摘要: 蒙特卡罗在反应堆物理计算中具有重要作用，而目前反应堆的蒙特卡罗程序，如MCNP、RMC等，都采用连续能量点截面，开发基于评价核数据库的连续能量点截面处理程序对于蒙特卡罗计算具有重要意义。利用倒栈法，自主开发了连续能量点截面处理模块ACEXS。ACEXS的主要功能是把ENDF数据库中的角分布和能量分布数据转化成概率表形式，包括MF4、MF5和MF6中的所有的反应道，这些反应道包括裂变、(n, 2n)、(n, 3n)等。然后基于ENDF/B-VII.1评价核数据库制作了连续能量点截面数据库，对比了ACEXS产生的概率分布与NJOY2016的结果，概率密度最大误差不超过0.5%，累积密度最大不超过0.1%。利用ICSBEP手册中的临界基准题对数据库精度进行了验证，ACEXS与ACER的结果绝对偏差小于100 pcm。最后采用快堆基准题ZPR6/7，计算了基准题有效增殖因子，ACEXS的计算结果与ACER的偏差为6 pcm,由此说明程序开发正确，计算结果与ACER的计算结果吻合较好。
Abstract:
Monte Carlo plays an important role in reactor physical calculation, and the current reactor Monte Carlo program, such as MCNP, RMC, etc., all use continuous energy point cross section. It is of great significance to develop continuous energy point cross section processing program based on evaluation nuclear database for Monte Carlo calculation. A continuous energy point cross section processing module, ACEXS, is developed by using backward stack method. The main function of ACEXS is to convert the angular distribution and energy distribution data in ENDF database into probability table form, including all reaction paths in MF4, MF5 and MF6, including fission, (n, 2n), (n, 3n), etc. Then, based on ENDF/B-VII.1 evaluation kernel database, the continuous energy point cross section database was made, and the probability distribution generated by ACEXS was compared with the results of NJOY2016. The maximum error of probability density was less than 0.5%, and the maximum cumulative density was less than 0.1%. The accuracy of the database was verified by the critical benchmark in ICSBEP manual, and the absolute deviation between ACEXS and ACER was less than 100 pcm. Finally, fast reactor benchmark ZPR6/7 was used to calculate the effective proliferation factor of the benchmark. The deviation between ACEXS and ACER was 6 pcm, indicating that the program was developed correctly and the calculated results were in good agreement with those of ACER.
1. 引言
评价核数据库是核工程设计与核技术研究的重要基础，但评价核数据库并不能直接应用于核工程设计，而是需要经过复杂的处理，然后生成为核工程设计和核技术应用的核数据库。蒙特卡罗程序MCNP [1] 和RMC [2] 所需要的ACE格式连续能量点截面库是其中一种。目前具备生成ACE格式数据库功能的程序有美国洛斯·阿拉莫斯国家实验室开发的NJOY2016 [3]，日本原子能研究所开发的FRENDY [4]，清华大学开发的RXSP [5]，西安交通大学开发的NECP-Atlas [6] 等。NJOY2016程序已经开源，但其它程序都很难获得源代码，如果想采用新的处理对原有程序进行改进，往往变的非常困难。况且，研究发现NJOY在处理中子释热的时候，对某些核素也会出现处理不正确的现象 [7]。还有NJOY中的UNRES模块，在低本底截面时，计算的共振自屏截面，由于采用近似也会导致不精确的问题 [8]。为此，华北电力大学IRPS实验室自主开发了先进评价库处理程序AXSP，AXSP主要功能包括共振峰的重造 [8]、多普勒展宽、不可分辨共振峰的处理、连续能量点截面的生成、多群截面的生成、多群协方差数据库等模块。ACEXS是AXSP程序中连续能量点截面处理模块，主要功能是采用倒栈法，把经过共振峰的重造、多普勒展宽、不可分辨共振峰的处理的PENDF数据转化成连续能量点截面数据，以便给蒙特卡罗程序使用。ACE格式数据库作为一种紧凑型评价核数据库格式，是一种与温度相关的连续能量核截面库，里面数据量大，包含信息广，包括各反应截面、主体能量框架、瞬缓发中子数、裂变中子数以及除弹性散射外其他所有反应类型的反应释热、次级粒子角分布概率表、次级粒子能量分布概率表等数据。本文首先介绍了ACE格式数据库处理理论，然后同NJOY产生的概率分布进行对比，以验证程序处理正确性。然后采用ICSBEP基准手册 [9] 中的临界基准题ZPR-6/7，对程序产生的连续能量点截面数据库精度进行了验证。
