DOI: 10.12677/aam.2025.141041, PDF, HTML, XML,  被引量    科研立项经费支持
作者: 王明莲^*, 周长亮：东华理工大学理学院，江西 南昌
关键词: 分数阶拉普拉斯方程；移动平面法；径向对称性；Fractional Laplace Equation； Moving Plane Method； Radial Symmetry

文章引用：王明莲, 周长亮. 一类非线性拉普拉斯方程正解的对称性[J]. 应用数学进展, 2025, 14(1): 423-432. https://doi.org/10.12677/aam.2025.141041

1. 引言

分数阶拉普拉斯算子 ${\left(-\Delta \right)}^S$ 在 $R^n$ 中是一个非局部伪微分算子，定义为

${\left(-\Delta \right)}^{S}u\left(x\right)=C_{n,s}P.V.{\displaystyle \underset{R^n}{\int }\frac{u\left(x\right)-u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{n+2s}}\text{d}y}:=C_{n,s}\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{\left|y-x\right|\ge \epsilon }{\int }\frac{u\left(x\right)-u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{n+2s}}\text{d}y}$ (1)

其中常数 $C_{n,s}$ 依赖于空间维数n且和s有关， $C_{n,s}={\left({\displaystyle \underset{R^n}{\int }\frac{1-\cos \left(2\pi {\xi }_1\right)}{{\left|\xi \right|}^{n+2s}}\text{d}\xi }\right)}^{-1}$ ， $P.V.$ 为柯西主值， $L_{2s}=\left\{u:R^n\to R|{\displaystyle \underset{R^n}{\int }\frac{\left|u\left(x\right)\right|}{{\left(1+\left|x\right|\right)}^{n+2s}}\text{d}x<\infty }\right\}$ 。柯西主值可以使得某些在通常意义上发散的积分变得收敛，当(1)对每个点x都有意义时，可以证得当 $s\to 1$ 时， ${\left(-\Delta \right)}^{S}u\left(x\right)$ 收敛于 $-\Delta u\left(x\right)$ 。

近些年来，由于分数阶拉普拉斯算子可以模拟各种物理现象，引起了人们极大的兴趣，例如湍流和水波，异常扩散和准地转流，分子动力学和相对量子力学等[1]-[4]；同时分数阶拉普拉斯算子还常用于描述生物、化学、金融等领域的现象和规律，因此对此进行研究具有非常重要的意义。随之而来的是越来越多的学者投入到分数阶拉普拉斯算子的理论与应用研究中，研究成果也越来越多[5]-[8]。

从数学上看，拉普拉斯算子的非局部性使得在研究一些非局部的偏微分方程时存在一定的困难，一种有效的解决办法是由Caffarelli [9]发展的将非局部问题转化到高维的局部问题的延拓法，另外，移动平面法和正则性提升能将分数阶拉普拉斯方程转化为等价的积分方程，但是这种方法却并不适用于解决非线性的非局部算子问题。为解决这个问题，Chen和Li等人[10]提出了针对拉普拉斯算子的直接移动平面法，此后，Jarohs [11]等发展了直接移动平面法，并将其用于去处理一些非线性非局部算子，这一方法也得到了许多应用。

随着对于分数阶拉普拉斯算子方程研究的深入，线性的分数阶拉普拉斯方程已经有很多的研究成果，对于非线性的拉普拉斯方程的研究相对较少，因此具有一定的发展空间，例如薛定谔型方程，经典的非线性薛定谔方程为 $-\Delta u+u=f\left(x,u\right)$ ， $x\in R^N$ ， $u\in H^1\left(R^N\right)$ 。

2012年，Femler [12]等研究了分数阶薛定谔方程

${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}u\left(x\right)+u\left(x\right)=f\left(x,u\right)$ (2)

在 $R^n$ 上的正解和单调性，并且利用移动平面法证明了方程(2)的正解的径向对称性和单调性。此后，经典的薛定谔方程被推广到了分数阶上，研究者们对于分数阶的薛定谔型方程展开了一些研究。

2017年，Chen [10]等人利用直接移动平面法研究了下列具有分数扩散的非线性Schrödinger方程

${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}u\left(x\right)+u\left(x\right)=u^p\left(x\right),x\in R^n$ (3)

