DOI: 10.12677/mos.2025.141122, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 刘程辉：上海理工大学机械工程学院，上海
关键词: 滚动轴承；变分模态分解；粒子群优化算法；融合指标系数；Rolling Bearing； Variational Modal Decomposition； Particle Swarm Optimization Algorithm； Fusion Index Coefficient

文章引用：刘程辉. 基于PSO-VMD的滚动轴承故障诊断方法[J]. 建模与仿真, 2025, 14(1): 1359-1370. https://doi.org/10.12677/mos.2025.141122

1. 引言

滚动轴承是旋转机械中的关键传动元件，其工作状态直接影响着机械设备的稳定性和生产效率。轴承若发生故障，未能及时处理，可能会对机械造成严重影响，甚至引发安全事故[1]。因此，研究和开发有效的轴承故障诊断技术，及时发现早期的微小故障，对于保障机械设备的安全稳定运行至关重要[2]。

2014年，Zosso [3]等人提出了一种名为变分模态分解(Variational Model Decomposition, VMD)的方法。不同于基于时域波形分解的EMD方法，VMD关注信号的频谱分解，自适应地将原始信号分解为一系列带宽集中且稀疏的模态分量，且各分量的和为原信号。由于其完善的数学理论和出色的自适应性，VMD近年来在信号处理领域得到了广泛应用。李伟[4]等人利用VMD和Teager能量算子重构了齿轮箱振动信号，并结合多尺度模糊熵和多尺度能量参数构建了新指标，有效区分了不同类型的齿轮故障。周福成[5]等人根据奇异值最佳有效秩次自动搜寻VMD的分解数量K，应用于齿轮箱不平衡故障特征提取。许午珍[6]等人利用小波变换与VMD实现了对风电齿轮箱微弱故障的诊断。吕蒙[7]等人提出了一种改进的VMD方法，成功实现了风电传动链中滚动轴承和齿轮箱的故障诊断。赵洪山[8]等人使用VMD分解齿轮振动信号，基于峭度指标的重构信号提取了齿轮故障特征。

VMD算法中的重要参数K和α值得关注。K值的大小决定了信号分解成的分量数量，过大或过小都会导致模态混叠或虚假分量出现。惩罚因子α则约束着每个模态分量的带宽。因此，合理的参数选择对VMD的效果至关重要。近年来，一些学者通过参数优化的方法改善了VMD的效果。例如，丁承君[9]等人利用果蝇算法优化了VMD中的K值和α值，有效获得了齿轮箱故障特征。

在变分模态分解(VMD)得到的多个本征模态分量(IMF)中，识别和选择含有故障信息的关键分量是诊断的关键。国内外学者提出了多种IMF筛选指标，如峭度、相关系数和相关峭度等。然而，这些指标也存在一定的局限性。以常用的峭度指标[10]为例，它在筛选敏感IMF时容易受到单一冲击噪声的影响，导致敏感IMF分量的误选。

针对上述问题，本文提出了一种结合粒子群优化(Particle Swarm Optimization, PSO)与变分模态分解(Variational Modal Decomposition, VMD)的滚动轴承故障诊断方法。PSO是一种模拟自然界群体行为的智能优化算法，兼具全局和局部搜索能力。通过利用PSO对VMD参数进行自适应优化，本文提出了一种新的敏感IMF筛选指标——融合指标系数(Fusion Index Coefficient, FIC)，有效识别出最具代表性的IMF。最后，对优选的IMF进行包络解调分析，提取故障特征频率，实现对滚动轴承的故障诊断。在西储大学数据集实验中，该方法表现出优异的效果和优势。

2. 理论介绍

2.1. 变分模态分解(VMD)

变分模态分解是一种先进的时频信号处理技术，能够自适应地调整信号的尺度。可以根据需求自行设定期望的模态数量，对复杂信号进行分解。与传统的自适应分解方法(如EMD、EEMD和LMD)相比，变分模态分解成功地克服了模态混叠和端点效应等问题。其核心原理基于维纳滤波器来进行降噪处理，在抑制噪声方面表现出优异的性能。

