DOI: 10.12677/mos.2025.141116, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 孙 坤, 刘励韬, 李震宇, 安 浩：上海理工大学机械工程学院，上海
关键词: 磁性电子元件；磁芯损耗；SVM模型；遗传算法；决策树；Magnetic Electronic Components； Core Loss； SVM Classifiers； Genetic Algorithms； Decision Trees

文章引用：孙坤, 刘励韬, 李震宇, 安浩. 磁性元件的磁芯损耗预测研究[J]. 建模与仿真, 2025, 14(1): 1284-1296. https://doi.org/10.12677/mos.2025.141116

1. 引言

目前，磁芯损耗模型主要分为两种类型：损耗分离模型和经验计算模型。磁芯损耗通常被划分为三个部分：磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗[1]。损耗分离模型的计算方法通过分别计算这三种成分的损耗来获得总损耗。另一方面，经验计算模型则是一种较为简便的方式，通常依赖于实验数据或理论推导得到的经验公式来估算磁芯损耗。斯坦麦茨方程[2]是其中一个广泛使用的经验模型。然而，由于影响磁芯损耗的因素众多，现有的模型普遍存在适用范围有限或精度不高的问题，导致在实际应用中难以准确评估磁芯损耗，从而影响对功率变换器效率的评估。因此，基于数据驱动的方法，构建一个高精度且适用于不同工况的磁芯损耗模型，已成为当前亟待解决的重要课题。本文基于4种不同磁芯材料所测的数据(由于磁芯材料的复杂性，我们仅用材料1、材料2、材料3、材料4来表示不同材料)，数据包括材料的温度、频率、磁芯损耗、励磁波形类型、磁通密度，作为训练集来用测试集根据频率、温度、磁芯材料、励磁波形四个关键因素预测磁芯损耗。

2. 模型建立与求解

本文用到的符号及其含义如表1所示：

Table 1. Symbol description

表1. 符号说明

符号	含义
RMSE	均方根误差
R2	拟合度
MAE	平均绝对误差
f	频率
Bm	磁通密度峰值

2.1. SVM模型

支持向量机(SVM)是一种基于监督学习的数据分类技术，属于机器学习领域。其效能很大程度上受其参数配置的影响。SVM能够处理线性和非线性数据分类问题，并适用于二分类和多分类场景。该算法的核心理念是，在所有可能将训练数据集划分为不同类别的超平面中，寻找一个最优超平面，它最大化了样本点之间的间隔，同时最小化了分类误差。在这个最优超平面附近，距离最近的样本点被称为支持向量[3]。

2.1.1. SVM建模

以图1所示的二维平面介绍SVM的算法原理，蓝色和红色的点分别代表数据集中不同的两类。

Figure 1. Schematic diagram of the SVM model

图1. SVM模型原理图

训练集表示如下：

$\left(x_i,y_i\right)\left(i=1,2,3\cdots \right),x\in R^d,y\in \left\{+1,-1\right\}$ (1)

其中 $x_i$ 表示训练数据集，为磁通密度； $y_i$ 表示对应的标签，为波形；若 $y_i=1$ ，则样本被视为正样本，若 $y_i=-1$ ，则为负样本；H代表模型中的最佳决策超平面，其数学表达式可以通过公式(2)来定义。H1和H2是与最佳超平面H平行的两个平面，它们分别与两类样本最近，其判别函数可以通过公式(3)和(4)来表示。这两个平面之间的距离定义为分类间隔，用d来表示，其值如图1所示：

$w^{\text{T}}\ast x+b=0\text{}$ (2)

$\begin{array}{l}\text{}\\ w^{\text{T}}\ast x+b\ge 1,y_i=1\text{}\end{array}$ (3)

$\begin{array}{l}\text{}\\ w^{\text{T}}\ast x+b\le 1,y_i=-1\end{array}$ (4)

当样本点被正确划分到所属类别时，满足式(5)：

$y_i\left(w\ast x_i+b\right)-1\ge 0,i=1,2,3,\cdots ,n$ (5)