证明了若 $u\in C_{loc}^{1,1}\left(R^n\right)\cap L_{\alpha }\left(R^n\right)$ 是(3)的正解，且 $1<p<\infty$ ，如果 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }u\left(x\right)=a<{\left(\frac{1}{p}\right)}^{\frac{1}{p-1}}$ ，那么u一定是径向对称的并且在 $R^n$ 的某一点上单调递减。这是分数阶薛定谔型方程的更多形式的一种具体化。

2022年，叶方琪[13]通过研究分数阶Hardy方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{s}u\left(x\right)={\left|x\right|}^p{u}^q\left(x\right),x\in R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\\ u\left(x\right)=\phi \left(x\right)\text{, }x\in \overline{{{\rm B}}_1}\\ u\left(x\right)>0,x\in R^n\end{array}$ (4)

其中 $0<s<1$ ， $p<0$ ， $q<0$ ， $\overline{{{\rm B}}_1}:=\left\{x\in R^n|\left|x\right|\le 1\right\}$ ， $R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}:=\left\{x\in R^n|\left|x\right|>1\right\}$ 证明了若 $u\in C_{loc}^{1,1}\left(R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\right)\cap L_s\left(R^n\right)$ 是方程(4)的解，u在 $R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ 内有上界，且满足对任意 $x\in R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ ， $y\in \overline{{{\rm B}}_1}$ ，有 $u\left(x\right)\le \phi \left(y\right)$ ，则关于任意分量 $x_i$ ，u在 $\left(-\infty ,-1\right)$ 内单调递增，在 $\left(1,+\infty \right)$ 内单调递减。

最近，Duan Y [14]等人考虑了带有变号位势的分数阶p-拉普拉斯非线性方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}_p^{s}u\left(x\right)+a\left(x\right){\left|u\right|}^{p-2}u\left(x\right)=f\left(u\left(x\right)\right),x\in \Omega \\ u>0,x\in \Omega \\ u=0,x\in {\Omega }^c\end{array}$ (5)

利用移动平面法得到了方程(5)的解在有界区域内的径向对称性，并且利用滑动法的思想，通过构造辅助函数证明了解在无界区域内的单调性。除此之外，Cao [15]等人还研究了单位球上含有分数阶p&q-Laplace算子的非线性系统，同样通过直接移动平面法证明了系统正解的径向对称性和单调性。这说明了对于非线性方程的解的研究日新月异，可发挥的空间较大。

基于以上研究者的启发，本文想借助分数阶拉普拉斯方程的极值原理，主要利用移动平面法的直接方法，这也是研究分数阶拉普拉斯方程解的性质最常用的一种方法，将方程(4)推广到非线性领域上，研究下列薛定谔型非线性分数阶拉普拉斯方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}u\left(x\right)+u\left(x\right)={\left|x\right|}^p{u}^q\left(x\right),x\in R^n\backslash {\overline{{\rm B}}}_1\\ u\left(x\right)=\phi \left(x\right)\text{, }x\in \overline{{{\rm B}}_1}\\ u\left(x\right)>0,x\in R^n\end{array}$ (6)

的正解 $u\in C_{loc}^{1,1}\left(R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\right)\cap L_{\alpha }\left(R^n\right)$ 的径向对称性，其中 $0<\alpha <2$ ， $p<0$ ， $q<0$ ， $\overline{{{\rm B}}_1}:=\left\{x\in R^n|\left|x\right|\le 1\right\}$ ， $R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}:=\left\{x\in R^n|\left|x\right|>1\right\}$ 。

2. 预备知识

由于方程(6)的解是在Lp空间中探讨的，由Holder连续性可知u一定是一致连续的，对拉普拉斯算子运用极值原理可得到解的估计和解的正则性，由于移动平面法只针对偏微分方程正解，因此下面只考虑正解的径向对称性。为方便运用移动平面法证明微分方程正解 $u\left(x\right)$ 的对称性，以全空间 $R^n$ 为例，给出如下定义：

任取一个方向为 $x_1$ 轴，对任意的实数 $\lambda$ ，令

$T_{\lambda }=\left\{x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in R^n|x_1=\lambda \right\}$