在VMD中，信号被分解为若干个子模态 $u_k$ ，每个模态的带宽在频率中心附近紧密集中，且通过梯度的L2范数对带宽进行估计。

VMD首先定义了约束条件更加严格且带宽有限的模态分量：

$u_k\left(t\right)=A_k\left(t\right)\cos \left({\varphi }_k\left(t\right)\right)$ (1)

式中， $u_k\left(t\right)$ 为模态分量， $A_k\left(t\right)$ 瞬时幅值且 $A_k\left(t\right)\ge 0$ ， ${\varphi }_k\left(t\right)$ 为非单调递减的相位函数。

为了消除该IMF中的负频率成分，以便于后续处理，先对该信号进行Hilbert变换，再获得其单边谱，变换后的解析信号表达如下：

$\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)*u_k\left(t\right)$ (2)

式中， $\delta \left(t\right)$ 为脉冲信号，*为卷积运算。

接着对各IMF赋予一个中心频率 ${\omega }_k$ ，为了实现信号的移频操作，对上式解析信号乘以一个 ${\exp }^{(-j}{}^{wkt)}$ ，各模态分量移频的数学表达如下：

$\left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)*u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{\omega }_{k}t}$ (3)

之后计算各解调信号梯度的Frobenius范数，得到各模态分量的带宽表达：

${\Vert {\partial }_t\left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)*u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{\omega }_{k}t}\Vert }_2^2$ (4)

在获得了各模态分量的带宽表达之后，提出了两个约束条件：

1) K个IMF的各带宽之和最小。

2) 各IMF线性叠加之后的信号为原信号f。

基于上述两种约束条件构建如下的约束变分问题：

$\begin{array}{l}\underset{\left\{u_k\right\},\left\{{\omega }_k\right\}}{\min }\left\{{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\Vert {\partial }_t\left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{\omega }_{k}t}\Vert }_2^2}\right\}\\ \text{s}.t.{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{u}_{{}_k}}=f\end{array}$ (5)

式中， $\left\{u_k\right\}=\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_k\right\}$ 为K个模态分量， $\left\{w_k\right\}=\left\{w_1,w_2,\cdots ,w_k\right\}$ 为各模态分量对应的中心频率。利用拉格朗日乘数法，引入惩罚因子 $\alpha$ 和拉格朗日乘子 $\lambda \left(t\right)$ ，将上述约束变分问题变为非约束变分问题：

$\begin{array}{c}L\left(\left\{u_k\right\},\left\{{\omega }_k\right\},\lambda \right)=\alpha {{\displaystyle \underset{k}{\sum }\Vert \left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{\omega }_{k}t}\Vert }}_2^2\\ +{\Vert f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k}{\sum }{u}_k\left(t\right)}\Vert }_2^2+\langle \lambda \left(t\right),f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k}{\sum }{u}_k\left(t\right)}\rangle \end{array}$ (6)

利用交替方向乘子法求解上述问题，轮流对 $u_k^{n+1}$ 、 ${\omega }_k^{n+1}$ 、 ${\lambda }_k^{n+1}$ 进行更新以求得该非约束变分问题的鞍点。其中 $u_k^{n+1}$ 由如下问题解出：

$u_k^{n+1}=\arg \min \left\{\alpha {\Vert {\partial }_t\left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{\omega }_{k}t}\Vert }_2^2+{\Vert f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{K}{\sum }}{u}_i\left(t\right)+\frac{\lambda \left(t\right)}{2}}\Vert }_2^2\right\}$ (7)

对于式(8)的求解，首先利用parseval傅里叶等距变换，将该问题从时域形式转换为频域形式：

${\hat{u}}_k^{n+1}=\arg \min \left\{\alpha {\Vert j\omega \left[\left(1+\mathrm{sgn}\left(\omega +{\omega }_k\right)\right){\hat{u}}_k\left(\omega +{\omega }_k\right)\right]\Vert }_2^2+{\Vert \hat{f}\left(\omega \right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{K}{\sum }}{\hat{u}}_i\left(\omega \right)+\frac{{\hat{\lambda }}^2\left(\omega \right)}{2}}\Vert }_2^2\right\}$ (8)