2. 概率表生成理论
ACEXS的主要功能是将ENDF中以不同形式存储的数据，转化成蒙特卡罗程序能用的概率表形式。ENDF中的原始数据，主要包括次级粒子的角度分布和能量分布，一般采用多种形式存储，如勒让德系数、裂变谱公式或者Kalbach-Mann公式。下面分别对上述不同形式的转化方法理论给予分析。
2.1. MF4数据概率表转化
ENDF文件中MF4用于描述出射中子的角度分布与能量分布具有强关联的情况。一般情况下，它只适用于入射中子或γ光子的反应，而不应用于任何其他入射粒子。对满足两体动力学的反应，如弹性散射(MT = 2)和分离能级非弹性散射(MT = 51~90)，能量和角度具有确定的对应关系，MF4中的角分布数据存在4种形式：勒让德系数形式、列表概率分布形式、纯各向同性形式，以及低能区为勒让德系数，高能区为列表概率分布的形式，对于概率表形式不需要进行计算，可直接对其读取。对于勒让德系数形式，则需要将勒让德系数转换为概率表。用勒让德系数表示出射例子能量和角度分布的表达式为
(1)
其中，l为勒让德阶数，al为勒让德系数，由MF4中读取，Pl为l阶勒让德多项式。对于用公式(1)表示的能量和角度分布形式，需要根据μ所在区间[−1, 1]，通过倒栈法(或二分法)重构出所需要的角度来线性化描述角分布曲线，再求得每个角度对应的概率密度。对于概率表形式，评价核数据库中已给出概率分布，只需对其原有分布数据进行归一化。
2.2. MF5数据概率表转化
MF5用于描述出射中子的能量分布，MF5中给出了除MF4、MF6中给出的其他产生次级中子的反应。在ENDF/B文件中根据LF的不同，数据的分布也有不用，计算概率的处理方法也有所不同，主要有六种分布，六种分布的分布类型及对应公式如表1所示。
Table 1. Six types of energy distribution in ENDF/B format database
表1. ENDF/B格式数据库中对应的六种能量分布类型
如果PENDF文件所给能量框架相邻两能量点间隔过大需要进行加密，利用倒栈法插入新的能量点，构建出新的能量框架。另外LF = 2，3，4，6，8时，不适合ENDF-6 [10] 格式，ENDF评价库不再使用。
2.3. MF6数据概率表转化
MF6主要用于描述较复杂的核反应，在ENDF/B文件中根据LAW参数的不同，数据的分布也有不用，计算概率的处理方法也有所不同，主要有八种分布。目前的ACEXS主要处理了次级中子的数据，包括LAW = 1、6、7的情况。当LAW = 1时又根据LANG可以分为LANG = 1和LANG = 2两种形式。
其中各LAW分布与ACE中分布对应关系如表2所示：
Table 2. Correspondence of LAW distributions in MF6 and ACE
表2. MF6中各LAW分布与ACE中分布对应关系
对于LAW = 1，LANG = 1的勒让德系数形式，对于给定入射能量E，对于每一个出射能量
，需使用倒栈法重构出在[−1, 1]上的μ的分布，包括概率密度分布函数和累积概率分布函数；对于LAW = 1，LANG = 2的Kalbach系统学形式，前提条件为假设每个次级粒子都是从同一个原始复合核发射出，相应的转化过程中，如果ENDF/B库中已经给出
了，则只需复制相应的数据，如果未给出则需要使用相应的Kalbach系统学公式计算。
3. 程序测试和验证
基于上述概率表生成理论，在自主研发的核数据处理程序AXSP的基础上，采用Fortran2003开发了ACE格式数据库制作模块ACEXS，并利用临界基准题对ACEXS做的库与NJOY2016中ACER模块制作的库以及实验值进行了结果对比。ACEXS程序的流程图如图1所示。由图1可见，程序主要包括了对截面的处理、角分布的处理和对能量分布的处理。
连续能量点截面库制作时，用到了共振峰重造模块RECONR、多普勒展宽模块、HEATR模块、中子热化模块和PURR模块以及产生ACE数据库的模块。为了对比ACEXS程序和ACER模块的计算结果，除了产生ACE数据库的模块ACEXS和ACER不同外，其它的都采用了NJOY2016中的模块。
Figure 1. Flow chart of ACEXS program
图1. ACEXS程序流程图
3.1. 概率分布对比
ACE格式数据库中角分布为概率表的形式，出射能量和出射角度具有确定对应关系，因而一个入射能量对应一个出射角分布。角分布对应关系为一个角度对应一个概率密度和一个累积密度。以235U弹性散射的一个角分布为例(对应能量E = 19 MeV)，图2和图3分别给出了ACEXS计算的角分布概率密度和累积概率与ACER模块计算结果对比。由图2和图3可见，角分布的概率密度以及累积概率吻合较好，概率密度最大相对误差不超过0.25%，累积密度最大相对误差不超过1.5%。图4和图5分别给出了针对LAW = 1，LANG = 1的情况下二者对比结果，概率密度最大相对误差不超过0.2%，累积密度最大相对误差不超过0.1%，图6和图7分别给出了针对LAW = 1，LANG = 2的情况下二者对比结果，由图6和
Figure 2. Comparison of angular distribution probability density and relative error between ACEXS and ACER
图2. 角分布概率密度对比以及ACEXS与ACER的相对误差
Figure 3. Comparison of angular distribution cumulative density and relative error between ACEXS and ACER
图3. 角分布累积密度对比以及ACEXS与ACER的相对误差
Figure 4. Comparison of energy Angle probability density and relative error between ACEXS and ACER when LAW = 1 and LANG = 1
