DOI: 10.12677/pm.2025.153100, PDF, HTML, XML,  被引量    国家自然科学基金支持
作者: 陈 浩^*, 杨 祺^#：新疆师范大学数学科学学院，新疆 乌鲁木齐
关键词: 亚纯函数；正规族；Picard例外值；微分多项式；Meromorphic Function； Normal Family； Picard Exceptional Value； Differential Polynomial

文章引用：陈浩, 杨祺. 涉及Picard例外值和微分多项式的亚纯函数正规定则[J]. 理论数学, 2025, 15(3): 255-261. https://doi.org/10.12677/pm.2025.153100

1. 引言及主要结果

陈玮等人研究了徐炎在文[1]提出一个有关亚纯函数的正规族猜想(见[2]-[4])，我们在此基础上推广到微分多项式，得到两个新的定理。Picard例外值是复分析中的一个概念，在复变函数理论中做出了重要贡献，特别是在全纯函数的值分布方面。设 $f\left(z\right)$ 和 $g\left(z\right)$ 为区域 $D\subset ℂ$ 内的两个非常数亚纯函数，a是一个有穷复数， $ℱ$ 是定义在D内的一族亚纯函数，根据Montel定义，如果对于任意序列 $\left\{f_n\right\}\subset ℱ$ ，都存在一个子列 $\left\{f_n\right\}$ 在D按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或趋于 $\infty$ ，称 $ℱ$ 在D内正规。其中f的微分多项式为 $L\left(f\right)\left(z\right)=f^{\left(k\right)}\left(z\right)+a_{k-1}\left(z\right)f^{\left(k-1\right)}\left(z\right)+\cdots +a_1\left(z\right)f^{\prime }\left(z\right)+a_0\left(z\right)f\left(z\right)$ ； $a_0\left(z\right),a_1\left(z\right),\cdots ,a_{k-1}\left(z\right)$ 为区域D内的全纯函数。Picard例外值揭示了亚纯函数值分布的局限性，微分多项式的亚纯函数正规性是研究微分方程解和函数紧性的重要工具。二者结合可以深入理解亚纯函数的性质，微分方程的解以及函数族的分类与紧性。对复分析，值分布理论研究中具有重要意义，为数学研究提供强有力的工具。

定义 设 $ℱ$ 为区域D内的一族亚纯函数。如果从 $ℱ$ 中任一函数序列 $\left\{f_n\left(z\right)\right\}$ 均可选出一个子序列 $\left\{f_{n_k}\left(z\right)\right\}$ 在区域D上按球距内闭一致收敛，则称 $ℱ$ 在区域D内正规。

1994年，叶[5]证明了下面的结果。

定理1.1 [5] 设f为复域 $ℂ$ 上的一个超越亚纯函数，a为非零有穷复数，n为正整数。若 $n\ge 3$ ，则 $f+a{\left(f^{\prime }\right)}^n$ 可以取任意复数b无穷次。

2008年，方和Zalcman [6]证明了当 $n=2$ 时定理1.1成立，同时给出特例说明了当 $n=1$ 定理1.1不成立。

定理1.2 [6] 设 $ℱ$ 为D内的一族亚纯函数， $n\left(\ge 2\right)$ 为正整数且 $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个有穷复数。若对于任意 $f\in ℱ$ ，f的零点均为重级零点且在D内有 $f+a{\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n\ne b$ ，则 $ℱ$ 在D内正规。

后来，徐等人[1]考虑用 $f^{\left(k\right)}$ 代替 $f^{\prime }$ ，获得了下面的结果。

定理1.3 [1] 设 $ℱ$ 为D内的一族亚纯函数， $a\left(\ne 0\right),b$ 为两个复数，n和k是两个满足 $n\ge k+1$ 的正整数。若对于任意 $f\in ℱ$ ，f仅有重数至少为 $k+1$ 的零点且在D内有 $f+a{\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n\ne b$ ，则 $ℱ$ 在D内正规。

在文[1]中，徐等人猜测将定理1.3的条件 $n\ge k+1$ 替换为 $n\ge 2$ 时仍然成立。2013年，雷等人对这一问题进行了解答并证明了该猜想。

定理1.4 设 $n,k$ 为两个正整数且 $n\ge 2$ ， $a,b,c$ 为3个有穷复数且 $a\ne 0,c\ne 0,a{c}^n\ne b$ 。设 $ℱ$ 为D内的一族亚纯函数，若对于任意 $f\in ℱ$ ，f仅有重数至少为 $k+1$ 的零点且在D内有

