四元数矩阵方程 A X + X B + C Y = D 的三对角广义(反)对称解
Tridiagonal Generalized (Skew-) Symmetric Solution for the Quaternion Matrix Equation A X + X B + C Y = D
摘要: 文章对于给定的四元数矩阵 A , B , C D ,深入讨论了矩阵方程 A X + X B + C Y = D 的三对角广义(反)对称解。利用Kronecker积,矩阵拉直算子以及Moore-Penrose广义逆等理论,充分考虑三对角广义(反)对称矩阵的结构特点,讨论了四元数矩阵方程三对角广义(反)对称解的结果,给出方程有解的充分必要条件及解的表达式。
Abstract: This paper discusses in depth the tridiagonal generalized (skew-) symmetric solutions for the given quaternion matrices A , B , C , and D in the matrix equation A X + X B + C Y = D . By employing the theories of the Kronecker product, matrix vectorization, and the Moore-Penrose generalized inverse, the research thoroughly considers the structural characteristics of tridiagonal generalized (skew-) symmetric matrices. It discusses the outcomes of the quaternion matrix equation’s tridiagonal generalized (skew-) symmetric solutions, provides the necessary and sufficient conditions for the equation to have a solution, and presents the expressions for these solutions.
文章引用:王梓沣, 张澜. 四元数矩阵方程 A X + X B + C Y = D 的三对角广义(反)对称解[J]. 应用数学进展, 2025, 14(2): 251-262. https://doi.org/10.12677/aam.2025.142068

1. 引言

在多维空间的数学建模和工程应用中,四元数矩阵方程扮演着越来越重要的角色。四元数,作为一种强大的数学工具,因其在表示三维旋转方向上的简洁性和效率而被广泛采用。在计算机图形学中,四元数矩阵提供了一种自然的方式来处理三维空间中的旋转和方向,三对角广义(反)对称解的研究可以提高图形变换的准确性和效率。在物理模拟中,四元数矩阵可以用来模拟刚体的旋转和方向,三对角广义(反)对称解的研究可以提高这些模拟的精确度和可靠性。

近些年来,许多国内外学者都投入到四元数矩阵和四元数矩阵方程的研究中,Wolf [1]在实数范围上对实四元数矩阵的相似性进行了研究,Xie [2]对自伴四元数矩阵行列式的展开进行了研究,Liping等人在简单阿廷环上考虑四元数矩阵方程[3],Wang [4]研究了实四元数矩阵方程组的双对称和中心对称解[5]-[11],分别考虑了四元数矩阵(组)方程 ( A X B , C X D ) = ( E , F ) A X B = C A X B + C X D = E A X B + C Y D = E A X + X B = C A X A H + B Y B H = C 的解。文献[12]是对三对角矩阵的逆阵元素解析进行研究,加快了逆矩阵计算的速度。文献[13]研究了四元数矩阵的特征值以及特征向量的问题。文献[14] [15]研究了四元数矩阵方程的L-结构,对于四元数矩阵方程的其他代数性质也有研究[16]-[19]。尽管四元数矩阵方程的研究已经取得了一定的进展,但目前的研究还相对较少,需要进一步的探索和研究。在数值分析中,三对角广义(反)对称解可以用于求解线性方程组,特别是在处理大型稀疏矩阵时,这种解可以提高计算效率和精度。本文将深入分析三对角广义(反)对称解的结构特征,利用Kronecker积、矩阵拉直算子以及Moore-Penrose广义逆,证明了四元数矩阵方程 A X + X B + C Y = D 的三对角广义(反)对称解的存在性、唯一性的充要条件,并给出方程求解的有效算法。

四元数最早是由爱尔兰数学家William Rowan Hamilton在1843年发明的。四元数的表示集合如下

Q S = { q = q a + q b i + q c j + q d k ; q a , q b , q c , q d R } ,

其中 i 2 = j 2 = k 2 = 1 , i j = j i = k q 表示四元数q的共轭, q = q a q b i q c j q d k ,其满足 ( p q ) * = q * p * 。四元数的范数 q = | q q * | = | q a 2 + q b 2 + q c 2 + q d 2 | ,对于任意四元数矩阵 A = A 1 + A 2 j Q S m × n 的复表示矩阵如下:

F ( A ) = ( A 1 A 2 A 2 ¯ A 1 ¯ ) C 2 m × 2 n .