支持向量与最佳超平面之间的距离越大，通常意味着分类效果越佳。这是因为较大的间隔表明模型在区分不同类别时具有更高的确定性，从而减少了分类错误的可能性，这时需要满足 $w$ 越小。

为了处理非线性数据，采用 RBF 核函数，将数据映射到高维空间进行分类：

$K\left(x_i,x_j\right)=\exp \left(-\gamma {\Vert x_i-x_j\Vert }^2\right)$ (6)

其中， $\gamma$ 控制核函数的宽度。RBF核函数能够捕捉非线性关系，是对复杂波形分类的重要工具。

在本文中采用支持向量机(SVM)模型来对训练集的磁芯材料的励磁波形进行分类。所使用的数据集包含了测得的磁通密度值。为了提取对分类任务最有用的特征，我们选择了磁通密度的标准上文中的特征。这些特征能够综合反映磁通密度波形的特性。在特征选择过程中，我们排除了与分类目标相关性较低的特征，以简化模型并减少过拟合的风险。同时我们选择了径向基函数(RBF)作为SVM的核函数，因为它能够有效处理非线性数据。

2.1.2. 模型结果

基于SVM算法特征值训练，模型准确率为100%，对测试集样本波形结果分析如图2：

Figure 2. Sample waveform results for the test set

图2. 测试集样本波形结果

2.2. 遗传算法

用遗传算法(Genetic Algorithm, GA)优化是一种非常有效的模型预测的方法，它通过模拟自然选择和遗传学原理来寻找最优解。首先，通过明确需要拟合的模型和目标函数。生成一组随机的参数集合，这些集合构成了遗传算法的初始种群。然后，计算每个个体的适应度，即目标函数的值。适应度越高，表示该个体越接近最优解。再根据适应度从当前种群中选择个体，用于生成下一代。常用的选择方法有轮盘赌选择、锦标赛选择等。通过交叉、变异、替换达到终止条件，如达到最大迭代次数、适应度达到预设阈值等。如果满足，则算法结束；否则，重新进行适应度的评估。最后输出具有最高适应度的个体，即最优参数集合[4]。

2.2.1. 遗传算法建模

考虑温度影响斯坦麦茨方程，为了更精确描述磁芯损耗，引入了修正斯坦麦茨方程：

$P=k\cdot f^{\alpha }\cdot B_{\max }^{\beta }\cdot \left(1+cT\right)$ (7)

式中： $P$ 为磁芯损耗； $f$ 是频率； $B_m$ 是磁通密度的峰值； $k、\alpha 、\beta$ 是根据实验数据拟合的系数。

与原斯坦麦茨方程不同的是考虑温度T影响，加入了修正系数c。为了更好理解修正模型这里补充了修正模型的理论基础。

通过数据预处理后得到同一材料正弦波形下的包括不同温度、频率和磁通密度峰值下测量的实际磁芯损耗 $P_{\text{actual}}$ 可以将数据表示为：

${\left\{\left(f_i,B_{\max ,i},T_i,P_{\max ,i}\right)\right\}}_{i=1}^n$ (8)

遗传算法优化，实现最小化模型预测值与实际磁芯损耗 $P_{\text{actual}}$ 之间的差值，通过交叉、变异、替换来最小化此模型的目标函数，从而达到终止条件[5]。

(9)

首先对不同温度下(25℃、50℃、75℃、90℃)分别进行拟合分析如下图3、图4、图5、图6所示：

Figure 3. Comparison chart at 25˚C

图3. 25℃对比图

Figure 4. Comparison chart at 50˚C

图4. 50℃对比图

Figure 5. Comparison chart at 75˚C

图5. 75℃对比图

Figure 6. Comparison chart at 90˚C

图6. 90℃对比图

可以看出几乎每个温度进行拟合的结果误差都较小。初步说明遗传算法优化达到精度。

修正后的斯坦麦茨方程系数如表2所示。

Table 2. Parameters before and after correction

表2. 修正前后的参数

	斯坦麦茨方程	修正斯坦麦茨方程
k	1.422719517574118	1.8530914027122996
α	1.4347837361065694	1.4392299833770807
β	2.475809640532571	2.4333538327726063
c		−0.00537597400285516

