_1{D}_1{S}_1+{\alpha }_1{E}_1+{\epsilon }_1{D}_1-{\hat{m}}_3{I}_1\right)\\ +B_3\left(1-\frac{D_1^{*}}{D_1}\right)\left(b_1{I}_{11}-{\hat{m}}_4{D}_1\right).\end{array}$(11)