1. 引言

自Zadeh基于元素的隶属度提出模糊集 [1] 的概念，大量处理不确定性、不精确问题的理论和方法相继出现。基于模糊集的理论，Atanassov提出了直觉模糊集 [2] 。与Zadeh的模糊集相比，直觉模糊集对隶属度、非隶属度和犹豫度这三个方面的信息同时考虑，因而在处理模糊性和不确定性等方面更具灵活性和实用性，被广泛应用于实际问题，如知识发现、模式识别、医疗诊断、机器学习等领域 [3] - [5] 。

粗糙集理论是处理不完备、不精确和不确定信息的一种有效工具。Pawlak [6] 于1982年提出粗糙集的概念以来，经过几十年的发展，该理论在研究和应用方面都得到了迅猛的发展。经典的粗糙集是以完备信息系统为研究对象，以等价关系为基础的理论。然而在实际问题中很多信息系统是基于优势关系的 [7] [8] ，传统的粗糙集理论已不适用于解决此类问题，于是Greco等提出了基于优势关系的粗糙集理论(Dominance-based Rough Set Approach) [9] 。该理论主要将属性集上的等价关系替换为优势关系，但仍保持经典粗糙集的基本性质。Yang [10] 和Qian [11] 等在研究序信息系统的数据挖掘时也引入优势关系粗糙集方法。

经典粗糙集理论由于知识等价类与概念集之间的包含关系太过严格，没有考虑某种程度上的子集关系和知识等价类与概念集相交关系的量化信息，因而在实际应用中具有一定得局限性。于是Ziarko W. [12] 在1993年通过引入误差参数提出了变精度粗糙集模型，可以属性之间没有函数关系的数据问题进行处理。Yao Y.Y.和Lin T.Y. [13] 在1996年通过研究粗糙集与模态逻辑间的关系，基于程度模态逻辑构建了程度粗糙集模型。变精度粗糙集模型 [12] [14] 与程度粗糙集模型 [15] [16] 分别从相对量化指标和绝对量化指标对近似空间进行描述。变精度与程度从两个不同客观方面去刻画同一概念，两个指标既有其优势及适用环境又是相辅相成的关系。因此，对变精度与程度模型的复合研究具有深远意义。通过两者的复合，相对量化与绝对量化既能同时进行，又能扬长避短，使信息的量化更加全面和更加深刻。在实际应用中，可能要求同时考虑变精度与程度，基于对精度与程度上的不同逻辑需求，可以构建许多新的模型，通过多方位的量化刻画，去更好地满足现实需求。

本文在直觉模糊信息系统中，基于变精度与程度的逻辑组合，构建了直觉模糊信息系统的变精度与程度“逻辑或”粗糙集模型并对其粗糙区域和基本性质进行深入研究，以形成对近似空间变精度相对量化与程度绝对量化的复合描述，同时拟在模型层面完全或部分扩张经典粗糙集模型，变精度粗糙集模型和程度粗糙集模型。

2. 预备知识

定义2.1 [2] ：设论域是一个非空有限的Cantor Set，称集合为上的一个直觉模糊集，其中，是中元素对集合的隶属度；是中元素对集合的非隶属度，且，有。表示中元素对集合的犹豫度。

定义2.2：设是有限对象集，是有限属性集，是与的关系集，为的有限值域，其中是中元素对属性的隶属度，是中元素对属性的非隶属度，称三元组为一个直觉模糊信息系统。

定义2.3 [12] ：设为论域，为上的等价关系，称为近似空间。，定义集合关于近似空间的精度的上近似集和下近似集分别为

；.

其中称为等价类关于集合的错误分分类率，为0到1的实数，称为可调错误分类水平，称为精度，表示集合的基数。本文为了更一般化，将参数的取值限定在上，可以类似的得到。是关于的错误分类率小于的等价类的并集，是关于的错误分类率不大于的等价类的并集。若，则称在精度下是粗糙的，否则称是精确的。

定义2.4 [16] ：设为近似空间，，其中为论域上的等价关系。，为非负整数，关于近似空间依程度的上近似和下近似分别为

；.

