1. 引言

机器人控制技术在工业自动化、医疗诊断、精密制造等领域扮演着关键角色，特别是在机械臂的轨迹跟踪控制中，其精度和鲁棒性直接决定了系统的整体性能。然而，随着工作环境的复杂性增加和任务需求的多样化，传统的控制方法面临着显著挑战。尽管PID控制等方法已被广泛应用，它们在处理高非线性和高耦合的机械臂系统模型时常常表现出局限性[1]。模型预测控制(Model Predictive Control, MPC)因其在处理多变量约束和优化性能方面的优势，近年来受到广泛关注。

在2022年，Jingkun Yan等人提出了一种基于滚动地平线控制(Receding Horizon Control, RHC)的冗余度机器人轨迹跟踪规划方案。他们通过对机械手非线性模型的线性化，构造了一个最小化跟踪误差、速度范数和加速度范数的凸二次规划问题，并利用递归神经网络模型来求解该RHC方案[2]。紧接着，2023年，Tianqi Zhu等人研究了一种基于运动学的MPC方法，生成了平滑的轨迹并通过低层MPC进行轨迹跟踪和安全保护，同时采用超扭曲观测器来提高动态障碍物运动的估计精度，以实现动态避障的安全和平稳[3]。然而，这些研究基于运动学的模型简化了系统的复杂性，可能导致对动态系统的不充分逼近，这限制了其在处理复杂实时动态场景中的应用。为此，Qirong Tang等人提出了一种基于机械臂动力学模型的MPC方案，专注于解决轨迹跟踪中的输入约束问题。尽管其方法考虑了机械臂的动力学特性，但在MPC中复杂的参数调节问题仍未得到有效解决[4]。

传统的MPC方法在实际应用中往往难以实现对系统参数的在线调整，尤其是在高动态环境下，固定参数的MPC难以适应环境的变化。因此，发展一种能够自适应调整参数的MPC方法具有重要的研究意义。为了解决这一问题，粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)作为一种强有力的数值优化工具，被广泛应用于动态优化控制领域[5]。PSO因其简单性和高效性受到青睐，但其在实践中也存在一些显著缺陷。例如，PSO容易陷入局部极小点，且优化过程可能耗时较长[6]，这在实时控制MPC中尤为突出。因此，必须探索改进的PSO算法或其他更快速高效的优化方法，以满足实时控制的需求。

本文提出了一种基于自适应权重的MPC控制策略，通过离散化动力学方程构建了一个二次规划问题，将关节扭矩作为控制量，关节角作为状态量，并通过改进的PSO算法对控制器进行在线参数调整。实验结果表明，该方法在提升控制精度和系统鲁棒性方面表现出显著优势。

本文结构安排如下：第二部分介绍系统模型及其离散化处理，第三部分讨论控制器设计原理，第四部分进行仿真实验验证，第五部分总结。

2. 系统模型

2.1. 机械臂动力学模型描述

机械臂动力学方程描述了机械臂在关节空间中的动力学行为，它反映了关节扭矩与关节位置、速度和加速度之间的关系[7]。基于二阶欧拉–拉格朗日方法，机械臂在连续时间动力学方程可以表示为：

$M\left(\theta \right)\ddot{\theta }\left(t\right)+C\left(\theta ,\stackrel{\dot{}}{\theta }\right)\stackrel{\dot{}}{\theta }\left(t\right)+G\left(\theta \right)=\tau \left(t\right)$ (1)

其中 $\theta ,\stackrel{\dot{}}{\theta },\ddot{\theta }$ 分别代表机械臂n维关节加速度、速度以及位置向量。 $M\left(\theta \right),C\left(\theta ,\stackrel{\dot{}}{\theta }\right),G\left(\theta \right)$ 分别表示惯性矩阵维科里奥利和离心力矩阵与重力向量，三个矩阵会随着关节角的变化而随时间更新。 $\tau$ 代表机械臂n维关节力矩向量，表示施加在关节处的驱动力矩。

2.2. 状态空间方程

控制器设计需要系统动态的精确数学描述，即系统的状态空间方程。对于n自由度机械臂，定义系统状态量为 $x\left(t\right)={\left[x_1\left(t\right),x_2\left(t\right)\right]}^{\text{T}}={\left[q\left(t\right),\stackrel{\dot{}}{q}\left(t\right)\right]}^{\text{T}}\in {ℝ}^{2n}$，控制量为 $u\left(t\right)=\tau \left(t\right)\in {ℝ}^n$ 。将动力学系统重新排列并带入到状态量的导数中可以得到：

