本文使用了S-G滤波、BISE滤波和BISE-WT滤波3种NDVI时间序列数据去噪算法。下面从基本原理和数学模型两个角度，简单介绍这3种去噪算法及优缺点。

Savitzky和Golay [1] 在1964年提出S-G滤波，该滤波又被称为最小二乘法或数据平滑多项式滤波。S-G滤波的核心思想是：通过随机选取某点周围的一部分点，应用最小二乘卷积算法拟合出一个n阶多项式，利用该多项式计算出这个点的平滑值。实际上简单来讲，就是对原有序列的一个加权平均，其中权重的大小由n阶多项式模型来决定。需注意一点，该算法只适用于云处理之后数据的去噪。NDVI时间序列数据的S-G滤波过程可以用公式(2)描述：

$Y_j^{*}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=-m}^{i=m}{C}_i{Y}_{j+i}}}{N}$. (2)

式中， $Y_j^{*}$代表拟合后的时间序列数据； $Y_{j+i}$代表原始时间序列数据； $C_i$指的是第i个时序数据经滤波时的系数；N为滑动窗口所包含的数据点。

在处理时间序列数据时，运用S-G滤波算法需要满足两个基本条件：1) 所处理的NDVI时间序列曲线是连续的，且服从植被的年际动态变化趋势。2) 云、大气和雨雾等外界因素会使NDVI值降低，因此绝大部分噪声会低于整体的NDVI序列数据的均值。

此外，在使用S-G算法时，需要事先人为确定两个参数，即滑动窗口的宽度以及多项式的拟合阶数，合理的参数能够保证NDVI时间序列数据拟合的精确性。倘若滑动窗口的宽度设定的偏小，则会出现大量的数据冗余，不利于获取数据集的长期变化趋势；若滑动窗口的宽度设定偏大，则会忽略很多细节信息。多项式的拟合阶数通常设置为2~4，若阶数偏低，则时序曲线会变得更加平滑，与此同时，会保存一些异常的数值；反之，能够去掉这些异常值，但也会出现过度拟合的现象，产生新的噪声。

最佳指数斜率提取算法(BISE)是Viovy [9] 等人于1992年提出的，用于去除NDVI时间序列中的噪声。这是一种基于阈值的方法，通常需要根据主观的经验策略，并取决于分析员的技能和经验，确定滑动期和滑动期内NDVI再生可接受百分比增加的阈值。Viovy等人认为NDVI时间序列曲线中的突变可能是由多种因素造成的。例如，有云到无云状况的转变，或视场角的切换。BISE方法的核心思想是：在一个滑动窗口内向前查询，若下一个点的值比起点的值高，则该点的值保持不变；若下一个点的值比起点的值低，且该低值点的1.2倍高于滑动窗口内的最大值，则该点的值不变；如果该低值点的1.2倍低于滑动窗口内的最大值，则需要用滑动窗口内的最大值代替该点的值。

BISE滤波法的关键是滑动窗口的大小，如果滑动窗口过小，则会包含大量的噪声；反之，如果滑动窗口过大，有些植被的生长速度较快，就会忽略掉一些重要的植被动态变化有效信息。VIovy等人经过大量的实验探究发现，选择30天作为滑动窗口是最理想的。

这里，我们再通过一个大小为3像素的滑动窗口进一步描述BISE算法，将第一个像素的值和第二个像素的值之间的减少值设为 $D_{i-1,j}$，将最后一个像素的值于第二个像素的值之间的减少值设为 $D_{i+1,j}$，分别按照等式(3)和等式(4)计算：

$D_{i-1,j}=\frac{x_{i-1}-x_i}{x_{i-1}}$ (3)

$D_{i+1,j}=\frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}$ (4)

其中， $x_{i-1}$表示第一个像素的值， $x_i$和 $x_{i+1}$分别是第二个像素的值和最后一个像素的值。如果 $D_{i-1,j}$、 $D_{i+1，j}$均大于阈值， $x_i$将被重新分配如下：

$x_i=\frac{x_{i-1}+x_{i+1}}{2}$ (5)

随着滑动窗口向前移动，BISE将对序列进行去噪。

Lu等人提出的小波变换法 [10] 是一种基于频域的滤波方法，其核心思想是：将连续的信号分解为不同频率分量的函数，每个分解后的量具有与其对应的尺度。经过这一分解，会将原时间序列信号分为低频和高频两部分，然后需要将低频部分进行再分解，再次分解为低频和高频部分，如此下去，最后通过低通滤波器滤除高频信号，得到平滑的NDVI时序曲线。

长度固定的且快速降低的振荡波形(母函数)在不同尺度上转换即得到小波函数(子函数)，而小波变换往往都是由小波函数进行表示的。小波的基本形式即称作母函数，通过对小波母函数 $\text{Ψ}\left(t\right)$。进行伸缩平移，函数可通过公式(6)得到：

${\text{Ψ}}_{a,\tau }\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{a}}\Psi \left(\frac{t-\tau }{a}\right)$ (6)

