1. 引言

世界的局势正处于风云变幻之中，俄乌战争不断升级，核战争的风险也在上升。与此同时，乌克兰境内的扎波罗热核电站屡次遭受袭击，给人类社会带来了巨大的安全威胁。这一系列事件引发了人们对于核安全的担忧，核与辐射安全面临新的挑战 [1] 。针对核安全和辐射安全存在的隐患，采取有效对策，进一步提高我国核与辐射安全的保障水平至关重要。面对核爆和核泄漏所产生的人工放射性核辐射沾染场，需要在较短时间内确定沾染场的边界范围和被测区域核辐射分布情况 [2] 。目前国内较大范围的体源主要是放射性勘察计量站的标准模型，由天然矿石混合制成，大部分是⁴⁰K、铀系、钍系等天然核素。尚未见有针对核爆或核电站泄漏所造成的大范围辐射沾染场的场地 [3] 。为了研究人工放射性核辐射沾染场，需要建立人工放射性核素沾染场模型，以便更好地对此进行研究。在航测条件下所需的面源面积较大(直径通常为8.5倍的飞行高度)，为此，在地面以有限数量点源实拟无限大面源沾染场。

现有研究成果多基于数值积分法，刘新华等人将面源依角度和半径划分为不同大小的微元，在微元中心放置¹³⁷Cs点源获取各微元的角响应，利用三种数值积分方法得到1.22 m高航空γ谱仪对半无限大平面源的探测效率 [4] ；核工业航测遥感中心分别制作了8块¹³⁷Cs和⁶⁰Co等腰梯形平面源(组成边长为1 m的正六边形)，依据γ场叠加原理多次拼接可组成近似无限大面源，基于介质互换原理使用木板代替空气得到120 m高度下航空γ谱仪的探测效率值 [5] 。但航空测量在大范围测量时精度不高，无法准确得知某一位置的辐射剂量，点源与所代表微元部分活度并不相等。

针对上述问题，本文设计了一种基于有限点源实拟的面源方法。利用蒙特卡罗方法，模拟了探测器探测效率随点源和圆形线源距离的变化曲线，基于积分中值原理确定点源摆放的位置，确保单个点源与对应面源微元部分活度相等，所有点源与面源活度相等，并使用模拟数据验证了模型的有效性。

2. 理论基础

航空核辐射侦察装置对地测量的视野为对地面的一个圆形区域，地表的核辐射沾染场相对于航空核辐射侦察装置可视为无限大面源，由核辐射测量的独立性可知 [6] ，圆形面源可视为无限多个微分环状面源叠加所得，环状面源可视为无限多个圆形线源叠加所得，圆形线源可视为无限多个点源叠加所得。

2.1. 圆形线源–无限大面源等效模型

如图1所示，将面源划分为多个环型面源，每个环型面源对探测器的贡献可看作是多个圆形线源对探测器贡献之和，每个圆形线源看作是多个点源对探测器贡献之和。对于面源产生的全能峰响应f，如式(1)所示，根据“微元法”将面源划分，对于面源产生的全能峰响应可以认为等于各圆环面源产生的全能峰响应之和，圆环面源可视为圆形线源的积分，对于圆环面源产生的全能峰响应 $f_{环\text{i}}$ ，如式(2)所示。

$f={\epsilon }_{面}A{S}_{面}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\epsilon }_{环i}}A{S}_{环i}$ (1)

$\begin{array}{c}{f}_{环\text{i}}={\epsilon }_{环\text{i}}A{S}_{环\text{i}}={\displaystyle {\int }_{r_{\text{i}-1}}^{r_i}{\epsilon }_{圆}}\left(r\right)2\pi r{A}_{圆}dr\\ ={\epsilon }_{圆}\left(r_0\right)2\pi {\text{r}}_0{A}_{圆}\left(r_i-r_{i-1}\right)\\ ={\epsilon }_{圆}\left(r_0\right)A{S}_{环\text{i}}\\ ={\epsilon }_{点}\left(r_0\right)A{S}_{环\text{i}}\end{array}$ (2)