本文中由 R n , R m × n , C m × n , Q S m × n , R 3 n × n , Q 3 n × n , I n , 0 分别表示n维实向量组成的集合、 m × n 实矩阵组成的集合、 m × n 复矩阵组成的集合、 m × n 四元数矩阵组成的集合、n阶三对角实矩阵组成的集合、n阶三对角四元数矩阵组成的集合、n阶单位矩阵、相应类型零矩阵。对于 A C m × n , Re ( A ) , Im ( A ) , A ¯ , A T , A A + 分别表示矩阵A的实部、虚部、共轭、转置、共轭转置和广义逆。 表示矩阵的Kronecker积。

定义复矩阵的Frobenius范数,当 A C m × n 时,

A F = i = 1 m j = 1 n | a i j | 2 ,

定义四元数矩阵的Frobenius范数,当 A Q s m × n 时,

A F = F ( A ) F = 2 ( Re A 1 2 + Im A 1 2 + Re A 2 2 + Im A 2 2 ) .

定义1 A Q 3 n × n ,若 A = S n A S n ,其中 S n = ( e n , e n 1 , , e 2 , e 1 ) e i n阶单位矩阵的第i列,则A称为是一个三对角广义对称矩阵,分别用 W R 3 n × n W Q 3 n × n 表示实和四元数三对角广义对称矩阵集合,若 A = S n A S n ,那A称为是一个三对角广义反对称矩阵,分别用符号 A R 3 n × n A Q 3 n × n 表示实和四元数三对角广义反对称矩阵集合。

本文考虑以下问题:

问题1 A , B , C , D Q S n × n ,考虑方程

A X + X B + C Y = D , (1)

其中 X , Y W Q 3 n × n A Q 3 n × n 的解,令

H L = { [ X , Y ] | X , Y W Q 3 n × n A Q 3 n × n , A X + X B + C Y D F = min X 0 , Y 0 W Q 3 n × n A Q 3 n × n A X 0 + X 0 B + C Y 0 D F } ,

求矩阵 [ X W , Y A ] H L 使

[ X W , Y Y ] F 2 = min [ X , Y ] H L ( X F 2 + Y F 2 ) .

2. 预备知识

下面给出本文所需要的预备知识。首先利用三对角广义(反)对称矩阵的特殊结构,给出其拉直的简化表达式。

若矩阵 A W R 3 n × n ,当 n = 2 k 时,矩阵A满足

A = ( a 1 c 1 b 1 a 2 a 2 b k 2 a k 1 c k 1 b k 1 a k b k b k a k b k 1 c k 1 a k 1 b k 2 c 3 a 3 b 2 c 2 a 2 b 1 c 1 a 1 ) ,

n = 2 k + 1 时,矩阵A满足

A = ( a 1 c 1 b 1 a 2 c 2 b k 1 a k c k b k a k + 1 b k c k a k b k 1 c 2 a 2 b 1 c 1 a 1 ) .

A A R 3 n × n ,当 n = 2 k 时,矩阵A满足

A = ( a 1 c 1 b 1 a 2 a 2 b k 2 a k 1 c k 1 b k 1 a k b k b k a k b k 1 c k 1 a k 1 b k 2 c 3 a 3 b 2 c 2 a 2 b 1 c 1 a 1 ) ,

n = 2 k + 1 时,矩阵A满足

A = ( a 1 c 1 b 1 a 2 c 2 b k 1 a k c k b k a k + 1 b k c k a k b k 1 c 2 a 2 b 1 c 1 a 1 ) ,

其中 a k + 1 = 0 ,设 A W R 3 n × n A R 3 n × n ,当 n = 2 k 时,令 A 1 = ( 2 a 1 , 2 b 1 ) A 2 = ( 2 c 1 , 2 a 2 , 2 b 2 ) A k 1 = ( 2 c k 2 , 2 a k 1 , 2 b n 1 ) A k = ( 2 c k 1 , 2 a k , 2 b k ) 。记 vec 2 k ( A ) = ( A 1 , A 2 , , A k 1 , A k ) T 。则

vec ( A ) = K μ ( 2 k ) vec 2 k ( A ) ( μ = W , A ) , (2)