式中：a,τ∈R；a > 0，a为尺度因子， $\tau$为位移参数； $\text{Ψ}\left(t\right)$为母函数。

对于函数f(t)的连续小波变换其表达式为(7)：

${\Psi }_{a,\tau }\left(t\right)\ge \frac{1}{\sqrt{a}}$ $\underset{R}{\overset{}{{\displaystyle \int }}}f\left(t\right){\Psi }^{*}\left(\frac{t-\tau }{a}\right)\text{d}t$ (7)

式中：*代表共轭函数。

为比较S-G滤波算法、BISE算法以及B-W算法的NDVI时序曲线平滑算法在去噪效果上的差异，本研究提取了Landsat NDVI最大合成数据中的5组样点数据进行对比分析。由于空间限制，本研究图中显示的为宝日希勒矿区2000~2021年的曲线数据。

宝日希勒矿区植被覆盖较为分散，这点可从 图2 中明显看出，原时间序列数据曲线上下波动较大，NDVI值在0.1~0.7之间浮动，2008年NDVI值猛降至0.3，2013年降至0.1。

从整体看来， 图2 中3种去噪重建算法针对原数据得到的NDVI曲线的变化趋势都较为平滑，说明S-G滤波、BISE滤波和B-W滤波均具有一定的去噪能力。其中较为显著的噪点如2008年和2013年，在 图2 中可以看到经过三种算法去噪后，NDVI值都有明显的抬升，说明在重建时均已被剔除。

从 图2(a) 中可以明显看到，BISE算法消除了2008年的显著噪声，并保留了因地表开采造成的NDVI的突变的情况，与S-G滤波和B-W滤波相比，它与原图的整体趋势基本相同。BISE得到的NDVI时序曲线较为粗糙，保留了连续噪声，与原始数据之间的差异最小，说明其去噪效果一般，仅实现了初步去噪；从 图2(b) 、 图2(c) 中可以看出S-G滤波在很大程度上去除了噪声，同时去除了2004、2008、2013年的连续噪声，得到的NDVI时序曲线比其余两个方法得到的曲线更加平滑，存在过度拟合的现象，这容易造成波峰部分高值低估、波谷部分低值高估的情况，去噪效果较差；从 图2(c) 中可以看出，BISE-WT去噪方法通过贝叶斯风险函数计算了小波阈值，将幅值差异较大的信号分割开来，然后将幅值较低的噪声信号剔除，同时将幅值较大的有效信号予以保留。即很好地综合了BISE滤波保留原曲线趋势较好以及WT保证曲线平滑度的特点，不仅去除了噪声，更保留了曲线原本的趋势，去噪效果最好。具体效果图如下，其中数字代表测试像素的顺序。

为了定量评价3种方法对NDVI时序数据的去噪重建效果，本研究选取400个测试像素进行RMSE分析。 表1 显示了噪声等级分别为10%、40%、70%时，3种去噪方法的RMSE值。

对于Landsat-NDVI数据而言，不同平滑滤波的NDVI重建效果具有一定的差异。从 表1 中可以看出，与对照组相比，三种方法的RMSE值均低于对照组，证明三种去噪方法都可以抑制原NDVI时序数据的噪声；对于噪声为10%的NDVI时序数据，BISE的RMSE值相比其他两种方法更低，去噪效果最好；对于噪声为40%和70%时的NDVI时序数据，B-W去噪方法的RMSE值更低，该方法的去噪性能最好。同时，无论噪声百分比是多少，S-G滤波的RMSE值都是三者中最高的，证明其在三者中去噪效果最差。

在存有噪声影响时，会使得原本因开采导致NDVI值下降的年份提前或向后推迟，去除噪声后，则会恢复到原本应该产生变化的年份。基于此原理，进行变化监测分析3种方法的去噪效果。 图3 显示的为研究区域用于变化检测分析后的结果。其中0值代表的为2000年之前的采矿情况。我们通过可视化解释确定了所选样本点的实际扰动年数，并将上一年因非植被而变化的原始NDVI最大合成影像的检测日期定义为每个像素的干扰年。从 图3 中，我们可以注意到，3种去噪方法得到的结果与原始NDVI最大合成图像得到的结果非常不同。从(d)图中可以看出原图已经受到了噪声的影响，2000年之前开采的地方，有一些被识别成其他的年份。与(d)图相比，图(b)所显示的S-G滤波识别变化年份时出错较多，过度拟合现象较为严重、去噪效果较差；图(c)所显示的B-W算法，可以看出部分年份被识别成其他年份的情况较其他两种方法少，同时平滑了因2000年以前因开采导致的噪声。

为了进一步评估变化检测结果，我们从样本区域随机选择了200个样本点，计算各种方法的整体精度，具体结果如 表2 所示。不同的滤波方法均存在着过度拟合的现象，可以看到经三种方法去噪后，变化检测结果的整体精度反而小于去噪前的影像，其中S-G滤波的过度拟合现象最为严重，分类精度最低，B-W的整体分类精度最好。