$\stackrel{\dot{}}{x}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\dot{}}{x}}_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\dot{}}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\dot{}}{x}}_1\left(t\right)\\ M^{-1}\left(x_1\right)\left(u\left(t\right)-\left(C\left(x_1,x_2\right){\stackrel{\dot{}}{x}}_1\left(t\right)+G\left(x_1\right)\right)\right)\end{array}\right]$ (2)

基于上述推导可将系统的状态空间方程组写为：

$\{\begin{array}{l}{x}_2={\stackrel{\dot{}}{x}}_1\hfill \\ {\stackrel{\dot{}}{x}}_2=m\left(x_1\right)u\left(t\right)+n\left(x_1,x_2\right)\hfill \\ y=x_1=Dx\hfill \end{array}$ (3)

其中记 $D=\left[\begin{array}{cc}{I}_{(n)}& O_{(n\times n)}\end{array}\right]$ ，矩阵 $I_{(n)}$ 为n阶单位矩阵，矩阵 $O_{(n\times n)}$ 为全零矩阵。记 $m\left(x_1\right)=M^{-1}\left(\theta \right)$ ， $n\left(x_1,x_2\right)=-M^{-1}\left(\theta \right)\left(C\left(\theta ,\stackrel{\dot{}}{\theta }\right)x_2+G\left(\theta \right)\right)$ 。

2.3. 模型离散化

在实时控制系统中，采用固定的时间步长进行控制对于保证系统的稳定性和性能至关重要。采用泰勒展开法将系统状态量展开到方程所包含的最高阶项[8]，即关节角加速度项：

$x\left(t+T\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t+T\right)\\ x_2\left(t+T\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)+T{\stackrel{\dot{}}{x}}_1\left(t\right)+\frac{T^2}{2}{\ddot{x}}_1\left(t\right)\\ x_2\left(t\right)+T{\stackrel{\dot{}}{x}}_2\left(t\right)\end{array}\right]$ (4)

将公式(3)带入公式(4)，将 $x\left(t+\left(k+1\right)T\right)$ 记作 $x\left(k+1\right)$ ，化简即可得到系统离散状态方程：

$\{\begin{array}{l}x\left(k+1\right)=Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)+C\hfill \\ y=x_1\left(k\right)=Dx\left(k\right)\hfill \end{array}$ (5)

其中

$\begin{array}{ccc}A=\left[\begin{array}{cc}{I}_n& T{I}_n\\ O_{(n\times n)}& I_n\end{array}\right]& B=\left[\begin{array}{c}\frac{T^2}{2}m\left(x_1\right)\\ Tm\left(x_1\right)\end{array}\right]& C=\left[\begin{array}{c}\frac{T^2}{2}n\left(x_1,x_2\right)\\ Tn\left(x_1,x_2\right)\end{array}\right]\end{array}$

在MPC中， $N_p$ 代表预测区间。MPC的核心思想是求解一个有约束的二次规划问题[9]，来寻找使得设计目标函数最小化的最优控制输入。这个目标函数通常包括偏差、控制量变化等方面的约束，从而在未来的多个时间步长内保持系统性能的最优。此外，为了加速优化进程提高算法效率，定义控制范围 $N_c\left(N_c\le N_p\right)$ 为控制区间，在该范围内计算用于优化的控制输入。记 $x\left(k+i|k\right)$ 为当前 $k$ 时刻对 $k+i$ 时刻的状态量预测，基于公式(5)，将其迭代写为多步预测的形式。

$\begin{array}{c}y\left(k+1|k\right)=Dx\left(k+1|k\right)=D\left(Ax\left(k\right)+Bu\left(k\right)+C\right)\\ y\left(k+2|k\right)=D{A}^{2}x\left(k|k\right)+DABu\left(k+1|k\right)+DAC+DBu\left(k\right)+DC\\ \dots \\ y\left(k+N_p|k\right)=D{A}^{N_p}x\left(k|k\right)+D{A}^{N_p-1}Bu\left(k|k\right)+D{A}^{N_p-1}C+\cdots \\ +DABu\left(k+N_p-2|k\right)+DAC+DBu\left(k+N_p-1|k\right)+DC\end{array}$ (6)

基于公式(6)，将多步预测方程整理为：

$\{\begin{array}{l}{Y}_{pre}\left(k\right)=Ex\left(k\right)+FU\left(k\right)+G\hfill \\ U\left(k\right)=U_{old}+H\Delta U\left(k\right)\hfill \end{array}$ (7)

