DOI: 10.12677/aam.2025.143125, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 雷 振：吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首
关键词: DC型切向凸优化问题；混合型对偶；对偶理论；DC-Type Tangentially Convex Optimization Problem； Mixed-Type Duality； Duality Theory

文章引用：雷振. 带不等式约束的DC型切向凸优化问题的混合型对偶[J]. 应用数学进展, 2025, 14(3): 373-381. https://doi.org/10.12677/aam.2025.143125

1. 引言

约束优化问题是现代最优化理论的核心问题之一，许多实际问题在一定条件下都可以转化成一个约束优化问题。可广泛应用于工农业生产、经济管理、金融投资、交通运输、通信控制等实际问题。因此，约束优化问题的研究引起了学者们的广泛重视，许多学者对经典的约束优化问题进行了深入的研究，并得到了一系列有意义的结论[1]-[5]。

对偶理论是约束优化问题的主要研究内容之一，它不仅具有十分重要的理论价值，而且在金融算法设计和最优控制等领域有着广泛的应用。常见的对偶模型除经典的Lagrange型对偶外，还有Wolfe对偶、Mond-Weir对偶和混合型对偶问题。注意到，Wolfe对偶问题和Mond-Weir对偶问题均为混合型对偶问题的特例[6]-[8]。例如，文[6]针对一类非线性规划问题引入了不完全拉格朗日函数，解释了Mond-Weir型对偶构造背后的原因。针对一类分式和广义分式规划问题，提出了一种混合型对偶，并建立了各种对偶定理。文[7]在非线性优化中，利用扰动方法，统一了Wolfe对偶与Mond-Weir对偶的框架。文[8]利用Fritz-John必要最优性条件建立了关于一类多目标规划问题的混合型逆对偶，并推广了前人逆对偶定理的结论。

进一步，当约束优化问题的目标函数为DC函数(即两个凸函数的差)，文[9]在几个约束规范条件之间建立了关系，并且利用这些约束规范条件刻画了DC无限优化问题的强Lagrange对偶和全Lagrange对偶。文[10]利用共轭函数的卷积给出了新的约束规范条件，刻画了稳定零对偶性，并弱化了传统下半连续性和凸性假设。文[11]为保证原问题和对偶问题之间的强对偶性成立，利用上图引入新的闭性约束规范条件，并在局部凸Hausdorff拓扑向量空间中研究了锥约束复合DC优化问题的对偶理论。

近来，切向凸函数及其对应的切向凸优化问题引起了学者们的广泛关注。他们利用切向次微分建立了切向凸优化问题的最优性条件和对偶理论[12]-[16]。例如，文[12]首先提出切向次微分的概念，并利用它建立了非线性规划的最优性条件。文[13]则通过切向次微分获得了非凸不确定优化问题的必要和充分最优性条件。文[14]利用切向次微分给出了非凸半无限规划问题的最优性条件，并且刻画了最优解集。

受上述文献启发，本文将研究如下带不等式约束的DC型切向凸优化问题的混合对偶：

$\left(P\right)\begin{array}{l}\inf \left\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\right\}\hfill \\ \text{s}\text{.t}\text{.}{g}_t\left(x\right)\le 0,t\in T,\hfill \\ x\in M,\hfill \end{array}$

其中 $f,g_t:R^n\to \bar{R}:=R\cup \left\{+\infty \right\}$ 为切向凸函数， $g:R^n\to \bar{R}$ 为下半连续真凸函数，M为近凸集。

2. 记号与定义

设 $R^n$ 是n维欧氏空间， $\langle x,y\rangle$ 表示向量 $x,y\in R^n$ 的内积。设T为任意(可能无限)指标集，记 $R^{\left|T\right|}:=\left\{\lambda ={\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}:只有有限�{\lambda }_t\ne 0\right\}$ ，定义 $R^{\left|T\right|}$ 的非负锥为

$R_{+}^{\left|T\right|}:=\left\{\lambda ={\left({\lambda }_t\right)}_{t\in T}\in R^{\left|T\right|}:{\lambda }_t\ge 0,t\in T\right\}.$

设M为 $R^n$ 中的非空子集， $\text{cl }M$ 和 $\text{cone }M$ 分别表示M的闭包和锥包。定义集合M在 $x\in M$ 处的法锥为