其中 K W ( 2 k ) , K A ( 2 k ) R 4 k 2 × ( 3 k 1 ) 为列正交矩阵,

K W ( 2 k ) = ( 1 2 e 1 1 2 e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 1 1 2 e 2 1 2 e 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 1 2 e 3 1 2 e 4 0 0 0 0 0 0 1 2 e k 1 1 2 e k 1 2 e k + 1 1 2 e k + 2 1 2 e k + 1 1 2 e k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 k 1 1 2 e 2 k 2 1 2 e 2 k 3 0 0 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 1 2 e 2 k 2 0 0 0 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , (3)

K A ( 2 k ) = ( 1 2 e 1 1 2 e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 1 1 2 e 2 1 2 e 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 1 2 e 3 1 2 e 4 0 0 0 0 0 0 1 2 e k 1 1 2 e k 1 2 e k + 1 1 2 e k + 2 1 2 e k + 1 1 2 e k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 k 1 1 2 e 2 k 2 1 2 e 2 k 3 0 0 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 1 2 e 2 k 2 0 0 0 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , (4)

其中 e i I 2 k 的第i列。

n = 2 k + 1 时,令 A 1 = ( 2 a 1 , 2 b 1 ) A 2 = ( 2 c 1 , 2 a 2 , 2 b 2 ) A k = ( 2 c k 1 , 2 a k , 2 b k ) A k + 1 = ( 2 c k , a k + 1 ) 。特别注意的是,当A为三对角广义反对称矩阵时, a k + 1 = 0 ,此时 A k + 1 = ( 2 c k , 0 ) 。记 vec 2 k + 1 ( A ) = ( A 1 , A 2 , , A n 1 , A n ) T R 3 k + 1

vec ( A ) = K μ ( 2 k + 1 ) vec 2 k + 1 ( A ) ( μ = W , A ) , (5)

其中 K W ( 2 k + 1 ) , K A ( 2 k + 1 ) R ( 2 k + 1 ) 2 × ( 3 k + 1 ) 为列正交矩阵

K W ( 2 k + 1 ) = ( 1 2 e 1 1 2 e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 1 1 2 e 2 1 2 e 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 1 2 e 3 1 2 e 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e k + 1 2 e k + 2 e k + 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 1 2 e 2 k 2 0 0 1 2 e 2 k + 1 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 0 0 0 0 0 1 2 e 2 k + 1 1 2 e 2 k 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , (6)

K A ( 2 k + 1 ) = ( 1 2 e 1 1 2 e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 1 1 2 e 2 1 2 e 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 1 2 e 3 1 2 e 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e k + 1 2 e k + 2 e k + 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 1 2 e 2 k 2 0 0 1 2 e 2 k + 1 1 2 e 2 k 1 2 e 2 k 1 0 0 0 0 0 1 2 e 2 k + 1 1 2 e 2 k 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , (7)

其中 e i I 2 k + 1 的第i列。

为了方便说明,统一记为

vec δ ( A ) = { vec 2 k ( A ) n = 2 k , vec 2 k + 1 ( A ) n = 2 k + 1 , K W = { K W ( 2 k ) n = 2 k , K W ( 2 k + 1 ) n = 2 k + 1 , K A = { K A ( 2 k ) n = 2 k , K A ( 2 k + 1 ) n = 2 k + 1.

引理1 [8]对于 A , B , C C n × n ,有 vec ( A B C ) = ( C T A ) vec ( B )

由于四元数不具有交换性,引理1在四元数上并不成立,下面给出引理1在四元数中的推广。设 A = A 1 + A 2 j Q s n × n ,令 Φ A = ( A 1 , A 2 ) A = ( Re ( A 1 ) , Im ( A 1 ) , Re ( A 2 ) , Im ( A 2 ) ) 。其拉直为

vec ( A ) = vec ( A 1 ) + vec ( A 2 ) j , vec ( Φ A ) = ( vec ( A 1 ) vec ( A 2 ) ) ,

vec ( A ) F = 2 vec ( Φ A ) F = 2 ( vec ( A 1 ) vec ( A 2 ) ) F .

引理2 [8] A = A 1 + A 2 j Q S n × n , B = B 1 + B 2 j Q S n × n , C = C 1 + C 2 j Q S n × n ,那么

vec ( Φ A B C ) = ( F ( C ) T A 1 , F ( C j ) A 2 ) [ vec ( Φ B ) vec ( Φ j B j ) ] .