这是需要移动的超平面，与 $x_1$ 轴垂直。

记平面左侧的区域为 ${\Sigma }_{\lambda }$ ，即

${\Sigma }_{\lambda }=\left\{x\in R^n|x_1<\lambda \right\}$

记

$x^{\lambda }=\left(2\lambda -x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$

为点 $x=\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\in {\Sigma }_{\lambda }$ 关于平面 $T_{\lambda }$ 的对称点，为方便比较解u在点x和 $x^{\lambda }$ 处的值，

设

$w_{\lambda }\left(x\right)=u\left(x^{\lambda }\right)-u\left(x\right)$

$u_{\lambda }\left(x\right)=u\left(x^{\lambda }\right)$

${\tilde{\Sigma }}_{\lambda }=\left\{x^{\lambda }|x\in {\Sigma }_{\lambda }\right\}$

若要证明u关于某个平面 $T_{{\lambda }_0}$ 对称，只需要证明存在某个 ${\lambda }_0$ ，使得

$w_{{\lambda }_0}\left(x\right)\equiv 0$ , $\forall x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}$

运用好移动平面法的关键是极值原理的应用，因此先引用几个极值原理。

引理1 [10] (反对称函数的极大值原理) 若 $\Omega$ 是 ${\Sigma }_{\lambda }$ 中的一个有界区域，函数 $w_{\lambda }\left(x\right)\in C_{loc}^{1,1}\left(\Omega \right)\cap L_{\alpha }$ 且在 $\bar{\Omega }$ 中下半连续。如果

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in \Omega \\ w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \Omega \\ w_{\lambda }\left(x\right)=-w_{\lambda }\left(x^{\lambda }\right),x\in {\Sigma }_{\lambda }\end{array}$ (7)

那么

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in \Omega$ (8)

更近一步地，若存在 $\Omega$ 中某一点x使得 $u\left(x\right)=0$ ，那么

$u\left(x\right)=0$ , a.e. $x\in R^n$

若再假设有 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{w}_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ ，那么在无界区域上，该引理也成立。

然而在有些情况下， $w_{\lambda }$ 可能不满足 ${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ ，但是可以证明 ${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+c\left(x\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ ，此时， $c\left(x\right)$ 是与u有关的某个函数，当 $c\left(x\right)$ 非负时，极大值原理显然成立。在移动平面的过程中，若 $c\left(x\right)$ 不是“太负”，会逐渐形成一个狭窄区域，极值原理也更容易成立。

引理2 [10] (狭窄区域的极值原理) 设 $\Omega$ 是 ${\Sigma }_{\lambda }$ 中的有界狭窄区域，且 $\Omega \subset \left\{x|\lambda -l<x_1<\lambda \right\}$ ，其中l是一足够小的实数。若 $w_{\lambda }\left(x\right)\in C_{loc}^{1,1}\left(\Omega \right)\cap L_{\alpha }$ 且 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 在区域 $\bar{\Omega }$ 中下半连续。如果 $c\left(x\right)$ 在 $\Omega$ 中下方有界，同时有

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+c\left(x\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in \Omega \\ w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \Omega \\ w_{\lambda }\left(x\right)=-w_{\lambda }\left(x^{\lambda }\right),x\in {\Sigma }_{\lambda }\end{array}$ (9)

那么，对于足够小的l，有

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ , $x\in \Omega$ (10)

更近一步地，若存在 $\Omega$ 中某一点x使得 $u\left(x\right)=0$ ，那么

$u\left(x\right)=0$ , a.e. $x\in R^n$

若再假设有 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{w}_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ ，那么在无界区域上，该引理也成立。

在无界域上时，需要从无穷远处向右移动平面，为确保解在无穷远处的行为是合理的，例如在许多物理问题中，如电磁波，量子力学中的波函数等，解在无穷远处应该趋于0，因此需要有无穷远处衰减条件，用于保证在无穷远处解不会无限增长，从而避免非物理解的出现。无穷远处衰减条件允许我们在无穷远处应用极值原理，从而建立狭窄区域上的极值原理，因此有如下引理：