是由等价类与的交集的个数多于个元素的所有等价类构成，是由等价类不属于的元素的个数最多只有的所有等价类构成。若，称依程度是粗糙的，否则称为是精确的。

设为信息系统，其中为有限非空对象集，为条件属性集，是与之间的关系集，为的有限值域。在给定信息系统中，若的值域上存在偏序关系“”，则称为一个准则。表示在准则下对象至少和对象一样好。。对于，，表示对象关于中的所有的准则都优于对象。如果信息系统中所有的属性都为准则，那么称为一个序信息系统 [17] ，记为。

设是一个序信息系统，对且，属性集的优势关系定义为，且属性集的优势类为；对，那么在序信息系统下的上近似集、下近似集、正域、负域、上边界域、下边界域和边界域的分别定义为

；；

；；；

；

若，则称在序信息系统下是粗糙的；若则称为在序信息系统下是精确的或可描述的 [6] 。

3. 直觉模糊序信息系统下变精度与程度“逻辑或”粗糙集

在预备知识中，对变精度粗糙集、程度粗糙集以及序信息系统下的粗糙集的基本知识进行了简要介绍，本节基于直觉模糊序信息系统，研究变精度与程度“逻辑或”粗糙集的内容，并深入讨论其相关性质。

定义3.1：设为一个直觉模糊信息系统，，，定义对象对属性的加权得分函数，。

其中和分别表示对象对属性的隶属度和非隶属度，且满足。并且表示对象对属性的犹豫度。加权系数满足。

注：为隶属度的权重，当得分评价越看重隶属度时，的取值越大；为非隶属度的权重，当得分评价越看重非隶属度时，的取值越大；为犹豫度的权重，当得分评价越看重犹豫度时，的取值越大。所以在进行得分评价时，根据实际需求给出相应的权重。由于，所以在取值时只需给出和，并且保证。

定义3.2：设为一个直觉模糊信息系统，，，根据加权得分函数，属性的值域上存在着递增偏序关系“”或递减偏序关系“”，故称为一个准则。若直觉模糊信息系统中所有的属性都为准则，则称信息系统为一个直觉模糊序信息系统，记为。

在直觉模糊序信息系统中，，，定义属性集的优势关系为，且属性集的优势类定义为。其中是对象对属性的加权得分。

定义3.3：设为直觉模糊序信息系统，对，在直觉模糊序信息系统下的精度为，程度为的“逻辑或”上、下近似集分别定义为

；

.

相应地给出的正域、负域、上边界域、下边界域和边界域

；；

；；

.

如果，则称在直觉模糊序信息系统下依精度与程度是“逻辑或”粗糙的；否则称依精度与程度是“逻辑或”是精确的。

定理3.1：设为直觉模糊序信息系统，对，，，，有以下结论成立：

(1)；(2)。

证明：(1)对，有或。即或。所以。另外，对，有或，即或。故综上可得。

(2) 证明方法与(1)类似。

特别地：当，，，；

当，，，；

当，，，；

当，，；

当，，。

定理3.2：设为直觉模糊序信息系统，对，，，，有

(1); (2).

证明：由定义3.3可以直接得到。

定理3.3：设为直觉模糊序信息系统，对，，，，有

(1)；

(2).

证明：(1)由定义3.3知：和，由此可得，所以结论成立。

(2) 同理可得。

定理3.4：设为直觉模糊序信息系统，对，，，，有下列结论成立

(1)时有

；

；

；

。

(2)时有

；

；

；

.

证明：由且，可得，

(1) 当时有

和，由此可得，故，；

当时有

和，于是可知，所以，；

当时有

，即和，有，进而有，故。

其他对应的区域，以及当且时可以类似的得到。

定理3.5：设为直觉模糊序信息系统，对，，，有下列结论成立：

(1)；

当时，，，，；

当时，，；

(2) 若，那么，；

(3)，；

(4)，；

(5) 若，，有

；；

(6)，。

证明：(1)~(5)易证。

(6)要证明该定理需要引入，的定义，类似与该粗糙集的定义方式其具体定义如下：

；

。

因为

同理可得：。

4. 算法设计

为了方便验证我们所提出的定义与定理，本文设计了两个算法来计算的上、下近似集以及正、负域，上、下边界域和边界域，其中算法1是计算直觉模糊序信息系统的上下近似；算法2是计算直觉模糊序信息系统中的正域、负域、上边界域、下边界域和边界域。而且分析了算法的步骤。