$f+a{\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n=b\Rightarrow f^{\left(k\right)}=c$

则 $ℱ$ 在D内正规。

定理1.5 设 $n,k$ 为两个正整数且 $n\ge 2$ ， $a,b,c$ 为3个有穷复数且 $a\ne 0,c\ne 0$ 。设 $ℱ$ 为D内的一族亚纯函数，若对于任意 $f\in ℱ$ ，f仅有重数至少为 $k+1$ 的零点且在D内有

$f+a{\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n=b\Rightarrow f=c$

则 $ℱ$ 在D内正规。

一个很自然的问题，我们能否将定理中的条件 $f^{\left(k\right)}$ 替换为 $L\left(f\right)$ ？得到以下定理并证明。

定理A 设 $n,k\in N^{+},n\ge 2$ ， $a,b,c$ 为3个有穷复数且 $a\ne 0,c\ne 0,a{c}^n\ne b$ 。设 $ℱ$ 为D内的一族亚纯函数，若对 $\forall f\in$ $ℱ$ ，f仅有重数至少为 $k+1$ 的零点且在D内满足

$f+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n=b\Rightarrow f^{\left(k\right)}=c$

则 $ℱ$ 在D内正规。

定理B 设 $n,k\in N^{+},n\ge 2$ ， $a,b,c$ 为3个有穷复数且 $a\ne 0,c\ne 0$ 。设 $ℱ$ 为D内的一族亚纯函数，若对 $\forall f\in$ $ℱ$ ，f仅有重数至少为 $k+1$ 的零点且在D内满足

$f+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n=b\Rightarrow f=c$

则 $ℱ$ 在D内正规。

2. 引理

引理2.1 [7]设 $ℱ$ 为单位圆盘上的亚纯函数族且满足 $ℱ$ 中任意函数的零点重数至少为p以及极点重数至少为q。设 $\alpha$ 为满足 $-q<\alpha <p$ 的实数，则 $ℱ$ 在 $z=0$ 处不正规的充要条件是存在：

(a) 一个实数 $\gamma$ 满足 $0<\gamma <1$ ；

(b) 点列 $z_n$ 满足 $\left|z_n\right|<\gamma$ ；

(c) 函数列 $f_n\in ℱ$ ；

(d) 正数序列 ${\rho }_n\to 0^{+}$ ，

使得 $g_n\left(\xi \right)={\rho }_n^{-\alpha }{f}_n\left(z_n+{\rho }_n\left(\xi \right)\right)$ 在复平面 $ℂ$ 上的任意紧子集按球面距离一致收敛到一个非常数的亚纯函数 $g\left(\xi \right)$ ，其零点重数至少为p，极点重数至少为q，并且它的级至多为2。

引理2.2 [8] 设f为复平面 $ℂ$ 上的一个全纯函数。如果f的球面导数 $f^{\#}$ 在 $ℂ$ 上有界，则f的级至多为1。

引理2.3 [8] 设f为复平面 $ℂ$ 上的一个超越亚纯函数， $a\in C\backslash \left\{0\right\},k,n\in N^{+}$ 满足 $n\ge 2$ 。如果f的零点重数至少为 $k+1$ ，则 $f+a{\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n$ 有无穷多个零点。

引理2.4 设 $f\left(z\right)$ 为非常数有理函数， $a\in C\backslash \left\{0\right\},k,n\in N^{+}$ 满足 $n\ge 2$ 。如果f的零点重数至少为 $k+1$ ，则 $f+a{\left(f^{\left(k\right)}\right)}^n$ 至少存在一个零点。

引理2.5 [9] 设 $f\left(z\right)=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0+\frac{q\left(z\right)}{p\left(z\right)}$ ，其中 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 为常数且 $a_n\ne 0$ ，q和p是两个

互素的非零多项式，且满足 $\mathrm{deg}q<\mathrm{deg}p$ 。设k为正整数，b为非零复数。如果 $f^{\left(k\right)}\ne b$ ，且f的零点重数至少为 $k+1$ ，则

$f\left(z\right)=\frac{b{\left(z-d\right)}^{k+1}}{k!\left(z-c\right)},$

其中c和d为两个不同的复常数。

引理2.6 [8] 设g为非常数亚纯函数， $n\left(\ge 2\right)$ 为正整数， $b\ne 0$ 为有限复常数。如果g的零点重数至少为 $k+1$ ，则 ${\left(g^{\left(k\right)}\left(\xi \right)\right)}^n-b$ 至少含有两个不同的零点。

