1. 引言

超复合算子在泛函分析与算子理论中占据重要的地位，并且对研究算子理论有着很重要的作用，它是算子理论的研究对象。而超复合算子的有界性也被广泛学者研究，从而可以具体应用到泛函分析和解析函数空间等分析学分支当中。

令 $\text{Δ}$ 是复平面 $ℂ$ 上的单位圆盘， $H\left(\text{Δ}\right)$ 表示为 $\text{Δ}$ 上全体解析函数的集合，定义

${\sigma }_a\left(z\right)=\frac{a-z}{1-\bar{a}z},a\in \Delta .$

我们称 ${\sigma }_a$ 为莫比乌斯变换。

对于 $0\le p<\infty$ 且 $f\in H\left(\text{Δ}\right)$ ，若f满足下述范数

${\Vert f\Vert }_{Q_p}^2=\left|f\left(0\right)\right|+{\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}<\infty ,$

我们称 $f\in Q_p$ ，其中 $\text{d}A\left(z\right)=1/\pi \text{d}r\text{d}\theta$ 为单位圆盘上的正则面积测度。且在上述范数意义下， $Q_p$ 是一个完备的赋范线性空间，即巴拿赫空间。近年来，有许多学者对 $Q_p$ 空间进行了许多研究，例如在 $Q_p$ 空间上研究卷积奇异积分算子和分数次积分算子的有界性问题是重要的研究方向，通过建立 $Q_p$ 空间的相关理论和方法，可以为这些算子的有界性提供新的判定条件和估计方法。并且，在广义Navier-Stokes方程等流体方程的研究中， $Q_p$ 空间可以用于研究方程解的整体存在性、唯一性和适定性等问题，如解决具有小初值的临界状态下Navier-Stokes方程的解的整体存在性和唯一性问题等。文献[1]中对 $Q_p$ 空间有详细的描述。

而 $Z_p$ 空间作为 $Q_p$ 当中一类特殊的解析函数空间，也有着丰富的探讨价值与理论意义。设 $0\le p<\infty$ ，f是 $\text{Δ}$ 上全体解析函数空间的元素，则 $Z_p$ 空间的范数表示如下

${\Vert f\Vert }_{Z_p}=\left|f\left(0\right)\right|+{\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{-1}{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}<\infty .$

在上述范数意义下， $Z_p$ 是一个巴拿赫空间。

Bloch-type空间是一类在复分析中研究的函数空间，尤其在单复变和多复变函数论中占据着重要地位，通常称为Bloch-type空间或者加权Bloch空间。Bloch-type空间作为一类重要的函数空间，为泛函分析中研究一般的函数空间理论提供了具体的例子和研究对象。其具有的巴拿赫空间结构，使得在研究泛函分析中如算子理论、对偶空间、弱收敛等概念和理论时，可以以Bloch-type空间为载体进行深入分析。不仅如此，在调和分析中，Bloch-type空间可以用于对函数进行分解和刻画。例如，某些函数可以分解为Bloch-type空间中的函数与其他函数空间中的函数的组合，从而利用Bloch-type空间的性质来研究函数的整体性质，这种分解方法在研究调和函数的边界值问题、积分表示等方面有重要应用。若 $0<\alpha <1$ ，Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 表示为单位圆盘上的满足所有满足以下条件

${\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}={\sup }_{z\in \Delta }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty ,$

的解析函数全体组成的空间。在自然范数 ${\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}=\left|f\left(0\right)\right|+{\sup }_{z\in \Delta }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|$ 下，Bloch-type空间构成巴拿赫空间。特别的，若 $\alpha =1$ ，则 $B_{\alpha }=B$ 为经典Bloch空间，并且当 $0<\alpha <1$ 时，Bloch-type空间里的解析函数是有界的。[2]对Bloch空间有许多的介绍。

Morrey空间最初由Morrey在1938年撰写文献[3]时引入。时至今日，Morrey空间已经是研究调和分析与偏微分方程的重要工具之一。许多调和分析中的算子，如Hardy-Littlewood极大算子、奇异积分算子、分数次积分算子等在Morrey空间上的有界性是重要研究内容。研究这些算子在Morrey空间上的有界性，可以为进一步研究函数在这些算子作用下的性质提供基础，也有助于建立调和分析中的各种估计和不等式。而在几何分析中，许多问题可以归结为求解偏微分方程，Morrey空间为这些方程的解提供了合适的函数空间框架。比如在研究极小曲面方程、Yamabe方程等与几何密切相关的偏微分方程时，Morrey空间的方法可以用于分析解的存在性、唯一性和正则性，从而得到几何对象的相关性质。设 $0<\lambda <1$ 且 $f\in H\left(\Delta \right)$ 。我们定义满足下述范数的全体解析函数空间：