以ω−ω_k代替ω，根据信号的Hermitian对称性，问题(8)可以看作非负频率区间的积分问题：

${\hat{u}}_k^{n+1}=\arg \min \left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }4\alpha {\left(\omega -{\omega }_k\right)}^2}{\left|{\hat{u}}_k\left({\omega }_k\right)\right|}^2+2{\left|\hat{f}\left(\omega \right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{K}{\sum }}{\hat{u}}_i\left(\omega \right)+\frac{{\hat{\lambda }}^2\left(\omega \right)}{2}}\right|}^2\text{d}\omega \right\}$(9)

求解式(9)，模态分量 ${\hat{u}}_k^{n+1}{}_{\backslash }$ 的更新表达式如下：

${\hat{u}}_k^{n+1}\left(\omega \right)=\frac{\hat{f}\left(\omega \right)-{\displaystyle \underset{i\ne k}{\sum }{\hat{u}}_i\left(\omega \right)+\left(\hat{\lambda }\left(\omega \right)/2\right)}}{1+2\alpha {\left(\omega -{\omega }_k\right)}^2}$ (10)

同理，中心频率 ${\omega }_k^{n+1}$ 的更新问题表达如下：

${\omega }_k^{n+1}=\arg \min \left\{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{(\omega -{\omega }_k)}^2{\left|\stackrel{\wedge }{u_k}(\omega )\right|}^{2}d\omega }\right\}$ (11)

同样将该最小化问题由时域形式转换为频域形式：

${\omega }_k^{n+1}=\arg \min \left\{{\Vert {\partial }_t\left[\left(\delta \left(t\right)+\frac{j}{\pi t}\right)*u_k\left(t\right)\right]{\text{e}}^{-j{\omega }_{k}t}\Vert }_2^2\right\}$ (12)

求解式(12)，中心频率 ${\omega }_k^{n+1}$ 的表达式如下：

${\omega }_k^{n+1}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\omega {\left|{\hat{u}}_k\left(\omega \right)\right|}^2\text{d}\omega }}{{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left|{\hat{u}}_k\left(\omega \right)\right|}^2\text{d}\omega }}$(13)

VMD通过迭代搜寻最优解来确定每个分量的中心频率及带宽，从而自适应地实现信号的分解，该算法的具体流程如下：

(1) 初始化 $u_k^n$ 、 ${\omega }_k^n$ 、 ${\lambda }_k^n$ ， $n=1$ 。

(2) k从1循环运算至K，其中K为分解的模态分量个数。根据式(10)和式(13)更新各模态分量un k及其对应的中心频率 ${\omega }_k^n$ 。

(3) 更新拉格朗日乘子 ${\lambda }^n$ 。

(4) 若满足式(14)的收敛条件，则迭代停止，对 $u_k^n$ 进行傅里叶逆变换输出各模态分量对应的时域信号 $u_k\left(t\right)$ 以及各分量对应的中心频率 ${\omega }_k^n$ 。省则， $n+1\to >n$ ，重复步骤(2)~(3)。

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{K}{\sum }}{\Vert {\hat{u}}_k^{n+1}-{\hat{u}}_k^n\Vert }_F^2/{\Vert {\hat{u}}_k^n\Vert }_F^2}<\zeta$ (14)

2.2. 粒子群算法(PSO)

PSO是一种自适应寻优算法，该算法的具体实现过程如下：对于一个N维空间存在n个粒子组成的种群X，第i个粒子拥有自己的飞行速度 $P_i=\left(V_{i1},V_{i2},\cdots ,V_{iN}\right)$ 以及在这个空间中的位置 $X_i=\left(X_{i1},X_{i2},\cdots ,X_{iN}\right)$ 。粒子每次迭代时，通过个体最优解 $P_i=\left(P_{i1},P_{i2},\cdots ,P_{iN}\right)$ 和全局最优解 $G_i=\left(G_{i1},G_{i2},\cdots ,G_{iN}\right)$ 来更新自己的位置和速度。粒子的第 $m+1$ 次位移和速度迭代公式如式(15)和式(16) 所示：

$X_{iN}^{m+1}=X_{iN}^m+V_{iN}^m$ (15)

