1. 引言

就地γ谱仪测量技术可以快速识别放射性核素并探测环境γ辐射剂量水平及其变化，适用于地面或空气中放射水平的确定、核设施及其附近放射性污染的测量以及地质勘探中的辐射检测。Beck等人 [1] 使用公式计算就地探测效率，可以直接将某γ射线的计数率换算为土壤中某放射性核素的活度值。该公式基于2π半无限土壤空间的简化模型，计算放射性核素在其中的辐射场参数，将探测效率简化为有效前面积、角度修正因子和注量活度比的乘积 [2] [3]。

近年来，围绕Beck公式开发有系列的模拟计算软件以获得就地γ谱仪测量方法的探测效率。其中，有效前面积仅与探测器相关，通过对HPGe探测器的晶体、内外死层、端面弧、冷指孔等结构进行精准的建模，由蒙卡模拟获得可靠的有效前面积数值。角度修正因子可表示为注量率角分布和相对角响应因子关于角度的积分，前者由2π半无限土壤假设理论计算给出，后者可用蒙卡方法模拟γ射线各入射角度下的相对探测效率。

对于注量活度比，Beck等人给出2π半无限体积、放射性核素随深度分布不同的土壤源中单位质量活度或单位表面活度放射性核素的光子注量率公式。本课题组此前 [4] 基于此公式，推导得到有限体积假设下的光子注量率计算方法，编写相应MATLAB计算程序，输入放射源半径、探测面高度等参数即可得到光子注量率。并与几何平移变换方法所得有限体积假设下的光子注量率蒙特卡洛模拟数值相互对比验证，证明了该工作的合理性，提高了软件的模拟效率。

然而，Beck公式的2π半无限土壤假设在就地γ谱仪技术的实际应用中是难以实现的，用Beck公式处理各种相对复杂地形时可能会带来一定偏差。成智威等人 [5] 分析了台阶、冲沟和山包地形对车载就地HPGe γ谱仪测量结果的影响。J. P. Laedermann等人 [6] 用符合余弦函数的土壤表面模型来描述土壤表面粗糙情况，并基于此模型探讨了探测器视域改变的问题。本文比较了不同地形在不同放射性核素分布下对注量活度比测量的影响，并给出可近似使用Beck公式的相应条件，扩展其适用范围，使就地γ谱仪技术在实际应用中更为简便。

2. 模拟计算方法

在实际的就地γ谱仪测量中，山包、冲沟、粗糙表面等多种土壤模型并不满足Beck公式的平面假设；由于复杂模型一般难以通过理论计算获得注量率数值，且大待测源小探测器模型通过蒙特卡洛模拟得到统计性数据所需计算时间较长，故需要对模型进行简化或者使用某些变换方法来减小模拟数据的方差。山包和冲沟这类满足一定对称条件的模型可使用几何平移变换方法模拟，粗糙表面模型可通过简化模型进行模拟，源偏倚抽样可适用于上述所有模型的模拟。

2.1. 几何平移变换方法

对于某些满足一定对称条件且介质均匀的模型，文献 [7] 提出可使用几何平移变换方法来提高该类小探测器探测大待测源问题的模拟效率。其原理在于从土壤模型中轴线源到探测器所在水平面上的任意γ射线的通量与从整个土壤源到探测器的γ射线通量是完全对称且等价的，故可在不引入偏差的情况下将均匀介质中的体源对点探测器的辐射过程转换为线源对面探测的过程。本文将几何平移变换方法从原来的圆柱形土壤模型推广到倒三角形冲沟和圆锥形山包土壤模型上，其中山包原始模型和几何变换后的模型如图1所示，可以看到对于截面轮廓为线性的模型，几何变换方法仍然适用。但是更为复杂的模型如半球形模型，几何平移变换方法将失效；如图2所示，对于不同深度的源其变换后所对应的土壤表面并不重合，即并不存在满足几何变换的唯一土壤实体模型。

2.2. 源偏倚抽样方法

除几何平移变换方法外，可以使用源偏倚抽样 [2] 等减方差方法以提高蒙特卡洛模拟效率，该方法通过设置放射源沿包含探测器在内的小方位角方向出射以实现源的偏倚抽样。图3为源偏倚抽样方法的示意图，其中R为出射源点到探测面中心的距离，r为探测面半径；由图显见θ₂ < θ₁ < arctan(r/R) = θ，出于简化模拟的考虑，故设置θ为出射圆锥张角，此时通过探测面的γ光子模拟注量率 ${\phi }_{bias}$ 由公式(1)给出

${\phi }_{bias}=P\cdot {\displaystyle \sum {\phi }_i/N}=\left(\left(1-\cos \theta \right)/2\right)\cdot {\displaystyle \sum \left(1/\cos {\theta }_i\right)/N}$ (1)

其中P为γ光子由指定方位角出射的概率，θ为出射圆锥的张角，φ_i为单个γ光子穿过探测面的注量计数，θ_i为该γ光子穿过探测面时其运动方向与探测面法线的夹角，N为γ光子出射总计数。当光子方向与探测面法向近乎垂直时，即光子略过探测面所在平面时，注量计数1/cosθ_i取值趋于无穷，导致模拟注量率过度依赖某几次模拟结果，故当 $\text{cos}{\theta }_i<0.1$ 时，取其值为0.05 [8]。