3. 定理A的证明

不失一般性，假设 $D=\Delta =\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 。用反证法，不妨设 $ℱ$ 在 $z_0$ 处不正规。

情形1 当 $b=0$ 。显然， $f\ne 0$ 。否则 $f\left(z_0\right)=0$ ，因为f的所有零点的重数至少为 $k+1$ 则有 $L\left(f\right)\left(z_0\right)=0$ 。因此

$f\left(z_0\right)+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n\left(z_0\right)=0$

结合定理A的假设可推断出 $f^{\left(k\right)}\left(z_0\right)=c$ ，得到矛盾。因此 $f\ne 0$ 。利用引理2.1，可得存在复数列 $\left\{z_j\right\}$ 满足 $z_j\to z_0$ ，以及正数列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ 满足 ${\rho }_j\to 0^{+}$ ，使得

$g_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\to g\left(\xi \right)$

在 $ℂ$ 内局部一致收敛，其中 $g\left(\xi \right)$ 为 $ℂ$ 中的非常数亚纯函数，并且对于任意 $\xi \in$ $ℂ$ ， $g^{\#}\left(\xi \right)\le M$ 。由 Hurwitz定理可知 $g\ne 0$ 。

$\begin{array}{l}{\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left\{f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left[L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right]}^n\right\}\\ ={\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left\{{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}{g}_j\left(\xi \right)+a{\left[{\rho }_j^{\frac{k}{n-1}}{g}_j^{\left(k\right)}\left(\xi \right)+{\rho }_j^{\frac{n+k-1}{n-1}}{a}_{k-1}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j^{\left(k-1\right)}+\cdot \cdot \cdot +{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}{a}_0\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j\left(\xi \right)\right]}^n\right\}\end{array}$

所以

$\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left\{f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left[L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right]}^n\right\}=g\left(\xi \right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)$

下面我们断言

$g\left(\xi \right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\ne 0$

否则，假设存在 ${\xi }_0$ ，使得

$g\left({\xi }_0\right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=0$

如果 $g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\equiv 0$ ，那么g不存在极点，由此可知g为全纯函数。由于 $g^{\#}\left(\xi \right)\le M$ ，根据引理2.2可知g的级至多是1。注意到 $g\ne 0$ ，可计算出 $g={\text{e}}^{c\xi +d}$ ，其中 $c\ne 0,d$ 为常数，那么

$g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n={\text{e}}^{c\xi +d}+a{\left(c^k{\text{e}}^{c\xi +d}\right)}^n={\text{e}}^{c\xi +d}\left[1+a{c}^{nk}{\text{e}}^{\left(n-1\right)\left(c\xi +d\right)}\right]\equiv 0$

因此

${\text{e}}^{\left(n-1\right)\left(c\xi +d\right)}\equiv -\frac{1}{a{c}^{nk}}$

注意到 $n\ge 2$ ，所以上式是不可能成立的，因此 $g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\cancel{\equiv }0$ 。注意到在 $ℂ$ 中任意一个不包含g的极点的紧集中，有

${\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left[f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n\right]\to g\left(\xi \right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)$

利用Hurwitz定理，在 $ℂ$ 中存在收敛于 ${\xi }_0$ 的序列 $\left\{{\xi }_j\right\}$ ，使得对任意足够大的j，有

$f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)\right)}^n=0$

根据定理A的条件 $f+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n=b\Rightarrow f^{\left(k\right)}=c$ ，可得 $f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=c$

因而

$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{g}_j^{\left(k\right)}\left({\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{\rho }_j^{-\frac{k}{n-1}}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\infty$

所以， ${\xi }_0$ 为g的一个极点。这与 $g\left({\xi }_0\right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=0$ 矛盾。因此 $g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\ne 0$ 。这与引理2.3和引理2.4的结论矛盾。

情形2 当 $b\ne 0$ 。由引理2.1可知，存在一个复数序列 $\left\{z_j\right\}$ ，满足 $z_j\to z_0$ ，和一个正数序列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ ，满足 ${\rho }_j\to 0^{+}$ ，使得 $g_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{-k}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\to g\left(\xi \right)$ 。在 $ℂ$ 的紧子集内局部一致收敛，其中 $g\left(\xi \right)$ 是 $ℂ$ 中的一个非常数亚纯函数并且 $g\left(\xi \right)$ 的所有零点的重数至少为 $k+1$ ， $g\left(\xi \right)$ 的级至多为2。