下面给出四元数三对角广义(反)对称矩阵拉直的一个结果。首先分析其结构,对于 A = A 1 + A 2 j W Q 3 n × n S n A S n = A S n ( A 1 + A 2 j ) S n = A 1 + A 2 j ,可得 S n ( A i ) S n = A i i = 1 , 2 ,有 Re ( A i ) = S n ( Re ( A i ) ) S n Im ( A i ) = S n ( Im ( A i ) ) S n i = 1 , 2 ,即 A 1 , A 2 W R 3 n × n 。同理,当 A = A 1 + A 2 j A Q 3 n × n ,可得 A 1 , A 2 A R 3 n × n

X Q S m × n 时,记

vec δ ( X ) = ( vec δ ( Re ( X 1 ) ) vec δ ( Im ( X 1 ) ) vec δ ( Re ( X 2 ) ) vec δ ( Im ( X 2 ) ) )

引理3 X = X 1 + X 2 j W Q 3 n × n

( vec ( Φ X ) vec ( Φ j X j ) ) = ( vec ( X 1 ) vec ( X 2 ) vec ( X 1 ¯ ) vec ( X 2 ¯ ) ) = ( K W i K W 0 0 0 0 K W i K W K W i K W 0 0 0 0 K W i K W ) vec δ ( X ) .

X = X 1 + X 2 j A Q 3 n × n

( vec ( Φ X ) vec ( Φ j X j ) ) = ( vec ( X 1 ) vec ( X 2 ) vec ( X 1 ¯ ) vec ( X 2 ¯ ) ) = ( K A i K A 0 0 0 0 K A i K A K A i K A 0 0 0 0 K A i K A ) vec δ ( X ) .

证明 由式(2)和式(5)直接可得。

引理4 对于 X R n × m ,有 vec ( X T ) = L vec ( X ) ,其中矩阵 L R n m × n m 的形式如下

L = ( e 1 0 0 0 e 2 0 0 0 e n 1 0 0 0 e n 0 0 0 0 e 1 0 0 0 e 2 0 0 0 e n 1 0 0 0 e n 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 1 0 0 0 e 2 0 0 0 e n 1 0 0 0 e n 0 0 0 0 e 1 0 0 0 e 2 0 0 0 e n 1 0 0 0 e n ) .

其中 e i n阶单位矩阵的第i

证明 直接计算可得。

引理5 X Q S n × n ,则

( vec ( Φ X ) vec ( Φ j X j ) ) = ( G 1 0 0 G 2 ) ( vec ( Φ X ) vec ( Φ j X j ) ) ,

其中

G 1 = ( L 0 0 L ) ; G 2 = ( L 0 0 L )

证明 X Q S n × n X = X 1 + X 2 j X = ( Re ( X 1 ) , Im ( X 1 ) , Re ( X 2 ) , Im ( X 2 ) ) ,则

X = ( Re ( X 1 ) T , Im ( X 1 ) T , Re ( X 2 ) T , Im ( X 2 ) T ) ,

再由引理4可得结果。

引理6 [9]对于 A R n × n b R n ,矩阵方程 A x = b 有解 x R n 当且仅当 A A + b = b ,通解可表示为 x = A + b + ( I A + A ) y ,其中 y R n 是任意向量。此时其极小范数解是 x = A + b 。当 A A + b b ,矩阵方程 A x = b 的最小二乘解能表示为 x = A + b + ( I A + A ) y ,其中 y R n 是任意向量,此时其极小范数最小二乘解是 x = A + b

3. 主要结果

对于 A , B , C , D Q S n × n , A = A 1 + A 2 j , B = B 1 + B 2 j , C = C 1 + C 2 j , D = D 1 + D 2 j ,先讨论 X W Q 3 n × n , Y A Q 3 n × n 时方程的解,方程其他形式的解以推论形式给出。设

P = ( ( [ I n 0 0 I n ] A 1 , [ 0 I n I n 0 ] A 2 ) + ( ( B 1 B 2 B 2 ¯ B 1 ¯ ) T I n , 0 n × n ) ( G 1 0 0 G 2 ) ) ( K W i K W 0 0 0 0 K W i K W K W i K W 0 0 0 0 K W i K W ) . (8)