式(1)中： ${\epsilon }_{面}$ 为探测器对面源的探测效率； $S_{面}$ 为面源面积；A为面源比活度； $S_{环\text{i}}$ 为环形面源面积； ${\epsilon }_{环i}$ 为探测器对环形面源的探测效率。

式(2)中： $\epsilon \left(\text{r}\right)$ 为探测器对半径为r处单位活度源的探测效率； ${\epsilon }_{圆}$ 为探测器对圆形线源的探测效率； ${\epsilon }_{点}$ 为探测器对点源的探测效率； $r_0$ 为积分中值点所在半径； $A_{圆}$ 为圆形线源比活度。

2.2. 圆形线源–无限大面源等效模型

点源–圆环–无限大面源等效模型无法构建不均匀无限大面源，因此，将圆环改为方格，将面源划分为若干方格，实现点源–方格–无限大面源等效模型，以达到构建不均匀无限大面源的目的。

如图2所示，将面源划分为多个方格面源，每个方格面源对探测器的贡献可看作是多段圆弧线源对探测器贡献的积分，每个圆弧线源看作是多个点源对探测器贡献的积分，对于面源产生的全能峰响应f，如式(3)所示。利用积分中值定理，得到点源摆放处所在半径，则方格面源产生的全能峰响应f_方格i，如式(4)所示。

$f={\epsilon }_{面}A{S}_{面}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\epsilon }_{方格i}}A{S}_{方格i}$ (3)

$\begin{array}{c}{f}_{方格i}={\epsilon }_{方格i}A{S}_{方格i}={\displaystyle {\int }_{r_{\min }}^{r_{{}_{\max }}}{\epsilon }_{圆}\left(r\right)\theta \left(r\right)A_{圆}rdr}\\ ={\epsilon }_{圆}\left(r_0\right)\theta \left(r_0\right)A_{圆}{r}_0\left(r_{{}_{\max }}-r_{\min }\right)\\ ={\epsilon }_{圆}\left(r_0\right)A{S}_{方格i}\\ ={\epsilon }_{点}\left(r_0\right)A{S}_{方格i}\end{array}$ (4)

式(4)中： $\theta \left(r\right)$ 为半径为r时，弧形线源所对应的角度。

对于面源内任意一个方格，圆弧长度的求解有三种情况，令点O为晶体中心在地面的垂直对应点，将半径为r的面源均匀地划分为若干个方格，如图3所示。

任意方格四条边的方程为 $x=a,x=b\left(b>a\right);y=c,y=d\left(d>c\right)$ ；圆弧与方格交点坐标取值范围： $\text{a}\le x\le b,c\le y\le d$ ；圆弧与方格的交点坐标为 $\left(x_1,y_1\right)$ 、 $\left(x_2,y_2\right)$ ；圆弧对应的角度为式(5)；圆弧占整圆的比例为 $\theta /2\pi$ ；在任意方格内，圆弧的半径有四种情况：① $\left|x\right|$ 和 $\left|y\right|$ 都取最大值时，此时半径r为 $r_{\max }$ ；② $\left|x\right|$ 取最大值， $\left|y\right|$ 取最小值时，此时半径r为 $r_x$ ；③ $\left|x\right|$ 取最小值， $\left|y\right|$ 取最大值时，此时半径r为 $r_{\text{y}}$ ；④ $\left|x\right|$ 和 $\left|y\right|$ 取最小值时，此时半径r为 $r_{\min }$ ，由此得到三种情况下的方格内弧形线源对探测器的贡献，如公式(6)所示：

$\theta =\left|\arcsin \frac{y_2}{r}-\arcsin \frac{y_1}{r}\right|$ (5)