其中

$\begin{array}{ll}{Y}_{pre}=\left[\begin{array}{c}y\left(k+1\right)\\ y\left(k+2\right)\\ ⋮\\ y\left(k+N_c\right)\\ ⋮\\ y\left(k+N_p\right)\end{array}\right]\hfill & G=\left[\begin{array}{c}DC\\ D\left(AC+C\right)\\ ⋮\\ D\left(A^{N_c-1}C+A^{N_c-2}C+\cdots AC+C\right)\\ ⋮\\ D\left(A^{N_p-1}C+A^{N_p-2}C+\cdots AC+C\right)\end{array}\right]\hfill \\ E=\left[\begin{array}{c}DA\\ D{A}^2\\ ⋮\\ D{A}^{N_c}\\ ⋮\\ D{A}^{N_p}\end{array}\right]\hfill & F=\left[\begin{array}{ccccc}DB& 0& 0& \cdots & 0\\ DAB& DB& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ D{A}^{N_c-1}B& D{A}^{N_c-2}B& D{A}^{N_c-3}B& \cdots & D{A}^{N_c-N_c}B\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ D{A}^{N_p-1}B& D{A}^{N_p-2}B& D{A}^{N_p-3}B& \cdots & D{A}^{N_p-N_c}B\end{array}\right]\hfill \\ H={\left[\begin{array}{ccc}{I}_n& \cdots & O_{n\times n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ I_n& \cdots & I_n\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ I_n& \cdots & I_n\end{array}\right]}_{N_p\times N_c}\hfill & \Delta U\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}u\left(k\right)\\ u\left(k+1\right)\\ u\left(k+2\right)\\ ⋮\\ u\left(k+N_c-1\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}{u}_{old}\\ u_{old}\\ u_{old}\\ ⋮\\ u_{old}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\Delta u\left(k\right)\\ \Delta u\left(k+1\right)\\ \Delta u\left(k+2\right)\\ ⋮\\ \Delta u\left(k+N_c-1\right)\end{array}\right]\hfill \end{array}$

3. 自适应MPC控制器设计

3.1. 基本MPC控制器设计

基于MPC的轨迹跟踪控制器主要目的是在一定约束条件下优化控制量增量，以减小误差并达到更好的跟踪效果[10]。其中，约束条件分为硬约束和软约束，硬约束为机械臂自身的关节限位，软约束设定为机械臂的关节扭矩需要在合理范围内。基于以上，如公式所示，MPC中的代价函数可以设为，在满足硬约束条件的前提下，最小化跟踪误差与控制量增量之和，同时将软约束作为代价函数中的惩罚项，以确保关节扭矩在合理范围内。

$\begin{array}{c}\underset{\Delta U(k)}{\min }J\left(x\left(k\right),\Delta U\left(k\right)\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N_p-1}{\sum }}{\Vert y_{pre}\left(k\right)-y_{ref}\left(k\right)\Vert }_Q^2+{\displaystyle \underset{\text{k}=0}{\overset{N_c-1}{\sum }}{\Vert \Delta u\left(k\right)\Vert }_R^2}}\\ \begin{array}{cc}s.t.& u_{\min }\left(k+i\right)\le u\left(k+i\right)\le u_{\max }\left(k+i\right)\end{array}\\ \begin{array}{cc}& \Delta u_{\min }\left(k+i\right)\le \Delta u\left(k+i\right)\le \Delta u_{\max }\left(k+i\right)\end{array}\\ \begin{array}{cc}& i=0,1,\cdots ,N_c-1\end{array}\end{array}$ (8)

其中， $Y_{pre}\left(k\right)$ 为 $k$ 时刻系统的多步预测输出， $Y_{ref}\left(k\right)$ 为跟踪任务中下发的参考轨迹。 $Q$ 、 $R$ 分别表示误差与控制权重系数矩阵。

在有约束的情况下，通常无法直接推导出解析的控制律，因此需要在线求解最优控制问题来获得数值解。线性模型的MPC优化问题可以转化为二次规划问题。这里先将误差项定义为：

$L=Y_{ref}-Ex\left(k\right)-F{U}_{old}-G$ (9)