Q = ( [ I n 0 0 I n ] C 1 , [ 0 I n I n 0 ] C 2 ) ( K A i K A 0 0 0 0 K A i K A K A i K A 0 0 0 0 K A i K A ) . (9)

T 1 = [ Re P , Re Q ] , T 2 = [ Im P , Im Q ] , d = [ vec ( Re Φ D ) vec ( Im Φ D ) ] . (10)

定理1 A , B , C , D Q S n × n A = A 1 + A 2 j B = B 1 + B 2 j C = C 1 + C 2 j D = D 1 + D 2 j ,令 T 1 , T 2 , d 如式(10)定义,且 M = diag ( K W , K A ) ,则问题(1)有解 X W Q 3 n × n , Y A Q 3 n × n ,当且仅

[ T 1 T 2 ] [ T 1 T 2 ] + d = d ,

此时方程通解为

H L = { [ X , Y ] | [ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M ( [ T 1 T 2 ] + d + ( I [ T 1 T 2 ] + [ T 1 T 2 ] ) z ) } ,

其中 z { R 2 ( 3 k 1 ) n = 2 k R 2 ( 3 k + 1 ) n = 2 k + 1 是任意向量,且极小范数解为 [ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M [ T 1 T 2 ] + d 。如果 [ T 1 T 2 ] [ T 1 T 2 ] + d d ,则问题(1)有最小二乘解,此时

H L = { [ X , Y ] | [ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M ( [ T 1 T 2 ] + d + [ I [ T 1 T 2 ] + [ T 1 T 2 ] ] z ) } ,

且有极小范数最小二乘解 [ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M [ T 1 T 2 ] + d

证明 由引理2可得

A X + X B + C Y D F 2 = 2 Φ A X + Φ X B + Φ C Y Φ D F 2 = 2 vec ( Φ A X ) + vec ( Φ X B ) + vec ( Φ C Y ) vec ( Φ D ) F 2 = 2 P vec δ ( X ) + Q vec δ ( Y ) vec ( Φ D ) F 2 = 2 [ Re P Re Q Im P Im Q ] [ vec δ ( X ) vec δ ( Y ) ] [ vec ( Re Φ D ) vec ( Im Φ D ) ] F 2 = 2 [ T 1 T 2 ] [ vec δ ( X ) vec δ ( Y ) ] d F 2 .

考虑方程 [ T 1 T 2 ] t = d ,其中 t = [ vec δ ( X ) vec δ ( Y ) ] 。当满足

[ T 1 T 2 ] [ T 1 T 2 ] + d = d , (11)

由引理6得方程有解,解为

[ vec δ ( X ) vec δ ( Y ) ] = [ T 1 T 2 ] + d + ( I [ T 1 T 2 ] + [ T 1 T 2 ] ) z ,

其中 z { R 2 ( 3 k 1 ) n = 2 k R 2 ( 3 k + 1 ) n = 2 k + 1 是任意向量,进一步可得解集

H L = { [ X , Y ] | [ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M ( [ T 1 T 2 ] + d + [ I [ T 1 T 2 ] + [ T 1 T 2 ] ] z ) } .

相应的极小范数解满足

[ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M ( [ T 1 T 2 ] + d ) .

若不满足式(11),此时方程有最小二乘解为

[ vec W ( X ) vec A ( Y ) ] = [ T 1 T 2 ] + d + ( I [ T 1 T 2 ] + [ T 1 T 2 ] ) z ,

进一步可得解集

H L = { [ X , Y ] | [ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M ( [ T 1 T 2 ] + d + [ I [ T 1 T 2 ] + [ T 1 T 2 ] ] z ) } .

相应的最小范数最小二乘解满足

[ vec ( X ) vec ( Y ) ] = M ( [ T 1 T 2 ] + d ) .

推论1对于问题(1)的其他解,需根据解 X , Y 的范围,选取参数,

X W Q 3 n × n ,取

P = ( ( [ I n 0 0 I n ] A 1 , [ 0 I n I n 0 ] A 2 ) + ( ( B 1 B 2 B 2 ¯ B 1 ¯ ) T I n , 0 n × n ) ( G 1 0 0 G 2 ) ) ( K W i K W 0 0 0 0 K W i K W K W i K W 0 0 0 0 K W i K W ) .