${\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}$

为Morrey空间，其中 $z\in \Delta$ 。一般我们记Morrey空间为 ${ℒ}^{2,\lambda }$ 。对于Morrey空间，具体贡献可以参考[4]-[7]。

假设 $\phi$ 是复平面 $ℂ$ 上的解析函数(即 $\phi$ 在 $ℂ$ 上解析)，我们称 $\phi$ 是整函数，并且 $X,Y\subset H\left(\text{Δ}\right)$ 是巴拿赫空间。如果对于 $f\in X$ ，有 $\phi \circ f\in Y$ ，那么我们称 $\phi$ 诱导了一个从 $X\to Y$ 的超复合算子 $S_{\phi }$ 。容易发现，超复合算子 $S_{\phi }$ 是一个线性算子当且仅当 $\phi \left(z\right)=cz$ ，其中c为常数。对于复平面上的一个集合A，其凸包指的是包含A的最小凸集，凸集指的是对于集合中的任意两点，连接这两点的线段完全包含在该集合内。

近年来，有许多关于超复合算子 $S_{\phi }$ 在哈代空间 $H_P$ ，Bloch空间B，Dirichlet空间 $\mathcal{D}$ 和Bergman空间 $A_p$ 的相关结论，参考如下[8] [9]。

在本文中，我们基于[10]当中 $Q_p$ 与Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 上的超复合算子 $S_{\phi }$ 的有界性问题，进一步考虑 $Z_p$ 与Bloch-type空间以及Morrey空间上的超复合算子 $S_{\phi }$ 。问题如下：什么情况下 $\phi$ 诱导了一个从 $B_{\alpha }\to Z_p$ 或者从 $Z_p\to B_{\alpha }$ 的超复合算子 $S_{\phi }$ ？什么时候 $S_{\phi }$ 是一个有界算子？

接下来的章节中，所以的 $\phi$ 都为整函数，用C表示非负常数且不同处的C值可以取值不同。对于两个非负常数X和Y，我们用 $X\lesssim Y$ 表示存在常数 $C>0$ 使得 $X\le CY$ ，用 $X\gtrsim Y$ 表示存在常数 $C>0$ 使得 $X\ge CY$ 。

2. 从 $Z_p$ 空间到Bloch-Type空间 $B_{\alpha }$ 的超复合算子 $S_{\phi }$

引理2.1. $Z_p\subseteq Q_p$ ，其中 $0\le p<\infty$ 。

证明：令 $0\le p<\infty$ ，且 $f\in Z_p$ 。只需证明 $\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\le \frac{1}{1-{\left|z\right|}^2}$ 即可，由施瓦兹-皮卡定理我们可以从下式得到

$\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\le \frac{1-{\left|f\left(z\right)\right|}^2}{1-{\left|z\right|}^2}\le \frac{1}{1-{\left|z\right|}^2},z\in \text{Δ}.$

证明完毕。

引理2.2. 若 $f\in B_{\alpha }$ ，其中 $0<\alpha <1$ 。那么 $f$ 有界。

引理2.2的具体细节参考文献[2]。

假设 $0\le p<\infty$ 并且 $0<\alpha <1$ 。那么由引理2.1可知，存在一个无界函数 $f\in Z_p\subseteq Q_p$ ，但在Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 中的解析函数都是有界的，其中 $0<\alpha <1$ 。由此，我们希望当 $\phi$ 诱导一个从 $Z_p$ 空间到Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 的超复合算子 $S_{\phi }$ 时， $\phi$ 是一个常值函数。实际上，我们发现：

定理2.3. 如果 $\phi$ 诱导一个从 $Z_p$ 空间到Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 的超复合算子 $S_{\phi }$ ，那么 $\phi$ 是一个常值函数。

证明：假设 $\phi$ 不是一个常值函数，由刘维尔定理我们可得 $\phi$ 是一个无界函数。由此，我们令 $Z_n$ 为 $\Delta$ 上的复数列，使得 $\left|\phi \left(z_n\right)\right|\ge n$ 并且 $\left|\phi \left(z_{n+1}\right)\right|\ge 2\left|\phi \left(z_n\right)\right|$ 。令 $c_n=\left\{z:\left|z-z_n\right|\le 1/{\left|\phi \left(z_{n+1}\right)\right|}^3\right\}$ ，而 $G_n$ 是由 $c_n$ 与 $c_{n+1}$ 所组成的凸包，那么我们发现 $z\in G_n$ 都有

$\left|z\right|\le \frac{2}{{\left|\phi \left(z_{n+1}\right)\right|}^2}\le \frac{1}{2{\left|\phi \left(z_n\right)\right|}^2}<\frac{1}{n^2}.$