将公式(9)带入公式(8)可得：

$\begin{array}{c}\underset{\Delta U(k)}{\min }J\left(x\left(k\right),\Delta U\left(k\right)\right)={\Vert F\left(U\left(k\right)-U_{old}\right)-L\Vert }_{\bar{Q}}^2+{\Vert \Delta U\left(k\right)\Vert }_{\bar{R}}^2\\ ={\Vert FH\Delta U\left(k\right)-L\Vert }_{\bar{Q}}^2+{\Vert \Delta U\left(k\right)\Vert }_{\bar{R}}^2\\ =\Delta U^{\text{T}}\left(k\right)H^{\text{T}}{F}^{\text{T}}{\bar{Q}}^{\text{T}}\bar{Q}FH\Delta U\left(k\right)+L^{\text{T}}{\bar{Q}}^{\text{T}}\bar{Q}L\\ -2L^{\text{T}}{\bar{Q}}^{\text{T}}\bar{Q}FH\Delta U\left(k\right)+\Delta U^{\text{T}}\left(k\right){\bar{R}}^{\text{T}}\bar{R}\Delta U\left(k\right)\end{array}$ (10)

其中 $\bar{Q}=diag\left\{Q,Q,\cdots ,Q\right\}$ ， $\bar{R}=diag\left\{R,R,\cdots ,R\right\}$ 。无关项 $L^{\text{T}}{\bar{Q}}^{\text{T}}\bar{Q}L$不是关于 $\Delta U$ 的相关量，对优化结果不会产生影响，目标函数可进一步简化为：

$\underset{\Delta U(k)}{\min }J\left(\Delta U\left(k\right)\right)=\Delta U^{\text{T}}\left(k\right)\phi \Delta U\left(k\right)+\gamma \Delta U\left(k\right)$ (11)

其中 $\phi =H^{\text{T}}{F}^{\text{T}}{\bar{Q}}^{\text{T}}\bar{Q}FH+{\bar{R}}^{\text{T}}\bar{R}$， $\gamma =-2L^{\text{T}}{\bar{Q}}^{\text{T}}\bar{Q}FH$，公式(11)为标准二次型形式。公式(8)中的约束可以写为以下形式：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{I}_n& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ I_n& \cdots & I_n\\ -I_n& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & -I_n\end{array}\right]\Delta U\left(k\right)\le \left[\begin{array}{c}\Delta u_{\max }\left(k\right)\\ ⋮\\ \Delta u_{\max }\left(k+N_c-1\right)\\ -\Delta u_{\min }\left(k\right)\\ ⋮\\ -\Delta u_{\min }\left(k+N_c-1\right)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc}{I}_n& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ I_n& \cdots & I_n\\ -I_n& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ -I_n& \cdots & -I_n\end{array}\right]\Delta U\left(k\right)\le \left[\begin{array}{c}{u}_{\max }\left(k\right)-u_{old}\\ ⋮\\ u_{\max }\left(k+N_c-1\right)-u_{old}\\ u_{old}-u_{\min }\left(k\right)\\ ⋮\\ u_{old}-u_{\min }\left(k+N_c-1\right)\end{array}\right]\end{array}$ (12)

截至目前，本文已建立了基于控制量及其增量约束(12)的轨迹跟踪问题目标函数(11)。控制器在优化过程中，通过实时在线求解目标函数，可获得机械臂关节扭矩的控制增量，确保高精度的轨迹跟踪和良好的鲁棒性。

3.2. 基于PSO的自适应MPC控制器设计

由于机械臂系统具有非线性和时变等特性，固定的MPC参数可能无法在所有情况下提供最佳控制。此外，外部干扰和系统内部的不确定性也可能影响控制效果。为应对这些挑战，本研究提出了一种通过动态调节关键参数来优化控制性能的方法。具体来说，研究通过实时监测系统性能指标，选取轨迹跟踪误差的均方误差作为主要指标，并采用粒子群优化算法(PSO)对MPC的权重系数进行动态调整。

Figure 1. Flowchart of adaptive MPC controller algorithm based on PSO

图1. 基于PSO的自适应MPC控制器算法流程图

图1展示了基于PSO的自适应MPC轨迹跟踪控制器算法流程。流程图描述了如何通过PSO算法实时调整MPC的权重系数，以最小化轨迹误差，并在面对不确定因素时实现快速响应。PSO算法通过模拟粒子群在解空间中的搜索行为，迭代更新每个粒子的速度和位置，找到使轨迹误差最小的最优权重组合。这种动态调整策略能够有效应对机械臂的非线性和时变特性，提高控制系统的鲁棒性和响应性能。算法具体步骤如下：