$V_{iN}^{m+1}=\omega V_{iN}^m+c_1{r}_1\left(P_{iN}-X_{iN}^m\right)+c_2{r}_2\left(G_{iN}-X_{iN}^m\right)$ (16)

(16)式中：m为惯性权重；c₁和c₂为学习因子；r₁和r₂为0到1之间的随机常数。粒子群算法的参数如表1所示。

Table 1. PSO algorithm parameters

表1. PSO算法参数

粒子数n	迭代次数m	惯性权重ω	C1	C2
20	50	0.398	0.5	0.5

2.3. 融合指标系数(FIC)

本节将VMD分解得到的IMF中的峭度指标、包络熵和平均相关系数进行加权融合，形成一种对故障特征更为敏感、对分解效果要求更高的综合评价指标。为了将该三种评价指标数值变化的方向趋于一致，即各指标数值越大，所对应参数的分解效果越好，同时均衡三种评价指标的数值大小，本节将包络熵，平均相关系数进行数值处理。同时，考虑到峭度指标对于冲击性的故障特征具有极好的表征效果，相较于包络熵、平均相关系数在齿轮故障特征提取中具有更加重要的作用，赋予峭度更高的权重。在首先保证分解得到的IMF冲击性故障特征明显，其次确保信号较好的稀疏性、分解后的IMF中心频率相距较远互不干扰这样的一个优先级下，对三种指标进行加权融合，融合后的评价指标如下：

$E={\lambda }_1{K}_v+{\lambda }_2\left(-10\lg r_{avg}\right)+{\lambda }_3\left(\frac{10}{\lg E_p}\right)$ (17)

式中，λ₁ = 0.5，λ₂ = 0.3，λ₃ = 0.2。

3. 诊断流程及实验

如图1所示，PSO-VMD故障检测流程的详细步骤如下。

在第一阶段：粒子群优化算法和变分模态分解算法都需要参数设置。首先，对粒子群优化算法的参数进行初始化。VMD模态数量K的搜索范围设为[3,10]，二次惩罚因子α的搜索范围设为[250,2500]。

在第二阶段，选取包络熵作为评价优化算法性能的指标，利用粒子群优化方法对该熵值执行最小化操作，进而筛选出VMD方法中理想的参数集[K, α]。随后，采用优化后的参数配置对VMD算法进行调整，进而对该轴承的初始振动信号执行解析操作，从而提取出K个独立的模态成分。

Figure 1. Flow chart of PSO-VMD fault detection

图1. PSO-VMD故障检测流程图

在第三阶段，对各个模态分量的融合指数进行评估，筛选出融合指数最高的模态分量，作为理想的模态分量，后续将利用其进行故障属性的提炼。在第四阶段，针对筛选出的最佳模态分量，展开包络解调处理，进而从中提炼出故障特征频率。随后，将这些频率与实际发生的故障特征频率进行对照分析，借此完成轴承故障的准确判别。

4. 实验及结果分析

4.1. 轴承故障频率计算

Figure 2. Structural diagram of rolling bearing

图2. 滚动轴承结构图

由图2滚动轴承的结构图可知，一般轴承发生故障都是会出现在这四个位置，因而不同的部位发生故障就会存在不同的故障特征频率，特征频率的计算公式为：

考虑到接触角和滚动体的直径，修正公式得到：

$\begin{array}{c}\text{BPFI}=\frac{n}{2}\left(1+\frac{d}{D}\cos \beta \right)f_r\end{array}$ (18)

$\begin{array}{c}\text{BPFO}=\frac{n}{2}\left(1-\frac{d}{D}\cos \beta \right)f_r\end{array}$ (19)

滚动体故障频率推导。

滚动体自旋的频率可以通过考虑滚动体相对于内圈和外圈的运动速度来计算：

$\begin{array}{c}\text{BSF}=\frac{D}{d}\left(1-{\left(\frac{d}{D}\cos \beta \right)}^2\right)f_r\end{array}$ (20)

保持架故障频率推导。

保持架每转动一次的频率与滚动体数量和接触角有关：

$\begin{array}{c}\text{FTF}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{d}{D}\cos \beta \right)f_r\end{array}$ (21)

