DOI: 10.12677/app.2025.151002, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 李静嫄, 黄仕华^*：浙江师范大学物理与电子信息工程学院，浙江 金华；王小林：中国科学院北京纳米能源与系统研究所，北京
关键词: 单轨车辆；经典PID控制；模糊PID控制；PSO-GA算法优化PID控制；Monorail Vehicle； Classical PID Control； Fuzzy PID Control； PSO-GA Optimized PID Control

文章引用：李静嫄, 黄仕华, 王小林. 单轨车辆的动力学建模与自平衡控制仿真[J]. 应用物理, 2025, 15(1): 12-24. https://doi.org/10.12677/app.2025.151002

1. 引言

作为经典的非线性系统，单轨车辆是检验智能算法和控制策略的可实施性的关键平台。单轨车辆的控制方法应用十分广泛，对于机器人、军事、航空航天等领域有理论指导意义，在工程上也有着十分重要的应用前景。

单轨车辆的自平衡控制问题一直是研究的热点，传统方案主要集中于通过经典LQR控制算法[1]、经典PID控制算法[2]或模糊PID控制[3]来提高单轨车辆的稳定性。然而，这些方法通常依赖于精确的模型，并且在面对复杂外部扰动时，控制效果难以达到预期。近年来，随着智能优化算法(如粒子群优化算法(PSO)和遗传算法(GA))的发展，一些研究尝试将这些算法与经典控制相结合，以优化控制器的参数并提升系统性能[4]。上述控制方案多应用于带有机械飞轮的单轨车辆，由于飞轮的能量消耗和机械复杂性，制约了其广泛应用和产业化进程。因此，寻求无飞轮式或低能耗的控制方案成为了研究的重要方向。

基于此，本研究提出了一种基于车轮转动电机和车把转向电机的无飞轮单轨车辆自平衡控制方法。在前面工作基础上[5]，推导匀速直线运动的线性解析形式的运动方程，并结合经典PID控制、模糊PID控制、粒子群优化算法(PSO)和遗传算法(GA)改进的PID控制器进行仿真对比，旨在提高单轨车辆的动态稳定性和控制精度。本研究的创新之处在于，通过设计和优化智能控制策略，不仅解决了机械飞轮的能量消耗问题[6]，还实现了更加高效、可靠的动态自平衡控制方法，为单轨车辆的产业化应用提供了新的思路。

2. 单轨车辆的动力学方程

本文考虑一种单轨车辆模型，假设车轮与地面为点接触，且忽略轮胎变形和打滑、轴承的作用。这些假设已通过实验进行验证，在低速下，模拟数据与实验吻合的很好[7]。在先前的研究中，我们建立了包括四个刚体的非线性动力学模型，并推导出一组耦合的微分方程。本文通过泰勒展开，对系统进行线性化处理，并制定了单轨车辆在直立直线行驶时的动力学方程。

2.1. 单轨车辆模型

图1展示了单轨车辆模型的四个刚性组件：后轮(R)、后车身(B)、前轮(F)和车把/前叉(H)。单轨车辆的运动学借助惯性参考系下的九个广义坐标描述，详见表1。由于前后轮胎引入六个理想约束将系统自由度降至三个，所以选择 $\left(x_7,x_8,x_3\right)\equiv \left(q_1,q_2,q_3\right)$ 来描述系统的运动。

Figure 1. Monorail vehicle model

图1. 单轨车辆模型

Table 1. The generalized coordinates of the monorail vehicle

表1. 单轨车辆的广义坐标

名称	意义	符号规定
$x_1$	车身俯仰角	车辆向上倾斜为负
$x_2$	车身偏航角	向左偏转为正
$x_3\left(q_3\right)$	前轮滚动角	向前滚动为正
$x_4$	x of Ob	Ob在惯性系中的位置
$x_5$	y of Ob
$x_6$	z of Ob
$x_7\left(q_1\right)$	车身倾斜角	向右倾斜为正
$x_8\left(q_2\right)$	车把转向角	向左倾斜为正
$x_9$	后轮滚动角	向前滚动为正