$\begin{array}{l}{f}_j\left(z_j+\rho {}_j\xi \right)+aL{\left(f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n\\ ={\rho }_j^k{g}_j\left(\xi \right)+a{\left(g_j^{\left(k\right)}\left(\xi \right)+{\rho }_j{a}_{k-1}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j^{\left(k-1\right)}\left(\xi \right)+\cdot \cdot \cdot +{\rho }_j^k{a}_0\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j\left(\xi \right)\right)}^n\end{array}$

所以

$\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+aL{\left(f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n=a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)$

我们断言

$a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\ne b$

否则，假设存在序列 ${\xi }_0$ ，使得 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=b$ 。若 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)\equiv b$ ，则g是级为k的多项式。但这与f的所有零点重数至少为 $k+1$ 矛盾，因此 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\cancel{\equiv }b$ 。注意到在 $ℂ$ 中任意一个不包含g的极点的紧集中，有

${\rho }_j^k{g}_j\left(\xi \right)+a{\left(g_j^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)-b=f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n-b$

$\to a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n-b$

因此，通过Hurwitz定理，在 $ℂ$ 中存在收敛于 ${\xi }_0$ 的序列 $\left\{{\xi }_j\right\}$ ，使得对于足够大的j，有

$f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)\right)}^n=b$

按照定理A中的条件可知 $f+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n=b\Rightarrow f^{\left(k\right)}=c$ ，得到 $f_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=c$

因此

$g^{\left(k\right)}\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{g}_j^{\left(k\right)}\left({\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{f}_j^{\left(k\right)}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)=c$

由此意味着 $a{c}^n=b$ ，这与 $a{c}^n\ne b$ 矛盾。因此 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\ne b$ 。然而这与引理2.6的结论矛盾。

4. 定理B的证明

不失一般性，我们假设 $D=\Delta =\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 。假设定理结论不成立，不妨设 $ℱ$ 在 $z_0$ 处不正规。

情形1 当 $b=0$ 。显然， $f\ne 0$ 。否则，若 $f\left(z_0\right)=0$ ，因为f的所有零点的重数至少为 $k+1$ 。则有 $L\left(f\right)\left(z_0\right)=0$ 。因此 $f\left(z_0\right)+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n\left(z_0\right)=0$ 。

结合定理B的条件可推断出 $f\left(z_0\right)=c$ ，注意到 $c\ne 0$ ，矛盾。因此 $f\ne 0$ 利用引理2.1，可得存在复数列 $\left\{z_j\right\}$ 满足 $z_j\to z_0$ ，以及正数列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ 满足 ${\rho }_j\to 0^{+}$ ，使得

$g_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\to g\left(\xi \right)$

在 $ℂ$ 内局部一致收敛，其中 $g\left(\xi \right)$ 为 $ℂ$ 中的非常数亚纯函数，并且对于任意 $\xi \in$ $ℂ$ ， $g^{\#}\left(\xi \right)\le M$ 。由Hurwitz定理可知 $g\ne 0$ 。

$\begin{array}{l}{\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left\{f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left[L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right]}^n\right\}\\ ={\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left\{{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}{g}_j\left(\xi \right)+a{\left[{\rho }_j^{\frac{k}{n-1}}{g}_j^{\left(k\right)}\left(\xi \right)+{\rho }_j^{\frac{n+k-1}{n-1}}{a}_{k-1}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j^{\left(k-1\right)}+\cdot \cdot \cdot +{\rho }_j^{\frac{nk}{n-1}}{a}_0\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j\left(\xi \right)\right]}^n\right\}\end{array}$

所以

$\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left\{f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left[L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right]}^n\right\}=g\left(\xi \right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)$

我们断言

$g\left(\xi \right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\ne 0$

否则，假设存在 ${\xi }_0$ ，使得 $g\left({\xi }_0\right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=0$ 。如果 $g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\equiv 0$ ，那么g不存在极点，由此可知g为全纯函数。由于 $g^{\#}\left(\xi \right)\le M$ ，根据引理2.2可知g的级至多是1。注意到 $g\ne 0$ ，可计算出 $g={\text{e}}^{c\xi +d}$ ，其中 $c\ne 0$ ，d为常数，那么