图4. LAW = 1，LANG = 1时能量角度概率密度对比以及ACEXS与ACER相对误差
Figure 5. Comparison of cumulative density of energy angle distribution and relative error between ACEXS and ACER when LAW = 1 and LANG = 1
图5. LAW = 1，LANG = 1时能量角度分布累积密度对比以及ACEXS与ACER相对误差
Figure 6. Comparison of energy spectrum probability density and relative error between ACEXS and ACER when LAW = 1 and LANG = 2
图6. LAW = 1，LANG = 2时能谱概率密度对比以及ACEXS与ACER相对误差
Figure 7. Comparison of energy spectrum cumulative density and relative error between ACEXS and ACER when LAW = 1 and LANG = 2
图7. LAW = 1，LANG = 2时能谱累积密度对比以及ACEXS与ACER相对误差
图7可见，能量分布概率密度和累积概率都不超过0.001%，图8和图9给出了LAW = 6时，二者对比结果，由图8和图9可见，概率密度的相对误差小于0.0005%，累积概率的相对误差小于0.0001%，计算结果符合较好。
Figure 8. Comparison of energy spectrum probability density and relative error between ACEXS and ACER at LAW = 6
图8. LAW = 6时能谱概率密度对比以及ACEXS与ACER相对误差
Figure 9. Comparison of energy spectrum cumulative density and relative error between ACEXS and ACER at LAW = 6
图9. LAW = 6时能谱累积密度对比以及ACEXS与ACER相对误差
3.2. 临界基准题验证
为了进一步验证ACEXS程序的工程适用性，这里选用了国际临界安全基准评价手册(ICSBEP)中的基准题对所产生的数据库的精度做了进一步验证。基于ENDF/B-VII.1评价核数据库，分别采用ACEXS程序和NJOY2016中的ACER程序制作了连续能量点截面数据库，采用清华大学开发的蒙卡程序RMC计算临界基准值，并于国际临界安全基准评价工程手册中的评价keff值做比较。RMC计算时共设置循环1000代，其中50代为非活跃代，每一代设置20000个粒子，此时统计误差小于15 pcm。测试的临界基准题如表3所示，共包括30个基准题，69个核素，ACEXS与ACER计算出的临界基准值与实验值的相对误差如图10所示。
Table 3. List of critical benchmarks
表3. 临界基准题列表
Figure 10. Absolute error between ACEXS and ACER
图10. ACEXS与ACER计算结果绝对误差
Figure 11. Calculation results and reference values of ACEXS and ACER
图11. ACEXS和ACER计算结果与基准值
从图10、图11中可以看出，整体上ACEXS跟ACER符合较好，最大误差不超过0.1%。
3.3. ZPR6-7基准题验证
ZPR6-7是美国阿贡实验室建立的零功率快堆临界装置之一 [11]，燃料为Pu-U-Zr，反射区为贫化铀和不锈钢，装置按照区域组分以及体积构建均匀R-Z模型，堆芯在径向分为两部分，即内堆芯和外堆芯，堆芯外围的第一层反射区分为轴向和径向两类，第一层反射区外围为第二层反射区，第二层反射区为一个整体，外部为真空边界，ZPR6/7的RZ模型尺寸及分区如图12所示。整个装置包含40个核素。用RMC对ZPR6-7基准题临界计算，循环代数设置与ICSBEP基准题相同，此处统计误差为15 pcm。结果如表4所示，ACER和ACEXS计算结果绝对误差为6 pcm。图13、图14分别为ZPR6/7内堆芯和径向最外层在能量为5 × 10−4~10 MeV通量对比，由图13可以看出在内堆芯处整个能区内ACEXS与ACER的通量吻合较好，相对误差在±1%以内。由图14可以看出有两个能群误差较大，该能群处通量较小，对结果影响不大，除此之外二者相对误差在±1%以内。
Table 4. ZPR6-7 thresholds for NJOY and ACEXS calculated by RMC
表4. NJOY和ACEXS由RMC计算的ZPR6-7临界值
Figure 14. Comparison of radial outermost flux of ZPR6/7
图14. ZPR6/7径向最外层通量对比
4. 结论
本文在自主研发的核数据处理程序AXSP的基础上，增加了ACE格式文件制作模块ACEXS，并利用国际临界安全基准题ICSBEP以及ZPR6/7基准题进行了验证。基于ENDF/B-VII.1评价核数据库制作了连续能量点截面数据库，对比了ACEXS产生的概率分布与ACER的结果，概率密度最大误差不超过0.5%，累积密度最大不超过0.1%。利用ICSBEP手册中的临界基准题对数据库精度进行了验证，ACEXS与ACER的结果绝对偏差小于100 pcm。最后采用快堆基准题ZPR6/7，计算了基准题有效增殖因子，ACEXS的计算结果与NJOY2016的偏差为6 pcm，由此说明程序开发正确，计算结果与NJOY2016结果吻合较好。目前程序还不具有处理光子截面数据功能，未来需要在光子截面处理上进一步开展工作。
基金项目
国家自然科学基金(11875128)。
NOTES
*通讯作者。