X A Q 3 n × n ,取

P = ( ( [ I n 0 0 I n ] A 1 , [ 0 I n I n 0 ] A 2 ) + ( ( B 1 B 2 B 2 ¯ B 1 ¯ ) T I n , 0 n × n ) ( G 1 0 0 G 2 ) ) ( K A i K A 0 0 0 0 K A i K A K A i K A 0 0 0 0 K A i K A ) .

Y W Q 3 n × n ,取

Q = ( [ I n 0 0 I n ] C 1 , [ 0 I n I n 0 ] C 2 ) ( K W i K W 0 0 0 0 K W i K W K W i K W 0 0 0 0 K W i K W ) .

Y A Q 3 n × n ,取

Q = ( [ I n 0 0 I n ] C 1 , [ 0 I n I n 0 ] C 2 ) ( K A i K A 0 0 0 0 K A i K A K A i K A 0 0 0 0 K A i K A ) .

M = diag ( M 11 , M 22 ) . (12)

X W Q 3 n × n ,取 M 11 = ( K W i K W 0 0 0 0 K W i K W K W i K W 0 0 0 0 K W i K W ) ,当 X A Q 3 n × n ,取 M 11 = ( K A i K A 0 0 0 0 K A i K A K A i K A 0 0 0 0 K A i K A ) ,当 Y W Q 3 n × n ,取 M 22 = ( K W i K W 0 0 0 0 K W i K W K W i K W 0 0 0 0 K W i K W ) ,当 Y A Q 3 n × n ,取 M 22 = ( K A i K A 0 0 0 0 K A i K A K A i K A 0 0 0 0 K A i K A ) ,取 T 1 , T 2 , d 如式(10),与定理1的证明类似,可得方程(1)相应的 X , Y W Q 3 n × n A Q 3 n × n 解。

4. 算法

算法

Step 1:给出 A , B , C , D

Step 2:根据 X , Y 要求的范围,由式(3) (4)和式(6) (7)计算相应的 K W K A

Step 3:根据 X , Y 要求的范围,由推论1中的式(8) (9)得出相应的 P , Q

Step 4:根据式(10)得出 T 1 , T 2 , d

Step 5:根据 X , Y 要求的范围,由式(12)得出对应的M

Step 6:检验 [ T 1 T 2 ] [ T 1 T 2 ] + d = d 是否成立;

Step 7:根据定理1及推论得出相应的解。

例:

A = [ 1 + 2 i 2 + j 3 + k 0 i + 3 j 2 j 3 i 2 + i 1 k ] , B = [ 1 j + k 3 2 i 2 + k j 2 i + k 0 2 k 2 i ]

C = [ 3 i 2 i 3 i + k k 4 2 + i j 2 i + 3 k 2 i + k ] , D = [ j k i j 2 j 2 i + 3 k i k 2 + k 3 0 3 + 2 j ]

对于 X W Q 3 n × n , Y A Q 3 n × n ,考虑解的情况按照算法步骤计算可得如下情况:

数值实验表明,以误差为1013量级,式(11)成立,为了方便计算,取z为相应类型零向量,可以得到相应的一组解 [ X , Y ] ,其中

X = ( 0.031 + 0.160 i 0.251 j 0.537 k 0.181 + 0.081 i + 0.772 j + 0.459 k 0 0.194 + 0.768 i + 0.608 j + 0.317 k 0.270 0.782 i + 0.643 j + 1.839 k 0.194 + 0.768 i + 0.608 j + 0.317 k 0 0.181 + 0.081 i + 0.772 j + 0.459 k 0.031 + 0.160 i 0.251 j 0.537 k )

Y = ( 0.190 + 0.151 i 0.536 j + 0.343 k 0.005 + 0.402 i + 0.046 j + 0.178 k 0 0.946 0.861 i 0.180 j 0.042 k 0 0.946 + 0.861 i + 0.180 j + 0.042 k 0 0.005 0.402 i 0.046 j 0.178 k 0.190 0.151 i + 0.536 j 0.343 k )

基金项目

国家自然科学基金(12261065)和内蒙古自治区自然科学基金项目(2023LHMS01016)。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