引理3 [10] (无穷远处衰减) 设 ${\Sigma }_{\lambda }=\left\{x\in R^n|x_1<\lambda \right\}$ ， $\Omega$ 是 ${\Sigma }_{\lambda }$ 中的无界区域， $w_{\lambda }\left(x\right)\in C_{loc}^{1,1}\left(\Omega \right)\cap L_{\alpha }$ 是

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+c\left(x\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in \Omega \\ w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \Omega \\ w_{\lambda }\left(x\right)=-w_{\lambda }\left(x^{\lambda }\right),x\in {\Sigma }_{\lambda }\end{array}$ (11)

的解，若

$\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{\left|x\right|}^{\alpha }c\left(x\right)\ge 0$ (12)

那么，存在一个常数 $R_0>0$ (取决于 $c\left(x\right)$ ，但与 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 无关)，使得若

$w_{\lambda }\left(x^0\right)=\underset{\Omega }{\min }{w}_{\lambda }\left(x\right)<0$ (13)

那么

$\left|x^0\right|\le R_0$ (14)

3. 主要结论与证明

本节主要通过各种极值原理的运用，采用直接移动平面法对非线性拉普拉斯方程(6)的正解 $u\in C_{loc}^{1,1}\left(R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\right)\cap L_s\left(R^n\right)$ 的径向对称性进行研究，得出了以下结论：

3.1. 主要结论

定理1：设 $u\in C_{loc}^{1,1}\left(R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\right)\cap L_s\left(R^n\right)$ 是下列非线性方程

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}u\left(x\right)+u\left(x\right)={\left|x\right|}^p{u}^q\left(x\right),x\in R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\\ u\left(x\right)=\phi \left(x\right)\text{, }x\in \overline{{{\rm B}}_1}\\ u\left(x\right)>0,x\in R^n\end{array}$ (15)

的正解，其中 $0<\alpha <2$ ， $p<0$ ， $q<0$ ， $\overline{{{\rm B}}_1}:=\left\{x\in R^n|\left|x\right|\le 1\right\}$ ， $R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}:=\left\{x\in R^n|\left|x\right|>1\right\}$ 如果u在 $R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$

内有上界， $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }u\left(x\right)=a<{\left(\frac{1}{q}\right)}^{\frac{1}{q-1}}{\left|x\right|}^p$ ，且满足对任意 $x\in R^n\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ ， $y\in \overline{{{\rm B}}_1}$ ，有 $u\left(x\right)\le \phi \left(y\right)$ ，则关于任意分

量 $x_i$ ，正解u关于原点径向对称。

3.2. 主要结论的证明

本节主要通过极值原理的灵活运用，用移动平面法进行证明。首先任意选取一个方向作为 $x_1$ 轴方向，对于任意实数 $\lambda$ ：

令 $T_{\lambda }=\left\{x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in R^n|x_1=\lambda \right\}$ ，这是需要移动的超平面；

记平面左边的区域为 ${\Sigma }_{\lambda }$ ，即 ${\Sigma }_{\lambda }=\left\{x\in R^n|x_1<\lambda \right\}$ ；

记 $x^{\lambda }=\left(2\lambda -x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为点 $x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in {\Sigma }_{\lambda }$ 关于超平面 $T_{\lambda }$ 的对称点，然后比较解u在点x和 $x^{\lambda }$ 处的值。

令 $w_{\lambda }\left(x\right)=u_{\lambda }\left(x\right)-u\left(x\right)$ ， $u_{\lambda }\left(x\right)=u\left(x^{\lambda }\right)$ ， ${\Sigma }_{\lambda }^{-}=\left\{x|w_{\lambda }\left(x\right)<0\right\}$ ，此时，当 $w_{\lambda }\left(x\right)<0$ 时，由 $\left|x\right|>\left|x^{\lambda }\right|$ ，代入(15)有

$\begin{array}{c}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)={\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{u}_{\lambda }\left(x\right)-{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}u\left(x\right)\\ =\left({\left|x^{\lambda }\right|}^p{u}_{\lambda }^q\left(x\right)-u_{\lambda }\left(x\right)\right)-\left({\left|x\right|}^p{u}^q\left(x\right)-u\left(x\right)\right)\\ =\left({\left|x^{\lambda }\right|}^p{u}_{\lambda }^q\left(x\right)-{\left|x\right|}^p{u}^q\left(x\right)\right)-\left(u_{\lambda }\left(x\right)-u\left(x\right)\right)\\ \ge {\left|x\right|}^p\left(u_{\lambda }^q\left(x\right)-u^q\left(x\right)\right)-\left(u_{\lambda }\left(x\right)-u\left(x\right)\right)\\ ={\left|x\right|}^p\left(u_{\lambda }^q\left(x\right)-u^q\left(x\right)\right)-w_{\lambda }\left(x\right)\end{array}$

