1. 前言

降水丰枯状态是流域水资源开发利用与管理决策的重要依据。大部分地区都以大气降水作为主要补给来源，因此在水文水资源预测中首先需要对降水进行预测。马尔可夫链是俄罗斯数学家马尔可夫19世纪初期提出的一种随机事件预测方法，在水文气象预测中应用广泛。作为一个典型的自然随机序列，通过马尔科夫链来预测降水序列的丰枯状态常，且取得了较好的预测精度 [1] - [10] 。在马尔可夫链应用过程中，许多学者根据研究对象的特点和需求，结合其他方法加以融合，使得马尔可夫链不断得到改进，其中加权马尔科夫链 [5] - [15] 和灰色马尔可夫链 [16] [17] [18] 应用较为广泛，这些改进虽然在某些特定的预测对象上取得了更好的预测精度，但这些改进方法的普适性仍然不明确。由于云南南部山区气象条件复杂，降水过程存在较大的不确定性，难以通过物理成因来确定未来某一时段降水量的准确数值，因此预测出未来某时段降水量的变化区间即可以完全满足精度要求 [7] 。本文利用马尔可夫链方法，以勐海站1958~2016年降水量资料为基础，对西双版纳流沙河流域2017~2020年降水丰枯状态进行预测。

2. 马尔可夫链预测原理与步骤

马尔可夫链通过统计随机序列过去一定时期内的状态转移概率来预测将来状态变化概率，其中时间参数集与状态参数集称为马尔可夫链。马尔可夫链是时间离散、状态离散的随机时间序列，它的特点是无后效性，即下一步状态只与前一步状态有关，而与前面其他各时间状态无关。马尔可夫链预测步骤如下：

1) 判断对象序列是否是随机变量。首先初步判断对象序列是否受人为控制，若受人为控制则不适用于马尔科夫链，若不受人为控制则通过马氏性检验最终确定是否适用于马尔可夫链。

2) 建立序列状态分级标准，把将要预测的事件划分为若干状态。水文分析中常用P-III型频率曲线法来确定丰枯状态。

3) 建立状态转移矩阵。用f_ij表示指标值序列 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 中从状态i转移到达状态j的频数，即 $P\left(E_i{E}_j\right)=P_{ij}$ 。对资料序列所对应的状态进行统计计算，得到各状态的转移规律，进而建立状态转移概率矩阵

(1)

其中：p₁₁表示p₁转移到p₁的概率，p₁₂表示p₁转移到p₂的概率，……，p_n1表示p_n转移到p₁的概率，p_nn表示p_n转移到p_n的概率。

若某一事件目前处于状态E_i，那么在下一时刻，它可能由E_i状态转向 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 中的任何一个状态，其状态转移概率满足条件

${\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{p}_{ij}}=1\left(0\le P_{ij}\le 1;i,j=1,2,\cdots ,n\right)$ (2)

4) 对随机序列进行马氏检验

将转移概率矩阵(p_ij)的第j列之和除以各行各列的总和所得的值称为“边际概率”，记为P._j，即

$p_{.j}=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{f}_{ij}}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{f}_{ij}}}}$ (3)

则当序列长度n充分大时，统计量

${\text{X}}^{\text{2}}=2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{f}_{ij}}}\left|\lg \frac{p_{ij}}{p.j}\right|$ (4)

在水文分析中，一般要求序列长度不少于30年，以保证数据序列具有代表性。给定显著性水平α，查表可得分位点 $X_{\alpha }^2\left({\left(M-1\right)}^2\right)$ 的值，计算后得统计量X²的值，若 $X^2>X_{\alpha }^2\left({\left(M-1\right)}^2\right)$ ，则可以认为{X_i}符合马氏性，否则认为该序列不适用于马尔可夫链。

状态转移概率矩阵的计算。计算状态转移概率矩阵P，得到每个状态转移到其他状态的转移频数和转移概率 $P_{ij}\left(I,j=1,2,\cdots ,n\right)$ 。

3. 流沙河流域降水预测

流沙河为澜沧江一级支流，发源于云南省西双版纳州勐海县格朗河乡板怒山，流域面积2052.8 km²。流沙河流域属热带季风气候，雨季(5~11月)降水量约占全年降水量的90%左右，由于流域内高差达1900 m，立体气候特征明显，山区降水量大于平坝，下游大于上游。流沙河流域水热条件好，是西双版纳地区传统农业种植区，降水对农业发展具有重要影响。勐海水文站位于流沙河中游，控制流域面积1032 km²，其降水量接近流域平均值，具有较强的代表性。本文以勐海站1958~2016年降水序列为数据基础，并将2015年和2016年降水量作为验证期，利用马尔可夫链方法预测2017~2020年降水量。勐海站马尔可夫链预测计算过程如下：

1) 初步判断勐海站降水序列是否是随机变量。尽管人类活动对全球气候变化有一定影响，但从流沙河流域所处区域来看，其降水量主要受到季风气候控制，尚属随机变量。

2) 建立勐海站年降水序列分级标准。降水序列长度达59年，样本代表性较强，可采用P-III型分布频率曲线法，分别以保证率0~12.5%、12.5%~37.5%、37.5%~62.5%、62.5%~87.5%、87.5%~100%将年降水分为丰、偏丰、平、偏少、少5个等级，对应状态E = {1,2,3,4,5} (表1)。根据降水丰枯分级标准，逐年确定降水量丰枯状态(表2)。

3) 对表2进行状态转移统计，得到状态转移频数(表3)和概率矩阵(表4)。

4) 结合转移概率矩阵和马氏检验计算公式，求得勐海站1958~2014年降水量序列对应的统计量x²为41.45，大于α = 0.05显著性水平下分位点 $X_{\alpha }^2\left(16\right)$ 的值26.296，该降水量序列满足马氏性。

5) 计算概率矩阵，即可得到勐海站降水量2015年状态的预测概率；将2015年降水量状态加入原序列，重复以上步骤，即可得到2016年降水量状态的预测概率。由勐海站降水量马尔科夫链预测验证结果(表5)可知，2015年和2016年预测状态与实际状态一致，表明马尔科夫链方法适用于勐海站降水量预测。

6) 重复以上步骤，即可得到2017~2020年降水量状态的预测概率(表6)。

4. 结论

降水量预测是防汛抗旱及流域水资源开发利用与管理的主要依据，也一直是水文水资源预报工作的重要方向。从勐海站历年降水数据来看，西双版纳流沙河降水量总体呈减少趋势，特别是2009年西南连续大旱以来降水明显减少。马尔可夫链的基本方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势，概念清晰，计算简便，是降水量短期预测的有效途径。由于马尔科夫链方法基于过去一定时段统计概率进行预测，勐海站预测结果不可避免地受到2009~2012年连续干旱这一极端气候变化的影响，但由于所用降水序列较长，较短时期的极端气候变化对预测结果的影响较小。

从勐海站降水量马尔科夫链预测模型验证结果来看，2015年和2016年验证期预测丰枯状态与实际完全吻合，表明马尔可夫链在该流域降水预测中具有较高的精度，能够满足降水短期预测的需要。从勐海站降水马尔科夫链预测结果来看，2017~2020年预测降水丰枯状态分别为平水、偏枯、平水、偏枯，表明该时段降水量总体偏少，仍将延续降水减少的趋势，流域节水压力将持续增大。由于流沙河流域以农业为主，因此应将加大农业节水力度作为挖掘流域节水潜力的重点。

参考文献