$g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n={\text{e}}^{c\xi +d}+a{\left(c^k{\text{e}}^{c\xi +d}\right)}^n={\text{e}}^{c\xi +d}\left[1+a{c}^{nk}{\text{e}}^{\left(n-1\right)\left(c\xi +d\right)}\right]\equiv 0$

因此

${\text{e}}^{\left(n-1\right)\left(c\xi +d\right)}\equiv -\frac{1}{a{c}^{nk}}$

注意到 $n\ge 2$ ，所以上式是不可能成立的，因此 $g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\cancel{\equiv }0$ 注意到在 $ℂ$ 中任意一个不包含g的极点的紧集中，有

$g_j\left(\xi \right)+a{\left(g_j^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)={\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}\left[f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n\right]$

$\to g\left(\xi \right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)$

利用Hurwitz定理，在 $ℂ$ 中存在收敛于 ${\xi }_0$ 的序列 $\left\{{\xi }_j\right\}$ ，使得对任意足够大的j，有

$f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)+a{\left(L\left(f\right)\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)\right)}^n=0$

根据定理B的条件 $f+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n=b\Rightarrow f=c$ ，可得 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=c$

因此

$g\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{g}_j\left({\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{\rho }_j^{-\frac{nk}{n-1}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\infty$

由此可知 ${\xi }_0$ 是g的一个极点，这与我们的假设条件 $g\left({\xi }_0\right)+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=0$ 矛盾。因此， $g+a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\ne 0$ 。然而这与引理2.3和引理2.4的结论矛盾。

情形2 当 $b\ne 0$ 。由引理2.1可知，存在一个复数序列 $\left\{z_j\right\}$ ，满足 $z_j\to z_0$ ，和一个正数序列 $\left\{{\rho }_j\right\}$ ，满足 ${\rho }_j\to 0^{+}$ ，使得 $g_j\left(\xi \right)={\rho }_j^{-k}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\to g\left(\xi \right)$ ，在 $ℂ$ 的紧子集内局部一致收敛，其中 $g\left(\xi \right)$ 是 $ℂ$ 中的一个非常数亚纯函数并且 $g\left(\xi \right)$ 的所有零点的重数至少为 $k+1$ 。此外， $g\left(\xi \right)$ 的级至多为2。

$\begin{array}{l}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+aL{\left(f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n\\ ={\rho }_j^k{g}_j\left(\xi \right)+a{\left(g_j^{\left(k\right)}\left(\xi \right)+{\rho }_j{a}_{k-1}\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j^{\left(k-1\right)}\left(\xi \right)+\cdots +{\rho }_j^k{a}_0\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)g_j\left(\xi \right)\right)}^n\end{array}$

因此

$\underset{j\to \infty }{\text{lim}}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+aL{\left(f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n=a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n$

我们断言

$a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\ne b$

否则，假设存在序列 ${\xi }_0$ ，使得 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=b$ 。若 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\equiv b$ ，则g是级为k的多项式。但这与f的所有零点重数至少为 $k+1$ 矛盾，因此 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)\cancel{\equiv }b$ 。注意到在 $ℂ$ 中任意一个不包含g的极点的紧集中，有

${\rho }_j^k{g}_j\left(\xi \right)+a{\left(g_j^{\left(k\right)}\right)}^n\left(\xi \right)-b=f_j\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j\xi \right)\right)}^n-b\to a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n-b$

因此，通过Hurwitz定理，在 $ℂ$ 中存在收敛于 ${\xi }_0$ 的序列 $\left\{{\xi }_j\right\}$ ，使得对于足够大的j，有

$f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)+a{\left(L\left(f_j\right)\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)\right)}^n=b$

按照定理B中的条件可知 $f+a{\left(L\left(f\right)\right)}^n=b\Rightarrow f=c$ ，得到 $f_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=c$

因此

$g\left({\xi }_0\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }{g}_j\left({\xi }_j\right)=\underset{j\to \infty }{\lim }{\rho }_j^{-k}{f}_j\left(z_j+{\rho }_j{\xi }_j\right)=\infty$

这意味着 ${\xi }_0$ 是g的一个极点。这与 $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\left({\xi }_0\right)=b$ 矛盾。所以， $a{\left(g^{\left(k\right)}\right)}^n\ne b$ 。然而这又与引理2.6矛盾。

基金项目

国家自然科学基金资助(11961068)。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。

参考文献

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