可以得到 ${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)\ge {\left|x\right|}^p\left(u_{\lambda }^q\left(x\right)-u^q\left(x\right)\right)-w_{\lambda }\left(x\right)$

即

${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+\left(1-q{\left|x\right|}^p{u}^{q-1}\left(x\right)\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in {\Sigma }_{\lambda }^{-}\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ (16)

再由中值定理可得

${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+c\left(x\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in {\Sigma }_{\lambda }^{-}\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$,

其中

$c\left(x\right)=1-q{\left|x\right|}^p{u}^{q-1}\left(x\right)$

第一步：利用引理3无穷远处衰减原理来证明，对于足够负的 $\lambda$ ，有

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ (17)

成立。

通常采用反证法，假设(17)不成立，那么可以推出存在 ${\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ 中某一点 $\hat{x}$ 使得 $w_{\lambda }\left(\hat{x}\right)<0$ 成立。

根据前面的假设条件 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }u\left(x\right)=a<{\left(\frac{1}{q}\right)}^{\frac{1}{q-1}}{\left|x\right|}^p$ ，可知对于固定的 $\lambda$ ，有

$\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{w}_{\lambda }\left(x\right)=0$

因此，若 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 在 ${\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ 区域内存在某点小于0，那么 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 的负极小值一定在 ${\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ 内取得。假设极小值点为 $x^0$ ，此时有

$w_{\lambda }\left(x^0\right)=\underset{\Omega }{\min }{w}_{\lambda }\left(x\right)<0$ (18)

成立。根据前面可知 $c\left(x\right)=1-q{\left|x\right|}^p{u}^{q-1}\left(x\right)$ 以及定理1中的条件 $p,q<0$ ，那么当 $\left|x\right|\to \infty$ 时，马上可以得到 $c\left(x\right)\ge 0$ ，因此引理3中的假设

$\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{\left|x\right|}^{\alpha }c\left(x\right)\ge 0$ (19)

成立，则有

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+c\left(x\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }^{-}\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\\ w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\\ w_{\lambda }\left(x\right)=-w_{\lambda }\left(x^{\lambda }\right),x\in {\Sigma }_{\lambda }\end{array}$ (20)

由上可知，结合(18)，(19)，(20)式，根据引理3，因此存在与 $\lambda$ 无关的 $R_0$ ，使得

$\left|x^0\right|\le R_0$ (21)

由此可见，对于 $\lambda <-R_0$ ，必须有 $w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ 成立，即(17)式成立，这就完成了第一步的证明。

第二步：当第一步成立时，移动平面的前提条件达成，现在向右缓慢移动平面 $T_{\lambda }$ ，只要 $w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0$ ， $x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{{{\rm B}}_1}$ 成立，就继续向右移动平面，直到移动到其极限位置 $T_{{\lambda }_0}$ ，定义 ${\lambda }_0=\sup \left\{\lambda |w_{\mu }\ge 0,\forall x\in {\Sigma }_{\mu },\mu \le \lambda \right\}$ 。

由式(21)可知 ${\lambda }_0<\infty$ ，只需要证明

$w_{{\lambda }_0}\left(x\right)\equiv 0,x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ (22)

此时有 ${\lambda }_0=0$ 成立。

采用矛盾法论证，假设在 ${\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ 中，有 $w_{{\lambda }_0}\left(x\right)\ge 0$ 且 $w_{{\lambda }_0}\cancel{\equiv }0$ ，则必有

$w_{{\lambda }_0}\left(x\right)>0,x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ (23)

事实上，如若(23)不成立，则存在点 $x^0\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ ，使得

$w_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)=\min w_{{\lambda }_0}=0$ (24)

