DOI: 10.12677/aam.2025.141014, PDF, HTML, XML,  被引量    科研立项经费支持
作者: 汪敏庆, 游仁青, 陆晓娟^*：桂林信息科技学院数学教研部，广西 桂林
关键词: Schrödinger-Maxwell方程；非平凡解；临界点理论；变分法；次线性；Schrödinger-Maxwell Equation； Nontrivial Solutions； Critical Point Theory； Variational Methods； Sublinear Potentials

文章引用：汪敏庆, 游仁青, 陆晓娟. 一类次线性Schrödinger-Maxwell方程无穷多非平凡解的存在性[J]. 应用数学进展, 2025, 14(1): 105-111. https://doi.org/10.12677/aam.2025.141014

1. 引言

考虑一类次线性项Schrödinger-Maxwell系统无穷多非平凡解的存在性。

$\{\begin{array}{ll}-\Delta u+V\left(x\right)u+\alpha \varphi f\left(u\right)=g\left(x,u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3,\hfill \\ -\Delta \varphi =2\alpha F\left(u\right),\hfill & x\in {\text{R}}^3.\hfill \end{array}$ (1)

这样的方程又被称为Schrödinger-Poisson方程。Schrödinger-Maxwell方程解的存在性在凝聚态物理、电磁学与量子力学的交叉领域、非线性光学、材料科学以及量子通信与量子计算等领域有十分重要的应用。

近几十年来，大批学者在现代变分法的帮助下，通过对Schrödinger-Maxwell方程中的位势函数和非线性项进行一系列的假设，取得了一系列丰硕的研究成果，具体可参考[1]-[5]。文献[6]中利用环绕定理首次研究了带有零谱点的问题(1)的非平凡解，更多关于这方面的结论可参考[7]-[11]。文献[12]中利用对称的山路定理得到了当 $f\left(u\right)=u$ 时问题(1)的无穷多解。结合大部分文献考虑的是 $f\left(u\right)=u$ 的情形，在文献[12]基础上，考虑 $f\left(u\right)$ 为正连续函数时，系统(1)无穷多非平凡解的存在性。

对 $V,f,g$ 有以下假设

(V) $V\left(x\right)\in C^1\left({\text{R}}^3,\text{R}\right)$ ， $\underset{x\in {\text{R}}^3}{\inf }V\left(x\right)\ge a_1>0$ ，其中 $a_1>0$ 是一个常数。对每一个 $M>0$ ， $\text{meas}\left\{x\in {\text{R}}^3,V\left(x\right)\le M\right\}<\infty$ 。这里的测度是 ${\text{R}}^3$ 空间里的Lebesgue测度。

(F₁) $f\in C^1\left({\text{R}}^{+},{\text{R}}^{+}\right)$ ， $\left|f\left(t\right)\right|\le c\left(\left|t\right|+{\left|t\right|}^{\alpha }\right),t\in \left[0,+\infty \right),c>0,\alpha \in \left(2,4\right)$ 。

(F₂) 当 $t\to 0$ 时，对 $\forall x\in {\text{R}}^3$ ，都有 $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{g\left(x,t\right)}{t}=+\infty$ 。

(F₃) $g\in C\left({\text{R}}^3\times \text{R}\right)$ ，对 $\forall t\in \text{R},x\in {\text{R}}^3$ ， $1<P<2$ ，都有 $\left|g\left(x,t\right)\right|\le a\left(x\right){\left|t\right|}^{p-1}$ ，其中 $a\left(x\right)\in L^{\frac{2}{2-p}}$ 为正连续函数。

(F₄) 对 $\forall t\in \text{R},x\in {\text{R}}^3$ ，都有 $g\left(x,-t\right)=-g\left(x,t\right)$ 。

定理1.1 若假设(V)，(F₁)~(F₄)满足，则系统(1)有无穷多非平凡解 $\left(u_k,{\varphi }_k\right)$ 满足：

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left({\left|\nabla u_k\right|}^2+V\left(x\right)u_k^2\right)\text{d}x}+\frac{1}{2}\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\varphi }_k}F\left(u_k\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u_k\right)\text{d}x}\to 0^{-},u_k\to 0,k\to \infty .$

其中 $G\left(x,u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(x,s\right)\text{d}s}$ 。