2.2. 单轨车辆的线性动力学方程

给定单轨车辆模型的非线性动力学方程可表示为[5]：

$\begin{array}{c}M\ddot{q}+C\left(q,\stackrel{\dot{}}{q}\right)\stackrel{\dot{}}{q}+G\left(q\right)=\left(K\right)\tau \end{array}$ (1)

M表示质量项，C表示科里奥利力项，G表示重力项，τ表示施加的扭矩项，系数矩阵的结构如下：

$q=\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right],M=\left[\begin{array}{ccc}{M}_{11}& M_{12}& M_{13}\\ M_{21}& M_{22}& M_{23}\\ M_{31}& M_{32}& M_{33}\end{array}\right],$

$C=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{111}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1+C_{112}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2& C_{122}{\stackrel{\dot{}}{q}}_{2+}{C}_{123}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3& C_{133}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+C_{131}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1\\ C_{211}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1+C_{212}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1& C_{222}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2+C_{223}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3& C_{233}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+C_{231}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1\\ C_{311}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1+C_{312}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2& C_{322}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2+C_{323}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3& C_{331}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1\end{array}\right],$ (2)

$\begin{array}{c}G=\left[\begin{array}{c}{G}_1\\ G_2\\ 0\end{array}\right],K=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& K_{23}\\ 1& 0& K_{33}\end{array}\right],\tau =\left[\begin{array}{c}{\tau }_1\\ {\tau }_2\\ {\tau }_3\end{array}\right]\end{array}$

系数矩阵仅依赖于车体俯仰角( $x_1$ )、倾斜角( $x_7$ )和转向角( $x_8$ )。应用泰勒展开方法，我们推导单轨车辆在直线运动中的线性动态方程。值得注意的是，车身俯仰角( $x_1$ )是关于车身倾斜角( $x_7$ )和前叉转向角( $x_8$ )的函数。利用Maple符号工具，我们研究了 $x_1$ 对于 $x_7$ 和 $x_8$ 的线性依赖：

$\begin{array}{c}{x}_1={\rm O}\left(x_7{}^2\right)+{\rm O}\left(x_8{}^2\right)+{\rm O}\left(x_7{x}_8\right)\end{array}$ (3)

分析表明，在线性近似下，车身俯仰角 $x_1$ 被设为零。

由于单轨车辆表现出宇称对称性，我们对广义坐标进行变换：

$\begin{array}{c}q=\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\end{array}\right]\to \bar{q}=\left[\begin{array}{c}-q_1\\ -q_2\\ q_3\end{array}\right],\tau =\left[\begin{array}{c}{\tau }_1\\ {\tau }_2\\ {\tau }_3 \end{array}\right]\to \bar{\tau }=\left[\begin{array}{c}{\tau }_1\\ -{\tau }_2\\ {\tau }_3\end{array}\right]\end{array}$ (4)

因此，系数矩阵 $M,C,G$ 呈现出对称性，奇数元素标记为红色，偶数元素标记为黑色。

$M=\left[\begin{array}{ccc}{M}_{11}& M_{12}& M_{13}\\ M_{21}& M_{22}& M_{23}\\ M_{31}& M_{32}& M_{33}\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{111}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1+C_{112}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2& C_{122}{\stackrel{\dot{}}{q}}_{2+}{C}_{123}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3& C_{133}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+C_{131}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1\\ C_{211}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1+C_{212}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2& C_{222}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2+C_{223}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3& C_{233}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+C_{231}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1\\ C_{311}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1+C_{312}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2& C_{322}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2+C_{323}{\stackrel{\dot{}}{q}}_3& C_{331}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1\end{array}\right],$