2.3. 简化模型

使用源偏倚抽样方法来模拟粗糙表面模型的注量率时，其模拟模型如图4所示，土壤粗糙程度由圆柱形土壤模型表面阵列排布的正四棱锥来表示。这种粗糙模型具有一定的局限性，并不能完全描述粗糙表面土壤的特性；通常自然界的粗糙表面由高斯函数或者幂函数所生成的模型来表示 [9]，然而上述粗糙表面模型难以导入蒙特卡洛模拟软件，故需要对模型进行一定的简化。若粗糙表面的粗糙尺度为d，即其表面高度在(−d/2, d/2)间均匀分布，将土壤中任意点至测量点经过粗糙表面区域的径迹L均分为n个区间如图5所示，第k个区间内γ射线径迹所穿过的材质是土壤和空气的概率分别为k/n和1 − k/n，第k区间γ射线衰减程度如式(2)所示，整个粗糙表面区域内γ射线的衰减如式(3)所示。由于空气的质量衰减系数和质量密度远小于土壤，故可将整个粗糙表面区域内的γ射线衰减视为由厚度为d、密度ρ/2的均匀土壤实体造成的，再使用几何平移变换对新模型进行模拟。

$P_k=\exp \left(-{\mu }_s{\rho }_s\frac{L}{n}\frac{k}{n}\right)\cdot \exp \left(-{\mu }_a{\rho }_a\frac{L}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)$ (2)

$\begin{array}{c}\text{P}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}\exp \left(-{\mu }_s{\rho }_s\frac{L}{n}\frac{k}{n}\right)\cdot \exp \left(-{\mu }_a{\rho }_a\frac{L}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)}\\ =\exp \left(\frac{-{\mu }_s{\rho }_{s}L}{2}\right)\cdot \exp \left(\frac{-{\mu }_a{\rho }_{a}L}{2}\right)\end{array}$ (3)

3. 模拟与结果分析

Beck等人将就地γ能谱测量中放射性核素在土壤中的分布分为均匀体分布、随深度的指数分布和均匀面分布三种类型，并用注量活度比φ/A来描述土壤组分、密度和放射性核素分布等因素对初级γ光子注量率测量的影响，体源和面源的注量活度比 $F_V$ 和 $F_S$ 如式(4) (5)所示

$F_V=\phi /A_V={\phi }_{MC}\text{π}{R}^2\rho H$ (4)

$F_S=\phi /A_S={\phi }_{MC}\text{π}{R}^2$ (5)

其中φ为光子注量率(cm⁻²∙s⁻¹)， $A_V$， $A_S$ 为体源和面源的放射性活度，φ_MC为蒙特卡洛软件模拟所得的单位源活度下的注量率数值(cm⁻²)，R，H，ρ为土壤模型的半径、厚度和密度。

由文献 [4] 得，当土壤厚度为60 cm，均匀体分布、指数分布和均匀面分布下土壤半径分别取2000 cm，5000 cm和20000 cm时，有限大土壤模型模拟注量率为无限大模型理论值的95%，故可用有限大土壤模型近似代替无限大土壤模型。图6为面源分布时表面粗糙模型下模拟注量活度比与模拟半径的关系，不同粗糙度下，当模拟半径大于6000 cm时，模拟注量活度比的数值都基本不再变化；由于地形变化对土壤放射性核素为面源分布时注量活度比测量值影响最大，当面源分布下注量活度比趋于稳定，其他分布下亦趋于稳定，故对所有土壤模型取模拟半径R = 10000 cm。

使用几何平移变换方法对不同坡度的山包和冲沟地形放射性核素分布为均匀体分布下的注量活度比进行蒙特卡罗模拟，其与Beck公式注量活度比理论计算值的相对偏差如表1和表2所示，随着坡度增大，注量活度比越偏离理论值，对坡度5˚以上的情况，比值偏差超过30%，不应直接使用Beck公式进行计算。

用源偏倚抽样方法和简化模型方法分别对粗糙表面土壤模型进行模拟，粗糙表面面源和体源的模拟注量活度比与理论值的相对偏差如表3所示。由于源偏倚抽样仅对正四棱锥阵列模型进行模拟，而简化方法改变了模拟模型，故表中相同条件下模拟所得注量活度比相对偏差值有所差异但相差较小，将这两种减方差方法均视为有效模拟手段。由模拟结果可得：对于体源而言，表面粗糙度对注量率测量的影响不大，粗糙尺度在10 cm以内时，可用理论注量活度比代替实际值代入Beck公式进行计算。而面源在粗糙尺度为0.1 cm时，其模拟注量活度比与理论值的偏差仍然超过10%；实际上由于测量环境通常难以满足理想面源条件，故如文献 [3] 所言，采用张弛深度较小的非均匀体源模型来代替理想面源模型，其推荐质量张弛深度为0.3 g/cm²，此时若粗糙尺寸在0.5 cm以内，仍可用Beck公式进行计算。

对于放射性核素呈指数分布的非均匀体源，由参数张弛深度描述其分布特征，该参数为土壤中放射性活度为土壤表面放射性活度半值时的土壤深度。指数分布下粗糙表面模型可近似使用Beck公式的条件如图7粗糙尺寸—张弛深度曲线所示，张弛深度越小，则放射性核素趋于面源分布，对表面粗糙度越敏感，反之则趋于体源分布，对表面粗糙度不敏感。

4. 结论

通过几何平移变换方法、源偏倚抽样方法和简化模型方法可高效地使用蒙特卡洛模拟获得山包、冲沟、粗糙表面地形下注量活度比的模拟数值。通过对比注量活度比模拟数值和Beck公式理论计算数值，得到可以使用理论值进行就地γ谱仪近似计算的地形和放射性核素分布条件，扩展了就地γ谱仪Beck理论公式的适用范围。本研究着重于分析垂直方向上不均匀的地形和放射性核素分布的理论近似条件，后续可使用源偏倚抽样方法分析水平方向不均匀性带来的影响，进一步扩大方法的适用范围。

参考文献