为了对拟合结果评估，通常采用以下指标来说明分析。

均方误差(Mean Squared Error, MSE)是衡量预测模型预测值与实际观测值差异的常用指标。均方误差越小，表示模型的预测精度越高。

(10)

拟合度R²的值通常在0到1之间，值越接近1，表示模型拟合度越好。

(11)

平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)是衡量预测模型预测精度的一种指标，它表示预测值与实际观测值之间差的绝对值的平均数。MAE是一个非负值，它提供了预测误差的平均水平，并且对异常值的敏感度较低。

(12)

修正后方程评价指标对比如表3所示。

Table 3. Model evaluation

表3. 模型评价

	斯坦麦茨方程	修正斯坦麦茨方程
MSE	1638268803.331452	273731097.5749828
R2	0.9447829819282902	0.9907740323621795
MAE	20578.630536187284	9763.145972346043

对模型结果进行评价分析，对于均方误差MSE来说修正斯坦麦茨方程较低，表明修正后的模型预测精度更高。且R²也更接近于1可以解释更多的数据变异性，表明拟合度很好。修正后的斯坦麦茨方程的MAE较低表明其预测值与实际值之间的平均绝对差异较小。

2.2.2. 遗传算法模型预测结果

为了使斯坦麦茨方程修正前、后对比可视化，修正前后的预测结果与实际的磁芯损耗对比如下图7。

Figure 7. Comparison of actual and fitted core losses

图7. 实际与拟合的磁芯损耗对比

其中蓝色点表示的是实际测量的磁芯损耗，绿色点表示未修正模型预测的磁芯损耗，红色点表示修正后模型预测的磁芯损耗。

从图像分析中可以明显看出，修正后的斯坦麦茨模型的预测数据与实际损耗值之间的一致性更高，其数据点的分布更紧密地围绕着实际磁芯损耗的点。相比之下，原始斯坦麦茨模型的预测准确性较低，误差较大，这可能意味着模型在某些数据点上未能充分捕捉到损耗变化的动态。

通过引入温度等额外变量对斯坦麦茨方程进行修正，显著增强了模型对数据的解释力度。这种改进显示出模型在考虑更多物理因素后，能够更准确地反映实际情况，从而减少了预测误差，提高了模型的适用性和精确度。

图8清晰地揭示了原始斯坦麦茨方程与修正斯坦麦茨方程在预测磁芯损耗时误差分布的显著差异。误差是通过比较预测值和实际值的比例来确定的，其中横轴代表误差程度，纵轴代表该误差出现的频次。黄色的柱状图展示了修正斯坦麦茨模型的误差分布，而绿色的柱状图则代表了原始斯坦麦茨模型的误差分布。

Figure 8. Comparison of error distributions

图8. 误差分布对比

通过对比误差分布图，可以观察到修正模型的误差主要聚集在较低误差区间，并且其分布的峰值较高且范围较窄，这表明该模型的大多数预测值与实际值非常接近。相反，原始斯坦麦茨模型的误差分布较为广泛，且误差值较大，说明其预测准确性不如修正模型。这一现象进一步证实了修正模型在不同温度和磁通密度条件下的预测能力明显优于原始模型。

总的来说，修正斯坦麦茨方程通过考虑额外的影响因素，如温度，提高了模型的预测准确性和可靠性，使其在实际应用中更加有效。

2.3. 最小磁性损耗预测

斯皮尔曼相关系数(Spearman’s rank correlation coefficient)是一种非参数的统计度量，用于评估两个变量之间的相关性，或者说是它们之间的单调关系的强度。与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求数据服从正态分布，也不要求变量是测量水平的，它仅仅基于变量值的等级。当存在多个变量，并且想要分析这些变量之间两两的相关性时，可以计算斯皮尔曼相关系数矩阵。这个矩阵是一个方阵，其中行和列都代表数据集中的变量，矩阵中的每个元素代表对应行变量和列变量之间的斯皮尔曼相关系数。此问题中，我们可以把温度、励磁波形、磁芯材料和磁芯损耗四个变量进行斯皮尔曼相关系数矩阵的分析[6]。