$\begin{array}{c}G=\left[\begin{array}{c}{G}_1\\ G_2\\ 0\end{array}\right],K=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& K_{23}\\ 1& 0& K_{33}\end{array}\right]\end{array}$ (5)

偶数元素的展开式省略了一阶项，达到了 $q$ 的二阶精度：

$\begin{array}{c}{M}_{11}\left(q_1,q_2\right)=M_{110}+{\rm O}\left(q_1^2\right)+{\rm O}\left(q_2^2\right)+{\rm O}\left(q_1{q}_2\right)\end{array}$ (6)

奇数元素的展开式省略了常数项和二阶项，达到了 $q$ 的三阶精度：

$\begin{array}{c}{M}_{13}\left(q_1,q_2\right)=M_{131}{q}_1+M_{132}{q}_2+{\rm O}\left(q_1^3\right)+{\rm O}\left(q_2^3\right)+{\rm O}\left(q_1^2{q}_2\right)+{\rm O}\left(q_1{q}_2^2\right)\end{array}$ (7)

通过省略掉第三阶和更高阶项，车身转向和倾斜的线性方程为互相耦合的时变微分方程，表示为：

$\begin{array}{c}{M}_{110}{\ddot{q}}_1+M_{120}{\ddot{q}}_2+\left(M_{131}{q}_1+M_{132}{q}_2\right){\ddot{q}}_3+C_{1230}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+C_{1331}{q}_1{\stackrel{\dot{}}{q}}_3{}^2+C_{1332}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2{\stackrel{\dot{}}{q}}_3{}^2+C_{1310}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+G_{11}{q}_1+G_{12}{q}_2=0\end{array}$ (8)

$\begin{array}{c}{M}_{210}{\ddot{q}}_1+M_{220}{\ddot{q}}_2+\left(M_{231}{q}_1+M_{232}{q}_2\right){\ddot{q}}_3+C_{2230}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+C_{2331}{q}_1{\stackrel{\dot{}}{q}}_3{}^2+C_{2332}{\stackrel{\dot{}}{q}}_2{\stackrel{\dot{}}{q}}_3{}^2+C_{2310}{\stackrel{\dot{}}{q}}_1{\stackrel{\dot{}}{q}}_3+G_{21}{q}_1+G_{22}{q}_2=0\end{array}$ (9)

将公式(8)和公式(9)整理为方程组形式：

$\begin{array}{c}{M}_L\ddot{q}+v{C}_L\stackrel{\dot{}}{q}+\left[K_0+\stackrel{\dot{}}{v}{K}_1+v^2{K}_2\right]q={\tau }_L\end{array}$ (10)

其中， $q={\left[q_1,q_2\right]}^T$ ， $v$ 是某一具体常数，系数矩阵表示为：

$M_L=\left[\begin{array}{cc}{m}_{\text{11}}& m_{\text{12}}\\ m_{\text{21}}& m_{\text{22}}\end{array}\right],C_L=\left[\begin{array}{cc}0& c_{\text{12}}\\ c_{\text{21}}& c_{\text{22}}\end{array}\right],K_0=\left[\begin{array}{cc}{k}_{\text{011}}& k_{\text{012}}\\ k_{\text{021}}& k_{\text{022}}\end{array}\right],$

$\begin{array}{c}{K}_1=\left[\begin{array}{cc}{k}_{\text{111}}& k_{\text{112}}\\ k_{\text{121}}& k_{\text{122}}\end{array}\right]， K_2=\left[\begin{array}{cc}0& k_{212}\\ 0& k_{222}\end{array}\right]， {\tau }_L=\left[\begin{array}{c}0\\ {\tau }_2\end{array}\right]\end{array}$ (11)

矩阵 $M_L$ 表示对称质量矩阵， $C_L$ 和 $K_1$ 表示科里奥利力/向心力。另外， $K_0$ 表示重力。表2定义了单轨车辆模型的具体参数，为便于后续的自平衡仿真控制，本文将表2参数代入线性方程，获取单轨车辆的状态空间方程，如式(12)所示：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}}{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$ (12)