2. 预备工作

定义2.1. [13]设E为一个Banach空间，相应范数记为 $\Vert \cdot \Vert$ ， $E=\overline{{\oplus }_{j\in N}{X}_j}$ ， $\dim X_j<\infty$ ， $j\in N$ 。 $Y_k={\oplus }_{j=0}^k{X}_j$ ， $Z_k=\overline{{\oplus }_{j=k+1}^{\infty }{X}_j}$ 。

定义2.2. [13]定义函数空间： $H^1\left({\text{R}}^3\right)=u\in L^2\left({\text{R}}^3\right):\nabla u\in L^2\left({\text{R}}^3\right)$ ，对应内积和范数分别为

${\langle u,v\rangle }_1={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+uv\right)\text{d}x}.$

和

${\Vert u\Vert }_1={\langle u,u\rangle }_1^{\frac{1}{2}}.$

定义2.3. [13]定义函数空间 $D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)=\left\{u\in L^{2^{\ast }}\left({\text{R}}^3\right):\left|\nabla u\right|\in L^2\left({\text{R}}^3\right)\right\}$ 。相应的范数为

${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}={\left({\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\text{d}x.$

定义2.4. [13]定义空间

$E=\left\{u\in H^1\left({\text{R}}^3\right):{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\left|\nabla u\right|+V\left(x\right){\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}<\infty \right\}$ ,

则E是一个Hilbert空间，对应的内积和范数分别为

$\langle u,v\rangle ={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\cdot \nabla v+V\left(x\right)uv\right)\text{d}x}$ ,

和

$\Vert u\Vert ={\langle u,u\rangle }^{\frac{1}{2}}.$

定义2.5. [13]记 $|\cdot |$ 为 $L^s\left({\text{R}}^3\right)$ 的范数， $s\in \left(2,6\right)$ ，再记

$S=\underset{u\in D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right),{\left|u\right|}_6=1}{\inf }{\left|\nabla u\right|}_2,{\gamma }_s=\underset{u\in H^1\left({\text{R}}^3\right),\Vert u\Vert =1}{\sup }{\left|u\right|}_s.$

显然，嵌入 $E\to L^s\left({\text{R}}^3\right)\left(\forall s\in \left[2,2^{\ast }\right]\right)$ 是连续的。

结合[14]知，当所有的 $r>0,1\le p<2^{\ast }$ 时，从空间E到空间 $L^p\left(\overline{B_r}\right)$ 的嵌入为紧的， $\overline{B_r}=\left\{x\in {\text{R}}^N:\left|x\right|\le r\right\}$。

规定泛函 $I:E\times D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)\to \text{R}$ 如下：

$I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla \varphi \right|}^2\text{d}x}+\alpha {\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\varphi }_{u}F\left(u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}.$

则 $I\in C^1$ 的，且I的临界点为方程(1)的一个解。

有[14]可知，对每一个 $u\in H^1\left({\text{R}}^3\right)$ ，有且仅有一个 ${\varphi }_u\in D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)$ ，满足：

$-\Delta \varphi =\alpha F\left(u\right),$ (2)

并且 ${\varphi }_u$ 具有下列性质：

(i) ${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}^2={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}$ ；

(ii) ${\varphi }_u\ge 0$ ；

(iii) ${\Vert u\Vert }_{D^{1,2}}^2\le C\left({\Vert u\Vert }^2+{\Vert u\Vert }^{1+\alpha }\right)$ ；

(iv) ${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha F\left(u\right){\varphi }_u\text{d}x}\le \tilde{C}\left({\Vert u\Vert }^4+{\Vert u\Vert }^{2\left(1+\alpha \right)}\right)$，其中 $\tilde{C}$ 仅仅与C有关。

${\varphi }_u$ 可表示为 ${\varphi }_u={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\frac{\alpha F\left(u\left(y\right)\right)}{\left|x-y\right|}\text{d}y}$ 。

考虑到

${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}{\left|\nabla {\varphi }_u\right|}^2\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha F\left(u\right){\varphi }_u}\text{d}x,$

因而I可表示为 $\Phi :E\to \text{R}$ ：

$\Phi \left(u\right)=I\left(u,\varphi \right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_{u}F\left(u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,u\right)\text{d}x}.$