2.3.1. 相关性分析步骤

1. 对每个变量的数据进行等级赋值，通常采用每个观测值在变量中的排名。

2. 使用斯皮尔曼相关系数的公式计算每对变量之间的相关性。公式如下：

${\rho }_{X,Y}=1-\frac{6{\displaystyle \sum d_i^2}}{n\left(n^2-1\right)}$ (13)

3. 相关系数的值范围从−1到+1。

在数据进行预处理后，四个变量进行计算斯皮尔曼相关系数矩阵。结果如图9：

Figure 9. Spearman correlation matrix

图9. 斯皮尔曼相关性矩阵

所有相关系数都是负值，表明这些变量之间存在不同程度的负相关。磁芯损耗和励磁波形之间的相关性最强。

方差分析用于分析多个自变量对因变量的影响，尤其是用于确定不同因素及其交互作用是否显萫影响磁忩损耗。在我们的问题中，我们需要分析温度、励磁波形和材料类型三个因素及它们的交互作用方差分析的数学模型形式为：

$y_{ijk}=\mu +{\alpha }_i+{\beta }_j+{\gamma }_k+{\left(\alpha \beta \right)}_{ij}+{\left(\alpha \gamma \right)}_{ik}+{\left(\beta \gamma \right)}_{jk}+{\epsilon }_{ijk}.$ (14)

其中：

$y_{ijk}$ 是第i类温度、j类励磁波形、k类材料类型下的磁芯损耗。

$\mu$ 是总体均值。

${\alpha }_i$ 是温度的主效应。

${\beta }_j$ 是励磁波形的主效应。

${\gamma }_k$ 是材料类型的主效应。

${\left(\alpha \beta \right)}_{ij}$ 是温度与励磁波形的交互效应。

${\left(\alpha \gamma \right)}_{ik}$ 是温度与材料类型的交互效应。

${\left(\beta \gamma \right)}_{jk}$ 是励磁波形与材料类型的交互效应。

${\epsilon }_{ijk}$ 是误差项。

为了更进一步说明温度、材料和励磁波形这三个变量对磁芯损耗的相关性。对三个单因素分别进行了方差分析如图10、图11、图12。

Figure 10. Different temperatures

图10. 不同温度

Figure 11. Different materials

图11. 不同材料

Figure 12. Different waveforms

图12. 不同波形

可以看出温度在50~70区间对磁芯损耗的影响最小，材料4对应的磁芯编码“3”对磁芯损耗最小，波形中梯形波对应波形编码“2”对磁芯影响最小。但仅从单一的分析不能确定最佳组合。还需要进一步分析。

接下来对两两变量组合影响进行方差分析。结果如图13、图14、图15。

Figure 13. Material & temperature

图13. 材料与温度

Figure 14. Waveforms & materials

图14. 波形与材料

Figure 15. Waveform and temperature

图15. 波形和温度

交互作用方差的分析结果如图16：

Figure 16. Interaction analysis

图16. 交互分析

结合分析结果和方差分析可知如下。

温度与励磁波形之间的交互作用显著，说明在不同温度下，不同励磁波形的组合会对磁芯损耗产生显著影响。

励磁波形与磁芯材料之间的交互作用极显著，表明不同磁芯材料在不同励磁波形下的损耗特性差异显著。

温度与磁芯材料之间的交互作用不显著，说明温度和磁芯材料的组合对磁芯损耗的影响没有明显的相互依赖关系。

接下来通过分层回归的方差分析进行重要项分析。首先只考虑温度影响的磁芯损耗，依此加入磁芯材料、励磁波形、交互作用。最后通过R²的变化来说明，结果如图17：

Figure 17. Hierarchical regression

图17. 分层回归

可以看出励磁波形加入后R²有较大提升。

2.3.2. 预测结果

由于考虑的影响因素比较多，决策树回归是一种应用于回归分析的决策支持工具，它采用树状图模型将数据集递归地分割成更细小的部分[7]。该模型在每个分支的末端(叶节点)对目标数值进行预测。决策树通过分析样本特征，创建一系列决策规则来预测结果。考虑到所有相关的决策因素都是分类变量，采用决策树回归方法尤为合适。其构建和预测流程包括以下步骤：