这些公式可以用于分析轴承时域信号，从而有效地进行故障诊断。

4.2. 实例验证

为了突出本方法的有效性，我们使用西储大学(CWRU)的振动数据集作为示例进行验证。西储大学轴承数据集是机械故障诊断领域广泛使用的标准数据集，包含丰富多样的故障类型和运行状态数据，能够有效验证故障诊断方法的有效性。该数据集涵盖了不同故障类型(如内环故障、外环故障和滚子故障)和不同故障严重程度(如0.007、0.014和0.021英寸)的轴承振动信号。这些数据由安装在不同位置(如驱动端、风扇端)的加速度传感器采集，并在多种负载条件(如0、1、2和3匹马力)下记录。

4.2.1. CWRU轴承实验台介绍

Figure 3. CWRU bearing test stand

图3. CWRU轴承实验台

该实验装置如图3所示，主要包括一台2马力(约1.5千瓦)电动机、一个扭矩传感器和功率测试计。待测滚动轴承支撑着电动机的转轴。电机驱动端安装了SKF6205型号的轴承，通过电火花加工技术在外圈上制造了三个不同大小的单点损伤，具体尺寸分别为0.007英寸(约0.1778毫米)、0.014英寸(约0.3556毫米)和0.021英寸(约0.5334毫米)。这些损伤点设置在外圈的三个不同位置：3点钟、6点钟和12点钟方向。

在电机驱动端轴承座上方安装了加速度传感器，用于捕捉和收集滚动轴承运行时产生的振动加速度信号。振动信号由16通道数据记录仪以12 kHz的采样频率采集，以确保数据的精确性和完整性。

Table 2. SKF6205 bearing parameters table

表2. SKF6205轴承参数表

内圈直径/mm	外圈直径/mm	滚动体个数	滚动体直径d/mm	节经D/mm
25	52	9	8.18	44.2

根据上述表2轴承的参数再结合4.1部分理论计算公式可得出此轴承的故障特征阶次(相对应转频的倍数)，汇总至表3：

Table 3. SKF6205 bearing fault characteristic frequency order

表3. SKF6205轴承故障特征频率阶次

内圈	外圈	滚动体	保持架
5.42	3.58	0.398	4.713

4.2.2. 内圈故障轴承

选择内圈故障数据的具体的参数如表4所示：

Table 4. SKF6205 bearing inner ring fault data

表4. SKF6205轴承内圈故障数据

数据集名称	故障部位	故障直径(英尺)	轴承转速(rpm)	数据采样率(Hz)	数据片段点数
105.mat	内圈	0.007	1797	12,000	20,000

根据表3和表4可知，当轴承内圈发生故障时其故障特征频率为162.329 Hz。

内圈受轴承安装位置影响，信号在传导过程中存在多个部件，导致信号传递时间较长，因此在采集过程中，故障信号易受到噪声干扰。图4展示了内圈故障的时域波形图，但波形中的故障特征受到噪声和杂乱信号的影响，无法直接进行时域分析。图5为内圈故障的频谱图，由于噪声干扰严重，频率主要集中在中高频段，然而故障频率处于低频段，其幅值较低且周围频率谱线相似，致使故障特征不明显，几乎无法明确判断故障类型。为了解决这一问题，采用粒子群优化(PSO)算法自适应选择变分模态分解(VMD)的最佳参数组合，其适应度函数的迭代曲线如图6所示。

如图6所示，粒子群优化算法(PSO)在迭代6次后收敛，适应度函数的包络熵最小，对应最佳参数组合为[6,357]。将此参数组合应用于VMD算法，对内圈故障信号进行分解，结果如图7所示。图8展示了两种不同的IMF筛选指标FIC和Kt的比较。其中，第四个IMF是使用FIC指标选择的最优模态分量，而第五个IMF是使用Kt指标选择的。进一步对这两个IMF分量进行包络谱分析，结果分别见图9和图10。从图9中可以看出，IMF4的包络谱清晰地识别出了转速频率和内圈故障特征频率。相比之下，图10显示了IMF5的包络谱，其中也包含转速频率和内圈故障频率，但这些特征的幅值较小，不易识别。因此，本文提出的方法具有更好的应用效果，能更有效地识别出故障特征。