在算法1中，第2步初始化的上、下近似集为空集；第3步到第7步计算论域上所有的对象在属性集下的得分；第8步到第28步求解逻辑或上下近似，其中第10步到第21步为求对象的优势类，第22步到第24步求解的上近似，第25步到第27步求解的下近似；第29步返回的上近似和下近似。

在算法2中，第2步和第3步初始化的正域、负域、上边界域、下边界域和边界域为空集；第4步到第28步为循环论域计算的正域、负域、上边界域、下边界域和边界域，其中第5步和第6步初始化对象默认是属于上近似和下近似的，第7步到第9步判断对象是否属于上近似并更新其默认值，第10步到第12步判断对象是否属于下近似并更新其默认值，第5步到第12步的目的是为了减少后面重复判断对象是否属于上近似和下近似，第13步到第15步判断对象是否属于的正域，如果属于的正域则更新正域，第16步到第18步判断对象是否属于的负域，如果属于的负域则更新负域，第19步到第21步判断对象是否属于的上边界域，如果属于的上边界域则更新上边界域，第22步到第24步判断对象是否属于的下边界域，如果属于的下边界域则更新下边界域，第25步到第28步判断对象是否属于的边界域，如果属于的边界域则更新边界域，第29步返回的正域、负域、上边界域、下边界域和边界域。

5. 实例及其分析

在装备采购中，存在多个装备供应商可供选择，对供应商资格评价是供应商选择的关键问题。某型军用装备邀请招标，已经投标入围的有5家供应商分别为，，，，，但合同仅授予其中的一家。当时特邀20名专家，对入围的5家供应商进行评判，现将专家当时的满意程度与

不满意的程度列在下表，表1中的直觉模糊数可通过专家是否满意的形式来获取，如专家对于属性的隶属度与非隶属度，可通过下面的方法来确定：邀请10位专家，对5名供应商进行投票，若有4个满意，5个不满意，1个弃权，即有1位专家在满意与不满意之间持犹豫意见。这时我们认为专家对属性的隶属度为0.4，非隶属度为0.5，而犹豫度为0.1，记作，其他的直觉模糊数可类似得到。

在这里，隶属度权重和非隶属度权重分别表示满意程度和不满意程度的权重，和是根据不同的需求来设置，一般而言对于满意和不满意程度，人们往往更看中满意程度，对于不满意程度和犹豫度往往不太看重，所以本文设置，，那么犹豫度。对于精度和程度往往会根据需求而自行选择，所以本文设置，，通过定义3.1计算得到加权得分表2。

运用表2的加权得分和定义3.2可以计算论域中所有对象的优势类，所有的优势类见表3。

随机抽取一部分对象集作为研究对象。的上、下近似分别为

；。

进而，的正域、负域、上边界域、下边界域和边界域分别为

；；；

；。

表1. 专家对供应商的满意程度与不满意的程度

表2. 加权得分表

表3. 论域U中所有对象的优势类

6. 结论

本文在直觉模糊序信息系统下，通过充分考虑隶属度、非隶属度和犹豫度等指标在评价机制中的重要性，定义了加权得分函数。通过此函数，定义了一种新的排序规则和优势关系。基于此优势关系，本文提出了直觉模糊变精度和程度“逻辑或”双量化粗糙集模型，并对其粗糙集区域的基本结构和重要性质进行深入研究。最后，结合装备采购实际案例验证了该理论的可行性和有效性。直觉模糊“逻辑或”双量化粗糙集模型不仅使信息量化更加准确，而且为直觉模糊序信息系统中的知识发现提供了理论基础。

基金项目

国家自然科学基金(61472463, 61402064 )；重庆市自然科学基金(cstc2015jcyjA1390)；重庆理工大学研究生创新基金(YCX2015227)。

参考文献