故 $\Phi \in C^1$ 的，且：

$\langle {\Phi }^{\prime }\left(u\right),v\rangle ={\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(\nabla u\nabla v+v\left(x\right)uv+\alpha {\varphi }_{u}f\left(u\right)v-g\left(x,u\right)v\right)\text{d}x}.$

当且仅当 $u\in E$ 是 $\Phi$ 的一个临界点时， $\left(u,\varphi \right)\in E\times D^{1,2}\left({\text{R}}^3\right)$ 是方程(1)的一个解。

定理2.6 [15]设 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 为Hilbert空间， $e_j$ 为其对应的一组标准正交基。令 $X_j=span\left\{e_j\right\}$ ， $Y_k={\oplus }_{j-0}^k{X}_j$ ， $Z_k=\stackrel{-------------------}{{\oplus }_{j-0}^k{X}_j}$ 。设泛函 $\Phi \in C^1\left(X,\text{R}\right)$ ，且 $\Phi \left(-u\right)=\Phi \left(u\right),u\in X$ 。若存在 $k_0\in N$ ，使得对所有的 $k>k_0$ ，存在 ${\rho }_k>r_k>0$ ，且：

(Φ1) $a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\max }\Phi \left(u\right)\le 0$ ；

(Φ2) $b_k:=\underset{u\in Z_k,\Vert u\Vert =r_k}{\inf }\Phi \left(u\right)\to \infty ,k\to \infty$ ；

(Φ3) 对任意的 $c>0$ ， $\Phi$ 满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件。

则 $\Phi$ 具有一列无界的临界值。

3. 定理1.1的证明

引理3.1 若(V)，(F₁)~(F₄)条件成立，则 $\Phi$ 下方有界且满足 ${\left(PS\right)}_C$ 条件。

证明：由条件(V)，(F₃)，有：

$\left|G\left(x,u\right)\right|\le \frac{a\left(x\right)}{p}{\left|u\right|}^p,\forall \left(x,u\right)\in \left({\text{R}}^3,\text{R}\right).$ (3)

对任意给定的 $v\in E$ ，令 $\Omega =\left\{x\in {\text{R}}^3:\left|v\right|\le 1\right\}$ 。由上式和Hölder不等式，有：

$\begin{array}{c}\Phi \left(v\right)=\frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_v}F\left(v\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,v\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_v}F\left(v\right)\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}G\left(x,v\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(\frac{a\left(x\right)}{p}{\left|v\right|}^p\right)\text{d}x}\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2-\frac{1}{p}a{\left(x\right)}_{\frac{2}{2-p},\Omega }^{}{\Vert v\Vert }_{2,\Omega }^p\\ \ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^2-\frac{c^2}{p}a{\left(x\right)}_{\frac{2}{2-p}}^{}{\Vert v\Vert }_{\Omega }^p.\end{array}$

故 $\Phi$ 下方有界。

现在来证明 $\Phi$ 满足 ${\left(PS\right)}_C$ 条件。由上述不等式知，存在常数 $A>0$ ，使得：

${\Vert u_k\Vert }_2\le {\beta }^{-\frac{1}{2}}\Vert u_k\Vert \le A,k\in N.$

假定在E中 $u_k$ 弱收敛于 $u_0$ ，则由(F₃)得：对任意给定的 $\epsilon >0$ ，选定 $R_{\epsilon }>0$ ，使得：

${\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\ge R_{\epsilon }}{\left|a\left(x\right)\right|}^{\frac{2}{2-p}}\text{d}x}\right)}^{\frac{2}{2-p}}<\epsilon .$ (4)

故有等式：

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x=0.$ (5)

成立。若等式(5)不成立，则存在一个常数 ${\epsilon }_0>0$ 和一个子列 $\left\{u_{k_j}\right\}$ ，使得：

${\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_{k_j}\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x\ge {\epsilon }_0,\forall j\in N.$ (6)

故 $\left\{u_{k_j}\right\}$ 在 $L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中有一个收敛的子列。若 $\left\{u_{k_j}\right\}$ 在 $L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中收敛于 $\bar{u}$ ，则：

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_{k_j}\left(x\right)-\bar{u}\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x=0.$ (7)