Figure 4. Original vibration signal of inner ring fault

图4. 内圈故障原始振动信号

Figure 5. Spectrum diagram of the original vibration signal of the inner ring fault

图5. 内圈故障原始振动信号频谱图

Figure 6. Iterative curve of PSO optimization value

图6. PSO优化值迭代曲线

Figure 7. Time domain diagram of each component of VMD decomposition

图7. VMD分解各分量时域图

Figure 8. Comparison of filter indicators

图8. 筛选指标对比

Figure 9. Envelope spectra of modal components corresponding to FIC

图9. FIC对应模态分量包络谱图

Figure 10. Envelope spectra of modal components corresponding to Kt

图10. Kt对应模态分量包络谱图

5. 结论

本文提出了一种基于粒子群优化算法(PSO)改进的变分模态分解(VMD)方法，用于滚动轴承故障诊断，并通过CWRU振动数据集进行了实验验证。根据实验结果，本文得出了以下主要结论：

(1) 粒子群优化算法能够自适应地确定VMD的模态个数及二次惩罚因子的最优参数组合，避免了人工设置参数时可能导致的过分解或欠分解问题，从而提高了VMD在滚动轴承故障诊断中的应用效果。

(2) 通过PSO优化后的VMD方法能够有效地提取隐藏在强背景噪声中的轴承故障信息，显著提升了故障诊断的准确性。

(3) 本文提出了融合峭度、包络熵和互相关系数的敏感模态分量筛选指标(FIC)，实验验证表明，FIC指标比传统峭度指标更加具有针对性，能够更准确地选择含有丰富故障特征的最优模态分量，具有更高的诊断准确性和鲁棒性。

本文提出的方法不仅有效解决了VMD在参数设置和敏感模态分量选取方面的挑战，也为VMD在滚动轴承故障诊断领域的应用提供了可靠的解决方案。未来的研究将进一步拓展VMD在其他机械故障诊断场景中的应用，并结合深度学习等先进技术，进一步提升故障诊断的准确性与鲁棒性。

参考文献

[1]	胡超凡, 王衍学. 基于张量分解的滚动轴承复合故障多通道信号降噪方法研究[J]. 机械工程学报, 2019, 55(12): 50-57.
[2]	李显泽, 龙海洋, 郑直, 等. 基于SGMD线性峭度和log SAM的滚动轴承故障诊断方法[J]. 噪声与振动控制, 2020, 40(6): 121-127.
[3]	Dragomiretskiy, K. and Zosso, D. (2014) Variational Mode Decomposition. IEEE Transactions on Signal Processing, 62, 531-544. https://doi.org/10.1109/tsp.2013.2288675
[4]	李伟, 罗成. 基于VMD的行星齿轮箱故障特征提取新方法[J]. 噪声与振动控制, 2020, 40(3): 94-99.
[5]	周福成, 唐贵基, 何玉灵. 基于改进VMD的风电齿轮箱不平衡故障特征提取[J]. 振动与冲击, 2020, 39(5): 170-176.
[6]	许午珍, 崔立, 任德余, 徐卫责, 时大方. 基于小波-VMD-Teager能量算子的齿轮箱微弱故障诊断[J]. 上海第二工业大学学报, 2020, 37(3): 200-206.
[7]	孟宗, 吕蒙, 殷娜, 李晶. 基于改进变分模态分解的齿轮故障诊断方法[J]. 计量学报, 2020, 42(6): 717-723.
[8]	赵洪山, 郭双伟, 高夺. 基于奇异值分解和变分模态分解的轴承故障特征提取[J]. 振动与冲击, 2016, 35(22): 183-188.
[9]	丁承君, 付晓阳, 冯玉伯, 张良. 基于参数优化VMD的齿轮箱故障特征提取方法[J]. 机械传动, 2020, 44(3): 171-176.
[10]	郑义, 岳建海, 焦静, 等. 基于参数优化变分模态分解的滚动轴承故障特征提取方法[J]. 振动与冲击, 2021, 40(1): 86-94.