其中

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 45.260& 0& 120.624& -4.280\\ 0& 0& 0& 1\\ 347.177& 0& 1440.320& -377.254\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1433.611\\ 0\\ 63077.505\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}1& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& 0\end{array}& 0\end{array}\\ 0& \begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ {\stackrel{\dot{}}{q}}_1\\ q_2\\ {\stackrel{\dot{}}{q}}_2\end{array}\right]$

$u$ 为输入量，即车把转向扭矩。针对上述的线性状态模型，利用MATLAB计算了系统的能控矩阵和能观矩阵，证明该系统是可控和可观测的。

Table 2. The model parameters of the monorail vehicle

表2. 单轨车辆模型参量

意义	符号与数值
轴距	$w=16.7\text{ cm}$
前轮尾迹	$c=1.3\text{ cm}$
车叉倾斜角	$\lambda =\frac{\pi }{10} rad$
重力加速度	$g=9.81N/kg$
前进速度	$v=2m/s^2$
后车身质量	$m_b=0.107\text{ kg}$
后轮半径	$R_R=4.9\text{ cm}$
后轮冠半径	$r_r=0.33\text{ cm}$
后轮质量	$m_r=0.054\text{ kg}$
车叉质量	$m_h=2.279\text{ kg}$
前轮半径	$R_F=5.73\text{ cm}$
前轮冠半径	$r_f=0.246\text{ cm}$
前轮质量	$m_f=0.080\text{ kg}$

3. 自平衡控制的仿真实验

3.1. 经典PID控制器的设计

由于经典PID控制方法有较好的鲁棒性、处理速率快等优点，在自平衡控制领域中得到广泛的应用[8] [9]。图2是经典PID控制系统的控制原理框图。作为一种线性控制方法，经典PID控制的输入量是系统的输出 $y\left(t\right)$ 与给定目标值 $r\left(t\right)$ 之间的差值，给定比例参数 $K_P$ 、积分参数 $K_I$ 和微分参数 $K_D$ ，结合比例运算、积分运算和微分运算，三种运算的加和作为经典PID控制器的输出量。在经典PID控制中，输入 $\text{e}\left(t\right)$ 和输出 $u\left(t\right)$ 的关系为：

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=K_{P}e\left(t\right)+K_I\underset{0}{\overset{t}{{\displaystyle \int }}}e\left(t\right)dt+K_D\frac{de\left(t\right)}{dt} \end{array}$ (13)

Figure 2. The control principle of the classical PID control system

图2. 经典PID控制系统的控制原理

单轨车辆的运动方程是二阶互相耦合的，系统呈欠驱动的特点。在SIMULINK中，单轨车辆的经典PID控制的仿真搭建如图3所示，设计关于车辆倾斜和车把转向的经典PID控制器，这两个经典PID控制器共同作用于车把转向电机，实现单轨车辆的自平衡控制。

Figure 3. Simulation setup of the classical PID control system

图3. 经典PID控制的仿真搭建

3.2. 模糊PID控制器的设计

模糊PID控制器是将模糊系统和经典PID控制相结合，按照专家定义的模糊规则实现实时在线调参，以获取最佳控制[10]。图4为模糊PID控制器的原理图，模糊PID控制器特别适用于时变系统。依据式(14)，控制器可以实现比例参数 $K_P$ 、积分参数 $K_I$ 和微分参数 $K_D$ 的实时调整：

$\begin{array}{c}{K}_P=K_{P0}\left(1+\Delta K_P\right)\\ K_I=K_{I0}\left(1+\Delta K_I\right)\\ K_D=K_{D0}\left(1+\Delta K_D\right)\end{array}$ (14)