根据 ${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)$ 的定义，有

$\begin{array}{c}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)=C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{R^n}{\int }\frac{w_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)-w_{{\lambda }_0}\left(y\right)}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\text{d}y}\\ =C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{R^n}{\int }\frac{-w_{{\lambda }_0}\left(y\right)}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\text{d}y}\\ =C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{R^n\backslash {\displaystyle \sum {}_{{\lambda }_0}}}{\int }\frac{-w_{{\lambda }_0}\left(y\right)}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\text{d}y}+C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{{\displaystyle \sum {}_{{\lambda }_0}}}{\int }\frac{-w_{{\lambda }_0}\left(y\right)}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\text{d}y}\\ =C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{{\displaystyle \sum {}_{{\lambda }_0}}}{\int }\frac{w_{{\lambda }_0}\left(y\right)}{{\left|x^0-y^{{\lambda }_0}\right|}^{n+\alpha }}\text{d}y}+C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{{\displaystyle \sum {}_{{\lambda }_0}}}{\int }\frac{-w_{{\lambda }_0}\left(y\right)}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\text{d}y}\\ =C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{{\displaystyle \sum {}_{{\lambda }_0}}}{\int }\left(\frac{1}{{\left|x^0-y^{{\lambda }_0}\right|}^{n+\alpha }}-\frac{1}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\right)}{w}_{{\lambda }_0}\left(y\right)dy\\ <0\end{array}$

这与(16)相矛盾，因此(23)成立。

然后需要证明平面 $T_{\lambda }$ 可以向右移动，由 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 关于 $\lambda$ 的连续性可得，存在 $\epsilon >0$ 和 $\epsilon <\delta$ ，使得对于任意的 $\lambda \in \left({\lambda }_0,{\lambda }_0+\epsilon \right)$ 都有

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0，x\in {\displaystyle \sum {{}_{\lambda }}_{{}_0}}\backslash {\bar{B}}_1$ (25)

这与 ${\lambda }_0$ 的定义产生矛盾，因此(22)必须成立，此时有 ${\lambda }_0=0$ 成立。

要想证明(25)式成立，需要借助引理2和引理3实现。

若(25)成立，则有

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left({\Sigma }_{\lambda }\backslash {\Sigma }_{{\lambda }_0-\delta }\right)\backslash {\bar{B}}_1$ (26)

当 ${\lambda }_0<0$ 时，必有

$w_{{\lambda }_0}\left(x\right)>0,\forall x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ (27)

若(27)不成立，那么必然存在 $x^0$ 使得

$w_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)=\underset{{\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1}{\min }{w}_{{\lambda }_0}\left(x\right)=0$

由 ${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)$ 的定义可得

${\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)=C_{n,\alpha }P.V.{\displaystyle \underset{{\Sigma }_{{\lambda }_0}}{\int }\left(\frac{1}{{\left|x^0-y^{{\lambda }_0}\right|}^{n+\alpha }}-\frac{1}{{\left|x^0-y\right|}^{n+\alpha }}\right)w_{{\lambda }_0}\left(y\right)\text{d}y}<0$ (28)

另一方面，由于 $w_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)=u_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)-u\left(x^0\right)=0$ ，有

$\begin{array}{c}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)={\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{u}_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)-{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}u\left(x^0\right)\\ =\left({\left|{\left(x^0\right)}^{{\lambda }_0}\right|}^p{u}_{{\lambda }_0}^q\left(x^0\right)-u_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)\right)-\left({\left|x^0\right|}^p{u}^q\left(x^0\right)-u\left(x^0\right)\right)\\ =\left({\left|{\left(x^0\right)}^{{\lambda }_0}\right|}^p{u}_{{\lambda }_0}^q\left(x^0\right)-{\left|x^0\right|}^p{u}^q\left(x^0\right)\right)-\left(u_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)-u\left(x^0\right)\right)\\ \ge {\left|x^0\right|}^p\left(u_{{\lambda }_0}^q\left(x^0\right)-u^q\left(x^0\right)\right)-\left(u_{{\lambda }_0}\left(x^0\right)-u\left(x^0\right)\right)\\ ={\left|x^0\right|}^p\left(u_{{\lambda }_0}^q\left(x^0\right)-u^q\left(x^0\right)\right)-0\\ \ge 0\end{array}$