因此 $G={\displaystyle {\cup }_{n=1}^{\infty }{G}_n}$ 为一个单连通区域，从而由黎曼映射定理可以得到，存在一个共形映射 $f:\Delta \to G$ (即f在 $\Delta$ 上解析)，由引理2.1，令 $f\in Z_p\subset Q_p$ ，而G是一个有限区域(单连通区域)。由引理2.2，且 $\phi$ 是无界的，所以有 $\phi \circ f\notin B_{\alpha }$ ，故得到矛盾。

3. 从Bloch-Type空间 $B_{\alpha }$ 到 $Z_p$ 空间的超复合算子 $S_{\phi }$

为了讨论从Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 到 $Z_p$ 空间的超复合算子 $S_{\phi }$ ，我们需要用到文献[11]]当中的一个引理：

引理3.1. 令 $0<\alpha <\infty$ 。那么存在 $f_1,f_2\in B_{\alpha }$ 和 $ϵ>0$ ，我们有

$\left|{f^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{f^{\prime }}_2\left(z\right)\right|>ϵ.$

如果 $\phi$ 是一个常值整函数，那么显然 $S_{\phi }$ 是 $B_{\alpha }$ 空间到 $Z_p$ 空间上的超复合算子。如果 $\phi$ 是一个非常值的整函数，我们有下述发现：

定理3.2. 令 $0\le p<\infty$ 和 $0<\alpha <1$ 。若 $\alpha$ 是一个非常值的整函数，那么 $\phi$ 诱导了从Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 到 $Z_p$ 空间的超复合算子 $S_{\phi }$ 且 $S_{\phi }$ 是有界的当且仅当

${\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha +1}}}<\infty .$

证明：对于任意 $f\in B_{\alpha }$ ，其中 $0<\alpha <1$ ，由引理2.2有 $\left|f\left(z\right)\right|$ 有界并且 $\left|{\phi }^{\prime }\left(f\left(z\right)\right)\right|<C$ (这是因为整函数复合一个解析函数还是解析的)，其中C是依赖于 $\phi$ 和 ${\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}$ 的常数。从而有

$\begin{array}{c}{\Vert S_{\alpha }\left(f\right)\Vert }_{Z_p}\lesssim {\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\left|{\phi }^{\prime }\left(f\left(z\right)\right)\right|\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{-1}{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}\\ \le C{\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{-1}{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}\\ \lesssim {\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha +1}}\text{d}A\left(z\right)}<\infty \end{array}$

其中C是依赖于a的常数，因此，我们有 $\phi \circ f\in Z_p$ 。另一方面，由 $\left|\phi \left(f\left(0\right)\right)\right|<C_1$ ，其中 $C_1$ 是依赖于 $\phi$ 和 ${\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}$ 的常数，根据 $Z_p$ 的范数定义，从而 $S_{\phi }$ 在 $Z_p$ 上有界。

反之，假设 $\phi$ 是非常值的整函数，并且 $\phi$ 诱导了从Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 到 $Z_p$ 空间的超复合算子 $S_{\phi }$ 。由引理3.1，存在 $f_1,f_2\in B_{\alpha }$ 和 ${ϵ}_1>0$ ，使得

${\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }\left(\left|{f^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{f^{\prime }}_2\left(z\right)\right|\right)>{ϵ}_1>0$

不失一般地，根据引理2.2，我们假定 $\left|f_1\left(z\right)\right|<M$ ， $\left|f_2\left(z\right)\right|<M$ ，即 $f_1,f_2$ 有界，M为常数。由于 $\phi$ 是非常值的整函数，由皮卡小定理可得，给定 ${ϵ}_2>0$ ，存在一个圆盘 $\left\{z\in \Delta :\left|z-z_0\right|<r\right\}$ 使得 $\left|{\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|>{ϵ}_2>0$ 。令

$F_1\left(z\right)=z_0+\frac{r{f}_1\left(z\right)}{M},F_2\left(z\right)=z_0+\frac{r{f}_2\left(z\right)}{M}$

显然 $F_1,F_2\in B_{\alpha }$ ，从而我们有

$\begin{array}{c}\infty >{\Vert S_{\phi }\left(F_1\right)\Vert }_{Z_p}+{\Vert S_{\phi }\left(F_2\right)\Vert }_{Z_p}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Delta }\left(\left|{\phi }^{\prime }\left(F_1\left(z\right)\right)\right|\left|{F^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{\phi }^{\prime }\left(F_2\left(z\right)\right)\right|\left|{F^{\prime }}_2\left(z\right)\right|\right){\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{-1}{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}\\ \ge \frac{{ϵ}_{2}r}{M}{\displaystyle {\int }_{\Delta }\left(\left|{f^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{f^{\prime }}_2\left(z\right)\right|\right){\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{-1}{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}\\ \ge \frac{{ϵ}_1{ϵ}_{2}r}{M}{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha +1}}\text{d}A\left(z\right)}\\ \gtrsim {\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha +1}}\text{d}A\left(z\right)}\end{array}$