[1] Wolf, L.A. (1936) Similarity of Matrices in Which the Elements Are Real Quaternions. Bulletin of the American Mathematical Society, 42, 737-743. https://doi.org/10.1090/s0002-9904-1936-06417-7
[2] Xie, B.J. (1980) An Expansion Theorem for Determinants of Self-Adjoint Quaternion Matrices and Its Applications. Acta Mathematica Sinica, 23, 668-683.
[3] Liping, H. and Qingguang, Z. (1995) The Matrix Equation over a Simple Artinian Ring. Linear and Multilinear Algebra, 38, 225-232. https://doi.org/10.1080/03081089508818358
[4] Wang, Q. (2005) Bisymmetric and Centrosymmetric Solutions to Systems of Real Quaternion Matrix Equations. Computers & Mathematics with Applications, 49, 641-650. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2005.01.014
[5] Yuan, S., Liao, A. and Lei, Y. (2008) Least Squares Hermitian Solution of the Matrix Equation with the Least Norm over the Skew Field of Quaternions. Mathematical and Computer Modelling, 48, 91-100. https://doi.org/10.1016/j.mcm.2007.08.009
[6] Karimi, S. (2015) The Right-Left Preconditioning Technique for the Solution of the Large Matrix Equation . International Journal of Computer Mathematics, 93, 1226-1239. https://doi.org/10.1080/00207160.2015.1045420
[7] Zhang, F.X., Mu, W.S., Li, Y. and Zhao, J.L. (2016) Special Least Squares Solutions of the Quaternion Matrix Equation . Computers & Mathematics with Applications, 72, 1426-1435. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2016.07.019
[8] Yuan, S.-F., Wang, Q.-W., Yu, Y.-B. and Tian, Y. (2017) On Hermitian Solutions of the Split Quaternion Matrix Equation . Advances in Applied Clifford Algebras, 27, 3235-3252. https://doi.org/10.1007/s00006-017-0806-y
[9] Yuan, S., Wang, Q. and Zhang, X. (2013) Least-Squares Problem for the Quaternion Matrix Equation over Different Constrained Matrices. International Journal of Computer Mathematics, 90, 565-576. https://doi.org/10.1080/00207160.2012.722626
[10] 李明照, 袁仕芳, 田勇. 分裂四元数矩阵方程的反Hermite解[J]. 井冈山大学学报(自然科学版), 2018, 39(5): 13-16.
[11] 李明照, 袁仕芳, 田勇. 分裂四元数矩阵方程的反Hermite解[J]. 五邑大学学报(自然科学版), 2019, 33(1): 6-11.
[12] 毕永青. 三对角对称Toeplitz矩阵的解析逆阵[J]. 西南民族大学学报(自然科学版), 2003, 29(4): 390-393.
[13] Özdemir, M., Erdoğdu, M. and Şimşek, H. (2013) On the Eigenvalues and Eigenvectors of a Lorentzian Rotation Matrix by Using Split Quaternions. Advances in Applied Clifford Algebras, 24, 179-192. https://doi.org/10.1007/s00006-013-0424-2
[14] Yuan, S. and Wang, Q. (2015) L-Structured Quaternion Matrices and Quaternion Linear Matrix Equations. Linear and Multilinear Algebra, 64, 321-339. https://doi.org/10.1080/03081087.2015.1037302
[15] Wei, A., Li, Y., Ding, W. and Zhao, J. (2022) Two Algebraic Methods for Least Squares L-Structured and Generalized L-Structured Problems of the Commutative Quaternion Stein Matrix Equation. Computational and Applied Mathematics, 41, Article No. 251. https://doi.org/10.1007/s40314-022-01943-x
[16] He, Z. (2019) Some New Results on a System of Sylvester-Type Quaternion Matrix Equations. Linear and Multilinear Algebra, 69, 3069-3091. https://doi.org/10.1080/03081087.2019.1704213
[17] Kyrchei, I.I. (2010) Cramer’s Rule for Some Quaternion Matrix Equations. Applied Mathematics and Computation, 217, 2024-2030. https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.07.003
[18] 王茂香, 姜同松, 张兆忠. 分裂四元数线性方程组的Cramer法则[J]. 泰山学院学报, 2016, 38(6): 37-41.
[19] Zhang, Z., Jiang, Z. and Jiang, T. (2015) Algebraic Methods for Least Squares Problem in Split Quaternionic Mechanics. Applied Mathematics and Computation, 269, 618-625. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.07.072

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