1. 引言

不确定性广泛存在于如工程、社会、管理和经济等许多实际问题中。相较于概率论、模糊集 [1] 、粗糙集 [2] 和直觉模糊集 [3] 等传统解决不确定性问题的数学工具，软集合理论 [4] 在处理不确定性问题方面具有得天独厚的优势。目前，许多学者致力于软集理论和应用方面的工作。理论方面工作主要集中在软运算 [5] [6] [7] 、软关系 [8] 、相等测度 [9] [10] [11] ，和软代数结构 [12] [13] [14] 等。在应用方面，软集广泛被应用到决策 [15] 和预测 [16] 等。

近来，有学者将软集应用到R₀-代数的滤子理论研究上 [17] 。众所周知，目前大多数学者都接受剩余格 [18] 是一种宽泛的模糊逻辑代数，R₀-代数 [19] 等都可以看作是剩余格的特例。因此，本文将在剩余格上深入研究交软滤子的相关性质，如全体交软滤子的格结构，以及它们与全体交软同余之间的对应关系等。这些结论的获得不仅丰富了剩余格的滤子理论，而且扩大了软集的应用。

2. 预备知识

定义2.1 [18] ：代数如果满足条件

(1)是有界格；

(2)是交换幺半群；

(3)构成伴随对，即当且仅当，则称为剩余格。

为了方便，约定。

定理2.1 [19] ：设为剩余格。则对任意有

(1)；

(2)；

(3) 如果，那么且；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)；

(9)；

(10)，其中。

设为论域上的参数集，称偶对为软论域。记为的幂集。

定义2.2 [4] ：设为软论域，映射，如果对任意的，，都有，则称为是上的一个软集。

定义2.3 [4] ：设和分别为上的软集。若，则称是的软子集。

定义2.4 [4] ：设和分别为上的软集。和的交集和并集分别定义为：，。

3. 交软滤子及其格结构

本节引入剩余格上交软滤子的概念，验证所有交软滤子构成有界分配格。

以下假设为软论域上所有软集的集合，其中为剩余格，为论域。

定义3.1：设，如果

(1)；

(2)，

则称为剩余格上的交软滤子。

例3.1：设满足。定义上运算和如下：

,

设，定义满足且，则容易验证为交软滤子。

文献 [17] 给出交软滤子如下刻画，结合剩余格性质，不难发现其证明都是基于剩余格的基本性质，因此可以类似的推广到剩余格。

定理3.1：设，则为交软滤子当且仅当以下条件成立：

(1)蕴含；

(2)。

定理3.2：设，则为交软滤子当且仅当蕴含。

记软论域上的所有交软滤子的集合为。以下结果是显然的。

定理3.3：设为交软滤子，如果，那么。

定义3.2：设，称包含的所有交软滤子的交为由生成的交软滤子，记为。

定理3.4：设，定义，其中，则。

证明：设满足，由定义有。对，有如下包含关系：

因此为交软滤子。设为交软滤子满足。由交软滤子定义有

所以。

例3.2：从上述定理不难发现例3.1中。

定理3.5：设为交软滤子且。定义为

则为交软滤子。

证明：设。如果，那么。由的定义有

设。考虑如下情形：

情形1：。如果和之一等于1，不妨设，那么。所以

。

如果或者，矛盾。

如果，则有

。

情形2：。显然，不可能有。

如果或者，明显地，。

如果，则有

。

总之，有。所以为交软滤子。

定义3.3：设和为软集，定义如下：

定理3.6：设和为交软滤子。则有

证明：首先证明为交软滤子。

显然，是保序的。所以是交软滤子。

容易验证，因此有。

最后，假设是交软滤子，满足如果，则有；如果，则有

所以。

设为交软滤子，定义如下运算：

则有如下结果：

定理3.7：是有界分配格。

证明：只证分配性。

显然，，下证。设。如果，那么

如果，则有

设，容易验证，则上式可表示为

所以，即分配性成立。

4. 交软同余

本节引入交软同余概念，讨论其性质及其与交软滤子之间的关系。

定义4.1：设为上的软集，如果

(1)；

(2)；

(3)；

(4)，其中，

则称为上的交软同余。

给定交软滤子，定义

定理4.1：设是的交软滤子，则是交软同余。

证明：由容易验证，故略。

设为上交软同余且。定义

称其为的交软同余类。称为由确定的商集。

定理4.2：设为上交软同余，则为的交软滤子。

证明：由定义4.1(3)有

所以。由定义4.1(3)和(4)有

。所以为交软滤子。

定理4.3：设为的交软同余，那么对任何有

证明：由定义4.1(4)有

由定理2.1(1)和(10)有

因此。

类似地，。所以

因此等式成立。

定理4.4：设为的交软同余，那么

证明：由定理4.3有

所以。

定理4.5：设为的交软滤子，则。

证明：容易验证，故略。

由定理4.4和4.5不难验证如下结果：

定理4.6：交软滤子的全体和交软同余之间存在一一对应。

定理4.7：设为的交软滤子，那么当且仅当。

证明：对任意，假定，则有

特别地，令，有。

反之，由定理2.1(10)有

所以。类似地，。所以，即。

设为的交软滤子。对任意定义如下运算：

定理4.8：设为的交软滤子，则

为剩余格，称为由交软滤子诱导出的商剩余格。

证明：容易验证，故略。

5. 结束语

本文引入了剩余格上的交软滤子，讨论了它们的一些性质。特别地，证明了所有交软滤子构成有界分配格；在交软滤子和交软同余之间存在一一对应；剩余格相对交软滤子诱导出商剩余格。

作为本文的进一步研究，我们将结合文献 [20] 引入剩余格上各种类型具体的交软滤子，将软集应用到决策和数据分析上。

基金项目

临沂大学大学生创新创业训练项目(No. 201510452106)；山东省自然科学基金(No. ZR2013FL006)。

参考文献