故

${\sup }_{a\in \Delta }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha +1}}}<\infty .$

证明完毕。

4. 从Bloch-Type空间 $B_{\alpha }$ 到Morrey空间的超复合算子 $S_{\phi }$

接下来，我们讨论从Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 到Morrey空间的超复合算子 $S_{\phi }$ 的有界性：

定理4.1. 令 $0<\lambda <1$ 和 $0<\alpha <1$ 。若 $\alpha$ 是一个非常值的整函数，那么 $\phi$ 诱导了从Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 到Morrey空间的超复合算子 $S_{\phi }$ 且 $S_{\phi }$ 是有界的当且仅当

${\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2\alpha }}}<\infty .$

证明：对于任意 $f\in B_{\alpha }$ ，其中 $0<\alpha <1$ ，类似的，由引理2.2有 $\left|f\left(z\right)\right|$ 有界并且 $\left|{\phi }^{\prime }\left(f\left(z\right)\right)\right|<C$ ，其中C是依赖于 $\phi$ 和 ${\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}$ 的常数。从而有

$\begin{array}{c}{\Vert S_{\alpha }\left(f\right)\Vert }_{{ℒ}^{2，\lambda }}\lesssim {\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }{\left|{\phi }^{\prime }\left(f\left(z\right)\right)\right|}^2{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ \le C{\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ \lesssim {\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2\alpha }}\text{d}A\left(z\right)}<\infty \end{array}$

其中C是依赖于a的常数，因此，我们有 $\phi \circ f\in Z_p$ 。另一方面，由 $\left|\phi \left(f\left(0\right)\right)\right|<C_1$ ，其中 $C_1$ 是依赖于 $\phi$ 和 ${\Vert f\Vert }_{B_{\alpha }}$ 的常数，根据Morrey空间的范数定义，从而有 $S_{\phi }$ 在Morrey空间上有界。

反之，假设 $\phi$ 是非常值的整函数，并且 $\phi$ 诱导了从Bloch-type空间 $B_{\alpha }$ 到 $Z_p$ 空间的超复合算子 $S_{\phi }$ 且 $S_{\phi }$ 有界。由引理3.1，存在 $f_1,f_2\in B_{\alpha }$ 和 ${ϵ}_1>0$ ，使得

${\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\alpha }\left(\left|{f^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{f^{\prime }}_2\left(z\right)\right|\right)>{ϵ}_1>0$

不失一般地，根据引理2.2，我们假定 $\left|f_1\left(z\right)\right|<M$ ， $\left|f_2\left(z\right)\right|<M$ ，即 $f_1,f_2$ 有界，M为常数。由于 $\phi$ 是非常值的整函数，由皮卡小定理可得，给定 ${ϵ}_2>0$ ，存在一个圆盘 $\left\{z\in \Delta :\left|z-z_0\right|<r\right\}$ 使得 $\left|{\phi }^{\prime }\left(z\right)\right|>{ϵ}_2>0$ 。令

$F_1\left(z\right)=z_0+\frac{r{f}_1\left(z\right)}{M},F_2\left(z\right)=z_0+\frac{r{f}_2\left(z\right)}{M}$

显然 $F_1,F_2\in B_{\alpha }$ ，从而我们有

$\begin{array}{l}\infty >{\Vert S_{\phi }\left(F_1\right)\Vert }_{{ℒ}^{2,\lambda }}+{\Vert S_{\phi }\left(F_2\right)\Vert }_{{ℒ}^{2,\lambda }}\\ ={\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }{\left(\left|{\phi }^{\prime }\left(F_1\left(z\right)\right)\right|\left|{F^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{\phi }^{\prime }\left(F_2\left(z\right)\right)\right|\left|{F^{\prime }}_2\left(z\right)\right|\right)}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ \gtrsim {\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }{\left(\left|{f^{\prime }}_1\left(z\right)\right|+\left|{f^{\prime }}_2\left(z\right)\right|\right)}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ \gtrsim {\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2\alpha }}\text{d}A\left(z\right)}\end{array}$

故

${\sup }_{a\in \Delta }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_{\Delta }\frac{1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{2\alpha }}}<\infty .$

5. 结语

由定理3.2与定理4.1，我们可以发现：通过整函数的性质，我们可以对一类特殊的复合算子进行估计，得出一些经典的解析函数空间有界性的充分必要条件，从而有助于建立算子论与调和分析以及泛函分析里面的不等式理论和估计理论。

参考文献