1. 划分数据集

对于每一个内部节点，选择一个特征X_i及其切分点s，将数据集D划分为两个子集：

$\begin{array}{l}{D}_{\text{left}}=\left\{\left(x,y\right)\in D|x_i\le s\right\}\\ D_{\text{right}}=\left\{\left(x,y\right)\in D|x_i>s\right\}\end{array}$ (15)

2. 寻找最佳切分点

通过最小化节点的不纯度(如最小化均方误差)来选择最佳切分点。均方误差的计算公式为：

$\text{MSE}=\frac{1}{\left|D\right|}{\displaystyle \underset{\left(x,y\right)\in D}{\sum }{\left(y-\hat{y}\right)}^2}$ (16)

其中，y为节点上目标变量y的均值， $\left|D\right|$ 为节点样本数量。

3. 构建决策树

递归地对每个子集 $D_{\text{left}}$ 和 $D_{\text{right}}$ 重复Step1和Step2，直至满足停止条件(如节点样本数小于某阀值或达到最大树深)。

4. 预测

对于新的样本x，根据特征值依次沿着树结构从根节点向下偏离，直到到达叶节点的值即为预测值y。

根据方差分析的结果来看，在决策树模型中分别加入温度*励磁波形、温度*磁芯材料、励磁波形*磁芯材料、励磁波形、磁芯材料、温度。六个特征综合分析。划分数据集训练集为80%、测试集为20%。

最终预测出温度为90℃、励磁波形为正弦波、磁芯材料为材料4时。达到最小的磁芯损耗为38635.61310459504。

3. 结论

本文围绕磁性元件中的磁芯损耗展开了深入地研究与建模，提出了一系列优化策略以提高磁性元件的性能。在研究过程中，我们首先利用支持向量机(SVM)分类模型对励磁波形进行分类，通过特征提取与分析成功实现了对不同波形的准确识别，进而为损耗预测提供了重要的输入特征。在对磁芯损耗的建模方面，我们引入了温度修正项，采用遗传算法优化斯坦麦茨方程，解决了传统模型在不同温度下的预测精度问题。通过修正后的方程，我们显著提高了磁芯损耗的预测准确度，并验证了该修正模型在多种温度条件下的有效性。此外，本文还应用方差分析与斯皮尔曼相关系数，系统地分析了温度、励磁波形和磁芯材料对磁芯损耗的影响，并通过决策树回归模型优化了磁芯损耗的计算过程。研究结果表明，温度、波形与材料之间的交互作用对损耗具有显著影响，决策树模型能够有效捕捉这些复杂关系，从而在实际应用中实现更为精准的损耗预测。最后，基于多目标优化算法的应用，本文提出了一种磁芯损耗与传输磁能的综合优化模型。该模型能够在给定约束条件下，最小化磁芯损耗的同时，最大化磁能传输，从而为高效磁性元件的设计提供了理论依据和技术支持。总体而言，本研究不仅提升了磁芯损耗预测的精度，也为电力电子领域中磁性元件的优化设计提供了重要参考。尽管本研究取得了一定的成果，但仍存在进一步改进的空间。未来的研究可以进一步考虑其他因素对磁芯损耗的影响，如磁场非线性效应、材料的微观结构等。此外，结合更大规模的实验数据，提升数据驱动模型的准确性和适用性，将进一步推动磁芯损耗预测技术的实际应用。

参考文献

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[2]	Steinmetz, C.P. (1892) On the Law of Hysteresis. Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, 9, 1-64. https://doi.org/10.1109/t-aiee.1892.5570437
[3]	肖剑, 黄博, 程鸿亮, 等. 基于改进AHA优化SVM的人脸识别算法[J/OL]. 计算机工程, 1-9. https://doi.org/10.19678/j.issn.1000-3428.0069182, 2024-09-25.
[4]	Goldberg, D.E. (1989) Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Addison-Wesley.
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