又 $\left\{u_{k_j}\right\}$ 在 $E\in L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中弱收敛于 $u_0$ ，从而 $\left\{u_{k_j}\right\}$ 在 $L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 中弱收敛于 $u_0$ 成立。结合(6)可知，当 $x\in L^2\left(\overline{B_{R_{\epsilon }}}\right)$ 时，有 $u_0\left(x\right)=\bar{u}\left(x\right)$ ，故：

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|<R_{\epsilon }}{\left|u_{k_j}\left(x\right)-\bar{u}\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x=0,$

这与(4)矛盾，故(5)成立。由(5)知，从而存在常数 $k_0\in N$ ，使得：

$\underset{j\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x<{\epsilon }^2,\forall k>k_0.$ (8)

结合(8)，(F₃)和Hölder不等式，有：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|\cdot }\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|\text{d}x\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|}^2}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}2{\left({\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)\right|}^2+\left|g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|\right)}^2\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon \\ \le 2{\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\left|a\left(x\right)\right|}^2\left({\left|u_k\right|}^{2\left(p-1\right)}+{\left|u_0\right|}^{2\left(p-1\right)}\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon \\ \le 2{\left({\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}{\Vert a\left(x\right)\Vert }_{\frac{2}{2-p}}^2\left({\Vert u_k\Vert }_2^{2\left(p-1\right)}+{\Vert u_0\Vert }_2^{2\left(p-1\right)}\right)\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{2}}\epsilon \\ \le 2{\left[{\Vert a\left(x\right)\Vert }_{\frac{2}{2-p}}^2\left(A^{2\left(p-1\right)}+{\left|u_0\right|}_2^{2\left(p-1\right)}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\epsilon ,\forall k\ge k_0.\end{array}$

类似地，由(F₃)，(2)，(3)和Hölder不等式，有：

${\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\left|g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right|\cdot }\left|u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right|\text{d}x\le 2\left(A^p+{\Vert u_0\Vert }_2^p\right)\epsilon ,k\in N.$ (9)

由于 $\epsilon$ 是任意的，结合(7)和(8)，有：

${\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\left(g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right),u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right)\text{d}x}\to 0,k\to \infty .$ (10)

由(2)和Hölder不等式，有：

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\alpha {\varphi }_{uk}}f\left(u_k\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x\right|\\ \le C\left|{\displaystyle {\int }_{\left|x\right|\le R_{\epsilon }}\alpha \left(\left|u_k\right|+{\left|u_k\right|}^{\gamma }\right){\varphi }_{uk}}\left|u_k-u_0\right|\text{d}x\right|\\ \le C{C}_0\left({\left|{\varphi }_{uk}\right|}_6{\Vert u_k\Vert }_{\frac{12}{5}}{\Vert u_k-u_0\Vert }_{\frac{12}{5}}+{\left|{\varphi }_{uk}\right|}_6{\left|u_k\right|}_6^{\gamma }{\left|u_k-u_0\right|}_{\beta }\right)\end{array}$

其中 $\beta =6/\left(5-\alpha \right)\in \left(2,6\right)$ 。由Sobolev’s嵌入定理和 ${\varphi }_u$ 的性质(iii)，有：

${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_{u_k}f\left(u_k\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x}\to 0,k\to \infty .$

故

${\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha \left({\varphi }_{u_k}f\left(u_k\right)-{\varphi }_{u_0}f\left(u_0\right)\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x}\to 0,k\to \infty .$

又

$\begin{array}{l}\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_k\right)-{\Phi }^{\prime }\left(u_0\right),u_k-u_0\rangle \\ ={\Vert u_k-u_0\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha \left({\varphi }_{u_k}f\left(u_k\right)-{\varphi }_{u_0}f\left(u_0\right)\right)\left(u_k-u_0\right)\text{d}x}\\ -{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\left(g\left(x,u_k\left(x\right)\right)-g\left(x,u_0\left(x\right)\right)\right)\left(u_k\left(x\right)-u_0\left(x\right)\right)\text{d}x},\end{array}$

结合(2)，(6)和(10)，有：

$\langle {\Phi }^{\prime }\left(u_k\right)-{\Phi }^{\prime }\left(u_0\right),u_k-u_0\rangle \to 0.$

即 $\Phi$ 满足 ${\left(PS\right)}_C$ 条件。

引理3.2 若假设(V)，(F₁)~(F₄)满足，则有 ${\rho }_k>r_k>0$ ，且：

$a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\sup }\Phi \left(u\right)\le 0.$