Figure 4. The control principle of the fuzzy PID control system

图4. 模糊PID控制系统的控制原理

其中， $K_{p0}、K_{I0}、K_{D0}$ 为预设参数， $\Delta K_p、\Delta K_I、\Delta K_D$ 是在线调整的数值， $K_P、K_I、K_D$ 为最终的输出控制量。本文的系统共有两个模糊PID控制器，分别与车身倾斜和车把转向有关。而每个模糊PID控制器有两个输入量和三个输出量，其中角度偏差e (车身倾斜角或车把转向角)和偏差变化率ec (车身倾斜速度或车把转向速度)作为输入量，将 $\Delta K_p、\Delta K_I、\Delta K_D$ 三个在线修正的参数作为输出量。由于单轨车辆在匀速直立直线运动过程中，车身倾斜角和车叉转向角一般不会很大。在车辆初始起摆的状态下，人为的将车辆靠近平衡位置，本文选[−6 6]为e和ec的连续论域。而为了保证单轨车辆的稳定控制，以及防止系统的强烈抖振，对 $\Delta K_p、\Delta K_I、\Delta K_D$ 三个参数设置的论域区间均为[−3 3]。并对该论域进行离散化，设置7个节点，等分6个区间，则输入的论域定为 $e、ec=\left\{-6-4-20246\right\}$ ，而输出的论域为 $\Delta K_P、\Delta K_I、\Delta K_D\text{=}\left\{\begin{array}{cccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}-3& -2\end{array}& -1& 0\end{array}& 1& 2& 3\end{array}\right\}$ 。

Figure 5. The membership function distribution of the inputs and outputs of the fuzzy controller

图5. 模糊控制器的输入和输出隶属函数分布

选取合适的模糊集合是设计模糊PID控制器的基础，模糊集合是通过隶属函数进行描述的。在输入和输出的隶属函数选择上，本文统一选取三角函数。图5为两个模糊控制器的输入(误差e和误差变化率ec)和输出(PID三个调整参数)的隶属函数分布。

为了实现该控制策略，结合专家的经验和单轨车辆的实际运行特点，利用了模糊控制工具箱(Fuzzy Logic Toolbox)，通过设定模糊控制规则和隶属函数，将其整合成一个FIS文件。在此过程中，模糊控制规则通过专家知识和系统需求进行构建，隶属函数的选择则根据系统状态的变化和控制目标的要求来决定。本文推导出的两个控制器的规则控制面如图6，它们反映了不同控制条件下的控制决策过程。

Figure 6. The rule surface of the fuzzy controller

图6. 模糊控制器的规则面

Figure 7. Simulation setup of the fuzzy PID controller

图7. 模糊PID控制器的仿真搭建

被控系统是一个欠驱动系统，输入量是车把转向角扭矩，输出量是车辆的倾斜角和车把转向角。图7是单轨车辆的模糊PID仿真控制搭建，对于模糊PID控制器，要取得单轨车辆的偏差角和目标角度的差值，通过Subsystem 1和Subsystem 2的输出加和量来确定系统最终的车把转向角扭矩，实现单轨车辆在匀速直线运动的自平衡控制。图8和图9分别表示Subsystem 1和Subsystem 2的内部搭建结构，选择经典PID控制中的参数作为预设参数，通过模糊PID控制器的输出参量 $\Delta K_p、\Delta K_I、\Delta K_D$ 对相应预设参数进行调整，以实现更佳的控制性能。

Figure 8. The internal setup of Subsystem 1

图8. Subsystem 1的内部搭建

Figure 9. The internal setup of Subsystem 2

图9. Subsystem 2的内部搭建

3.3. PSO-GA优化的PID控制器的设计

针对经典PID控制器参数的选取较为复杂的问题，有部分研究者采用PSO算法优化的PID控制器实现自平衡控制[11]。PSO算法原理简单、具有记忆性、收敛速度快，因此也容易出现陷入局部最优解的问题，特别在复杂问题时搜索范围小。而另一种经典算法，GA算法的全局收敛性好，但个体没有记忆、收敛时间较长。为了提高求解更为复杂问题的能力，本文将PSO和GA两种算法进行融合，图10所示为本文所用的PSO-GA算法流程图，可以确保初期经过PSO算法迭代后形成的种群具有接近最优解的个体，而GA算法的遗传作用可以使种群的多样性得到改善，避免陷入局部最优的情况，使两种算法实现优势互补。