(1) 定义适应度函数

在PSO-MPC控制器中，采用机械臂关节角与参考轨迹的角度之间的均方误差作为适应度函数，用于评估权重系数对状态量的影响。均方误差即适应度函数定义为：

$\underset{(q,t)}{\min }J=\frac{1}{N}{\displaystyle \underset{t=1}{\overset{N}{\sum }}{\Vert q\left(t\right)-q_{ref}\left(t\right)\Vert }^2}$ (13)

(2) 初始化种群

在粒子群优化(PSO)算法中，初始化粒子群是至关重要的第一步。粒子群由多个粒子组成，每个粒子对应一个潜在解。初始化阶段，每个粒子的初始位置和速度通常在定义的搜索空间内随机生成，并且会选择一个较小的速度以防运动过快错失最优解。这里粒子的位置表示MPC参数中的权重系数Q和R。

(3) 更新粒子群位置及速度信息

对于每个粒子，采用以下公式进行位置及速度的更新：

$\{\begin{array}{l}{v}_i^{k+1}=\omega v_i^k+c_1{r}_1\left(p_i^{best}-x_i^k\right)+c_2{r}_2\left(g^{best}-x_i^k\right)\\ x_i^{k+1}=x_i^k+v_i^{k+1}\end{array}$ (14)

其中 $v$ 表示粒子的速度， $x$ 表示粒子的位置， $p_i^{\text{best}}$ 是粒子先前最优解， $g_{}^{\text{best}}$ 表示全局最优解，随机数 $r_1,r_2$ ，加速度系数 $c_1,c_2$ 。权重系数 $\omega$ 在一定程度上决定了运动趋势以及整体收敛速度，后续会对权重系数进行改进优化。

(4) 更新个体及全局最佳位置信息

根据公式(14)，会不断计算出粒子的适应度值，通过比较当前适应度与历史、全局最优解，更新历史以及全局最优解，公式如下：

$\{\begin{array}{c}{p}_i^{\text{best}}=\arg \min \left(\xi \left(x_i\right)\right)\\ g^{\text{best}}=\arg \min \left(\xi \left(x_i\right)\right)\end{array}$ (15)

(5) 迭代确定最佳适应度的解

如果达到最大迭代次数或全局最优位置的适应度值满足预定的精度要求，停止算法；否则返回步骤(3)，继续迭代。最终的全局最优位置 $g_{}^{\text{best}}$ 即为问题的最优解或最优近似解。

3.3. 惯性权重下降的改进PSO算法

传统PSO算法在搜索过程中，惯性权重的固定设置可能导致搜索效率和精度的平衡不佳。为进一步提升PSO算法在自适应MPC中的性能，基于等人的惯性下降策略研究，本研究引入了动态惯性权重调节机制。动态惯性权重的引入旨在通过调整惯性权重值，改进搜索过程的自适应性和鲁棒性，从而提升MPC的控制效果。线性动态惯性权重根据以下公式更新：

$\omega \left(t\right)={\omega }_{\max }-\frac{\left({\omega }_{\max }-{\omega }_{\min }\right)\times iter}{ite{r}_{\max }}$ (16)

具体来说，惯性权重 $\omega$ 的动态调节机制可以描述为：在算法初始阶段，设置较大的惯性权重，以增强全局搜索能力，使粒子能够快速遍历整个解空间，进行广泛的探索；随着迭代次数的增加，逐渐减小惯性权重，以增强局部搜索能力，使粒子在接近最优解时能够进行精细搜索。这种动态调整机制可以显著提高算法的效率和精度，避免陷入局部最优解。

4. 实验验证

4.1. 仿真环境

本节通过仿真实验来验证前文提出算法的有效性，采用实验室搭建的开源仿真平台robopal验证提出算法有效性[11]，平台如图2所示。

Figure 2. Robopal, a simulation platform built based on MuJoCo

图2. 基于MuJoCo搭建的仿真平台robopal

robopal中主要包括基于kdl机器人运动学库与Pinocchio机器人动力学库机械臂的机械臂正逆运动学与动力学求解、机械臂关节状态量获取以及具备多种基础控制方案，包括关节空间内的位置控制、速度控制和扭矩控制等。这里选择选用思灵Diana7_med七自由度机械臂进行实验验证。