证明：由(F₂)假设，存在 $M>0$ ，使得：

$\begin{array}{c}\Phi \left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{\text{R}}^3}\alpha {\varphi }_{u}F\left(u\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(x,u\right)\text{d}x}\\ \le \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\tilde{C}}{2}\left({\Vert u\Vert }^4+{\Vert u\Vert }^{2\left(1+\alpha \right)}\right)-\frac{1}{2}M{\displaystyle \int {\left|u\right|}^2\text{d}x}\\ =\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\tilde{C}}{2}\left({\Vert u\Vert }^4+{\Vert u\Vert }^{2\left(1+\alpha \right)}\right)-\frac{1}{2}M{\Vert u\Vert }^2.\end{array}$

假定M足够大，且 $\Vert u\Vert ={\rho }_k$ 足够小时，得： $a_k:=\underset{u\in Y_k,\Vert u\Vert ={\rho }_k}{\sup }\Phi \left(u\right)\le 0$ 。

定理1.1的证明 结合引理3.1、引理3.2可得，系统(1)对应的泛函 $\Phi$ 满足定理2.6的所有条件。由定理2.6知，泛函 $\Phi$ 具有一列临界点 $u_k$ ，使得 $\Phi \left(u_k\right)\to 0^{-}$ ，故定理1.1成立。

基金项目

本论文由2022年广西区教育厅高校中青年科研基础能力提升项目(2022KY1623)资助。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

[1]	Adams, R.A. and Fournier, J.F. (2003) Sobolev Spaces. 2nd Edition, Academic Press.
[2]	Alves, C.O., Souto, M.A.S. and Soares, S.H.M. (2011) Schrödinger-Poisson Equations without Ambrosetti-Rabinowitz Condition. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 377, 584-592. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.11.031
[3]	Ambrosetti, A. and Ruiz, D. (2008) Multiple Bound States for the Schrödinger-Poisson Problem. Communications in Contemporary Mathematics, 10, 391-404. https://doi.org/10.1142/s021919970800282x
[4]	Azzollini, A. and dʼAvenia, P. (2012) On a System Involving a Critically Growing Nonlinearity. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 387, 433-438. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.09.012
[5]	Pomponio, A., Azzollini, A. and d’Avenia, P. (2010) On the Schrödinger-Maxwell Equations under the Effect of a General Nonlinear Term. Annales de l’Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire, 27, 779-791. https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2009.11.012
[6]	秦栋栋. 薛定谔方程的基态解和多解性问题[D]: [硕士学位论文]. 长沙: 中南大学, 2014.
[7]	Bao, G. (2016) Infinitely Many Small Solutions for a Sublinear Schrödinger-Poisson System with Sign-Changing Potential. Computers & Mathematics with Applications, 71, 2082-2088. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2016.04.006
[8]	Sun, J. (2012) Infinitely Many Solutions for a Class of Sublinear Schrödinger-Maxwell Equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 390, 514-522. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.01.057
[9]	Bartsch, T. and Qiang Wang, Z. (1995) Existence and Multiplicity Results for Some Superlinear Elliptic Problems on Rn. Communications in Partial Differential Equations, 20, 1725-1741. https://doi.org/10.1080/03605309508821149
[10]	Coclite, G.M. (2003) A Multiplicity Result for the Nonlinear Schrödinger-Maxwell Equations. Communications in Applied Analysis, 7, 417-423.
[11]	席慧慧. 一类薛定谔泊松系统无穷多解的存在性[J]. 太原师范学院学报, 2013, 12(3): 32-35.
[12]	叶一蔚, 唐春雷. 带有超线性项或次线性项的Schrödinger-Poisson系统解的存在性与多重性[J]. 数学物理学报, 2015, 35(4): 668-682.
[13]	Willem, M. (1996) Minimax Theorems. Birkhäuser.
[14]	Bartsch, T., Wang, Z. and Willem, M. (2005) The Dirichlet Problem for Superlinear Elliptic Equations. Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, 2, 1-55. https://doi.org/10.1016/s1874-5733(05)80009-9
[15]	Yang, M.B. and Ding Y.H. (2010) Semiclassical Solutions for Nonlinear Schrödinger-Maxwell Equations. Scientia Sinica, 40, 517-620.