这与(28)式矛盾，因此(27)式成立。

由(27)式可知，存在常数 $c_0>0$ 和 $\delta$ 使得

$w_{{\lambda }_0}\left(x\right)\ge c_0>0,x\in \overline{{\Sigma }_{{\lambda }_0-\delta }\cap \stackrel{¯}{B_1}}$ (29)

对于任意的 $x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{B_1}$ ， $y\in \overline{B_1}$ ，有 $u\left(x\right)<\phi \left(y\right)$ 成立。

在狭窄区域 $\left({\Sigma }_{\lambda }\backslash {\Sigma }_{{\lambda }_0-\delta }\right)\backslash {\bar{B}}_1$ 中，根据前面的假设，有 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }{w}_{\lambda }\left(x\right)=0$ ，且 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 在区域 $\overline{{\Sigma }_{{\lambda }_0-\delta }\cap \stackrel{¯}{B_1}}$ 中下半连续，由 $c\left(x\right)\ge 0$ 可知， $c\left(x\right)$ 是下有界的，另外有 $w_{\lambda }\left(x\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}{\left(-\Delta \right)}^{\frac{\alpha }{2}}{w}_{\lambda }\left(x\right)+c\left(x\right)w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in {\Sigma }_{\lambda }^{-}\backslash \overline{{{\rm B}}_1}\\ w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,x\in \left({\Sigma }_{\lambda }\backslash {\Sigma }_{{\lambda }_0-\delta }\right)\backslash {\bar{B}}_1\\ w_{\lambda }\left(x\right)=-w_{\lambda }\left(x^{\lambda }\right),x\in {\Sigma }_{\lambda }\end{array}$

根据引理2狭窄区域的极值原理可知，对于任意的 $\lambda \in \left({\lambda }_0,{\lambda }_0+\epsilon \right)$ ，有

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left({\Sigma }_{\lambda }\backslash {\Sigma }_{{\lambda }_0-\delta }\right)\backslash {\bar{B}}_1$

故(26)成立。

再结合 $c\left(x\right)=1-q{\left|x\right|}^p{u}^{q-1}\left(x\right)$ ，根据引理3无穷远处衰减，可得

$w_{\lambda }\left(x\right)\ge 0,\forall x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ (30)

即(25)式成立。这与 ${\lambda }_0$ 的定义相矛盾，即若仍满足(30)式，则平面 $T_{\lambda }$ 还可以向右移动一段距离，从而 ${\lambda }_0$ 不是平面可向右移动的极限位置，事实上， $T_{{\lambda }_0}$ 为平面可移动的极限位置，因此必有 ${\lambda }_0=0$ 。

同理，将平面 $T_{\lambda }$ 从 $+\infty$ 向左移动可得

$w_{\lambda }\left(x\right)\le 0,x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$ (31)

结合(25)式，(31)式可知

${\lambda }_0=0$ , $w_{{\lambda }_0}\left(x\right)\equiv 0$ , $x\in {\Sigma }_{{\lambda }_0}\backslash {\bar{B}}_1$

这就证明了 $u\left(x\right)$ 关于平面 $T_{{\lambda }_0}$ 对称，由于 $x_1$ 轴方向的任意性，则 $u\left(x\right)$ 是关于原点径向对称的。显然， $u\left(x\right)$ 在 ${\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{B_1}$ 中有上界，且满足对任意的 $x\in {\Sigma }_{\lambda }\backslash \overline{B_1}$ ， $y\in \overline{B_1}$ ，有 $u\left(x\right)<\phi \left(y\right)$ ，定理1证明完毕。

本文只讨论了 $p,q<0$ 时方程(6)的正解的对称性问题，对于 $p,q$ 取不同值时解的径向对称性没有作过多的讨论。例如，当 $p=q=0$ 时，此时方程的右端项变为常数，整个方程也相对简单，可以比较容易证得方程的正解也是关于原点径向对称的。但是当 $p<0,q>0$ ，或是 $p>0,q<0$ ，或是 $p,q>0$ 时，此时又变为一个新的问题，感兴趣的学者可以去深入探讨一下在该条件下正解的径向对称性问题。

基金项目

江西省自然科学基金项目(20212BAB201001)。

NOTES

^*通讯作者。

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