Figure 10. Flowchart of the PSO-GA algorithm

图10. PSO-GA算法的流程图

在本研究中，存在两个PID控制器，每个PID控制器需要寻找 $K_P、K_I、K_D$ 三个参数，因此PSO-GA算法的空间维度设置为6。PSO算法初始化成一群随机粒子，并利用.m文件来运行，并赋值给SIMULINK中的PID控制器参数，同时计算出定义的适应度函数，如果符合给定的终止条件，输出当前的粒子位置信息和最优适应值。如果不符合给定的终止条件，则更新粒子的位置信息，进入下一次循环，直到满足终止条件，获得两个PID控制器中的最优比例参数 $K_P$ 、积分参数 $K_I$ 和微分参数 $K_D$ ，其中在SIMULINK部分的搭建如图11所示。

Figure 11. Simulation setup of the PID controller optimized by PSO-GA

图11. PSO-GA优化的PID控制器的仿真搭建

3.4. 仿真与分析

Figure 12. Response simulation curve of the body tilt angle

图12. 车身倾斜角的响应仿真曲线

Figure 13. Response simulation curve of the steering angle

图13. 车把转向角的响应仿真曲线

本研究设定单轨车辆以 $v=2m/s$ 做直线运动，且设置初始状态下的车身倾斜角为0.3rad。通过观察响应仿真曲线，来比较经典PID、模糊PID和PSO-GA优化的PID控制器之间的优异性，图12和图13分别对应车身倾斜角和车把转向角的响应仿真曲线。从图看出，相比经典PID控制和PSO-GA优化的PID控制，模糊PID控制的超调量明显更小，实现了动态性能优化，其中车身倾斜角对应的超调量约为−0.163，车把转向角对应的超调量约为0.334；相比经典PID控制和模糊PID控制，PSO-GA优化的PID控制获得的仿真超调时间更短，更快获得稳定状态。但是PSO-GA优化的PID控制需要极长的仿真时间，且结果具有一定随机性，这意味着不仅影响仿真次数，还对计算机的性能要求很高。

4. 总结

利用MAPLE计算工具，本研究建立了单轨车辆模型，这是一个二阶互相耦合的线性动力学方程。随后针对此模型，设计了经典PID控制器、模糊PID控制器和PSO-GA优化的PID控制器，并比较了三者之间的控制性能。仿真结果表明：

1) 相较于经典PID控制器，模糊PID控制器能更好地适应复杂系统，并根据系统状态的变化进行自动调整控制参数。模糊PID控制器对应的响应曲线的超调量最小，表现出较好的控制效果。

2) 经过PSO-GA优化过的PID控制器具有最短的超调时间，可以以最快速度达到平衡状态。但是考虑到PSO-GA优化算法的仿真时间过长，且初始化具有随机性的特点，无法保证每次输出的响应曲线性能稳定的问题。

3) 尽管PSO-GA优化控制器具有较优的瞬态响应性能，但由于模糊PID控制器在实现上的简便性及其良好的适应性，本文认为在实际应用中，特别是在单轨车辆样机实验中，模糊PID控制器更为合适。尽管PID控制器本身是线性控制器，但结合模糊控制后能够实现实时在线调参，从而提高了系统的稳定性。

综上所述，本文研究表明，模糊PID控制器在单轨车辆控制中的应用具有明显优势，能够有效提升系统的稳定性和适应性，为未来的控制系统设计提供了理论依据和实践参考。

致 谢

感谢黄仕华老师和Everett Wang对文章写作的指导。

NOTES

^*通讯作者。

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