4.2. 参数设置

Table 1. Basic MPC parameters and initial values

表1. 基本MPC参数项以及初始值

为了验证本文提出的基于改进粒子群优化算法(IPSO)的自适应MPC控制器的性能，设置了三个实验对照组，分别为原版MPC、PSO-MPC和IPSO-MPC。原版MPC中，权重系数Q和R的值为固定预设值，预设值通过实验前对比优化验证得到，原版MPC中参数设置如上表1所示。

基于粒子群优化的PSO-MPC与IPSO-MPC参数初始化设定如表2所示。

Table 2. PSO parameters and initial values

表2. 粒子群参数项以及初始值

实验中，机械臂的初始关节状态为 $q_{start}={\left[0,-0.641,0,1.385,0,-1.116,0\right]}^{\text{T}}$ 。实验过程中将参考轨迹直接由关节角增量给出，每步的各关节增量为 $\Delta q_i=0.001,i=\left(1,2,\cdots ,7\right)$ 。各关节的初始速度默认设置为 $0\text{ m/s}$ 。公式(12)中，关节扭矩的最大限度被设为 $20\text{ N}\cdot \text{m}$ ，MPC每步计算出的扭矩增量被限制为 $5\text{ N}\cdot \text{m}$ 。

4.3. 实验结果与分析

本实验简化了参考轨迹进行逆运动学转化的步骤，直接对关节进行增量赋值，笛卡尔空间内轨迹参考价值不大，这里直接对关节空间内关节角的跟踪误差进行讨论。关节空间内参考轨迹与实际轨迹的误差对比图如图3所示。

Figure 3. Comparison of trajectory tracking errors in joint space

图3. 关节空间下轨迹跟踪误差对比图

图3展示了机械臂在关节空间内的给定轨迹运动跟随控制，即轨迹跟踪误差情况，纵轴单位为弧度制的关节角度差。图中绿蓝红三种颜色的线条分别表示原版MPC控制器、PSO-MPC控制器以及IPSO-MPC控制器下的七个关节的误差。图中可以清晰观察到本文所提出的IPSO-MPC在轨迹跟踪过程中表现出了最小的跟踪误差。尤其是在像二关节这种承重关节的误差中表现更为出色，粒子群寻优在该关节的控制中发挥了更显著的作用，其能够更有效地搜索到针对二关节的最优控制参数组合，在面对二关节承重带来的复杂力学变化时，粒子群可以快速调整搜索方向，找到更合适的控制策略，以减少误差积累，相较于原版MPC和PSO-MPC，IPSO-MPC在第二关节的误差接近降低了一倍。同时，在整体关节误差调节过程中，IPSO-MPC表现也很出色。IPSO-MPC在200步左右合理的调节了权重系数，避免了另外两组出现的误差峰值，整体跟踪效果更加稳定，以较小的误差完成了整个跟踪任务。

Figure 4. Mean square error comparison histogram

图4. 均方误差对比柱状图

基于公式(13)计算跟踪任务过程中，各实验组的均方误差也能体现出IPSO-MPC的优势。图4展示了三个实验组的均方误差可视化柱状图。IPSO-MPC相较于原版MPC与PSO-MPC分别降低了33.85%、23.08%，改进后的IPSO-MPC具有更强的抗外界干扰能力以及自适应调节能力，跟踪效果也是得到了显著提升。

5. 结论

本文围绕轨迹跟踪精度问题展开深入研究，创新性地提出了一种基于MPC的增量式扭矩控制器，专门用于轨迹跟踪任务。为优化控制器性能，引入PSO优化算法对MPC控制器参数进行实时调整，以保障系统在动态环境下的控制误差精度。针对传统PSO算法易陷入局部最优解及收敛速度慢的固有缺陷，采用线性惯性权重下降策略，有效提升了算法性能。通过在MuJoCo仿真平台开展对照实验，获得了具有说服力的结果。相较于原版MPC，IPSO-MPC的关节角度均方误差显著降低，提升幅度达33.85%；与传统PSO优化的MPC相比，也有23.08%的提升。这充分表明，所提出的IPSO-MPC控制器能够凭借权重系数的灵活调整，实现对动态环境的实时、精准响应，展现出卓越的轨迹跟踪精度和强大的抗干扰能力，极大地提升了算法在实际应用中的有效性。综上所述，本研究成果不仅在理论层面完善了轨迹跟踪控制算法，在实践应用中也具有重要价值。未来，该方法有望在遥操作从端设备控制等复杂场景中广泛应用，为确保从臂的高精度轨迹跟踪提供可靠解决方案，推动相关领域技术的进一步发展。

参考文献