$\begin{array}{c}{f}_{方格\text{i}}={\displaystyle {\int }_{r_{\min }}^{r_{{}_{\max }}}{\epsilon }_{圆}\left(r\right)\theta \left(r\right)A_{圆}\text{r}dr}\\ ={\displaystyle {\int }_{r_{\min }}^{r_{{}_x}}{\epsilon }_{圆}\left(r\right)\left|\arcsin \frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r}-\arcsin \frac{c}{r}\right|A_{圆}\text{r}dr}\\ +{\displaystyle {\int }_{r_x}^{r_y}{\epsilon }_{圆}\left(r\right)\left|\arcsin \frac{\sqrt{r^2-a^2}}{r}-\arcsin \frac{\sqrt{r^2-b^2}}{r}\right|A_{圆}\text{r}dr}\\ +{\displaystyle {\int }_{r_y}^{r_{\max }}{\epsilon }_{圆}\left(r\right)\left|\arcsin \frac{d}{r}-\arcsin \frac{\sqrt{r^2-b^2}}{r}\right|A_{圆}\text{r}dr}\end{array}$ (6)

3. 蒙特卡罗模拟验证

实验选择superMC来对点源等效模型进行模拟验证，探测器为φ45*51 mm圆柱形溴化铈，此时探测器高度h为11.93 m，圆形面源半径r为4.95 m，结合式(4)与式(6)得到方格等效模型点源位置，如图4所示；蒙卡模拟方格与等效点源相对误差如表1所示。

利用蒙卡模拟探测器高度12.24 m，方格边长1 m，模拟均匀面源与点源–方格等效模型整体相对误差为1.10%，单个方格面源最大误差为1.78%，最小误差为0.03%。

4. 物理实验验证

为验证点源–方格–无限大面源等效模型的模拟效果，开展点源等效物理实验，设计了一套航空辐射场模拟装置，该装置由放射源支架和探测器升降平台等组成。探测仪器为φ45*51 mm圆柱形溴化铈。探测器固定于升降平台之上，升降平台可在1.5~2 m范围内升降，¹³⁷Cs (1.648 × 10⁸ Bq)放射点源安装于放射源架上，多个不同高度放射源支架用于调节放射源高度，放射源支架上方可放置屏蔽材料，用来等效一定厚度的空气。具体实验模型如图5所示。

点源等效物理实验中，平面源半径为4.95 m，网格边长为1 m，点源等效位置如图4所示，单位测量时间为1 min，调整探测器高度为2 m，将放射源置于水平地面与探测器之间无遮挡一侧，为与上文中蒙特卡罗模拟结果进行对比，使实验模型高度与蒙卡模型一致，经过实验测量，铝板对于0.661 MeV的伽马射线的线衰减系数为0.206274 cm⁻¹，对伽马射线的衰减效果等效于1986.36倍厚度的空气，为达到等效空气衰减高度为9.93 m，故选用厚度为5 mm铝板作为屏蔽材料。将300*300*5 mm的铝板放置于放射源支架上方。

将实验测量点源数据与圆形面源蒙卡模拟结果进行对比(见表2)，两者整体相对误差为1.79%，单个网格面源最大误差为3.11%，最小误差为0.18%。经实验验证，等效模型可构建任意活度的平面源。

5. 结论

采用微元法和积分中值定理，对无限大面源利用有限点源进行等效替代，得出以下三点结论：1) 通过积分的方式构建了点源–方格–无限大面源等效模型；2) 利用蒙特卡罗方法对无限大均匀面源等效模型进行了模拟验证，相对误差为1.10%；3) 利用点源等效物理实验对无限均匀面源等效模型进行了模拟验证，相对误差为1.79%。本文所提出的基于有限点源的航空核辐射沾染场实拟方法，可在实验室条件下精确实拟航空核辐射沾染场均匀面源。但此方法也存在一定的局限性，对于大气中氡气和核事故放射性落下灰等因素对航空测量的影响暂时没有考虑，后续的研究中将进一步对方法进行改进。

参考文献