$N_M\left(x\right):=\left\{\xi \in R^n:\langle \xi ,y-x\rangle \le 0,\forall y\in M\right\}.$

令 ${\delta }_M$ 表示M的示性函数，定义为

${\delta }_M\left(x\right):=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & x\in M,\hfill \\ +\infty ,\hfill & x\in 其他\text{.}\hfill \end{array}$

设 $f:R^n\to \bar{R}$ 是真函数，f的有效域、次微分和共轭函数分别定义为

$\text{dom }f:=\left\{x\in R^n:f\left(x\right)<+\infty \right\},$

$\partial f\left(x\right):=\left\{v\in R^n:\langle v,y-x\rangle \le f\left(y\right)-f\left(x\right),\forall y\in R^n\right\},\forall x\in R^n,$

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right):=\sup \left\{\langle x^{\ast },x\rangle -f\left(x\right):\forall x\in R^n\right\},\forall x^{\ast }\in R^n.$

记 $\text{cl }f$ 表示f的闭包，由文献[17]可知 $f^{\ast }={\left(\text{cl }f\right)}^{\ast }$ 。特别地，当f是 $R^n$ 上的真凸函数时， $f^{\ast }$ 和二次共轭函数 $f^{\ast \ast }$ 总是 $R^n$ 上的闭真凸函数，且有 $f^{\ast \ast }=\text{cl }f$ 。显然，当f为闭真凸函数时，则有

$f^{\ast \ast }=\text{cl }f=f.$ (1)

设 $\bar{x}\in \text{dom }f$。若对任意的 $d\in R^n$ ，极限

$f^{\prime }\left(\bar{x},d\right):=\underset{t\downarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\bar{x}+td\right)-f\left(\bar{x}\right)}{t}$

存在，则称 $f^{\prime }\left(\bar{x},d\right)$ 为f在 $\bar{x}$ 处沿d方向的方向导数。特别地，当 $d=0$ 时，定义 $f^{\prime }\left(\bar{x},0\right)=0$ 。

定义2.1 [18] 设函数 $f:R^n\to \bar{R}$ 是实值函数， $\bar{x}\in \text{dom }f$。若对任意的 $d\in R^n$ ， $f^{\prime }\left(\bar{x},d\right)$ 存在并有限， 且 $f^{\prime }\left(\bar{x},\cdot \right)$ 是关于d的实值凸函数，则称f在点 $\bar{x}$ 处是切向凸的。若f在任意 $x\in M$ 处均为切向凸的，则称f是集合M上的切向凸函数。

需注意的是， $f^{\prime }\left(\bar{x},\cdot \right)$ 是具有正齐次性的函数。若f在点 $\bar{x}\in \text{dom }f$处是切向凸函数，则 $f^{\prime }\left(\bar{x},\cdot \right)$ 在 $R^n$ 上是次可加函数。

定义2.2 [12] 设函数 $f:R^n\to \bar{R}$ 在点 $\bar{x}\in \text{dom }f$处的切向次微分 ${\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)$ 定义为

${\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right):=\left\{v\in R^n:\langle v,d\rangle \le f^{\prime }\left(\bar{x},d\right),\forall d\in R^n\right\}.$

若f是凸函数，则f在点 $\bar{x}\in \text{dom }f$处是切向凸的，且 ${\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)=\partial f\left(\bar{x}\right)$ 。当f在点 $\bar{x}\in \text{dom }f$处为切向凸函数时，由文献[19]可知， ${\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)$ 是 $R^n$ 中的一个非空凸紧子集，且 $f^{\prime }\left(\bar{x},d\right)$ 是 ${\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)$ 的支撑函数，即对于任意的 $d\in R^n$ 有

$f^{\prime }\left(\bar{x},d\right)=\underset{v\in {\partial }_{T}f\left(x\right)}{\max }\langle v,d\rangle .$

引理2.1 [15] 设函数 $f,g:R^n\to \bar{R}$ 为实值函数。若 $f,g$ 在点 $\bar{x}\in \text{dom }f\cap \text{dom }g$处是切向凸的，则有 ${\partial }_T\left(f+g\right)\left(\bar{x}\right)={\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)+{\partial }_{T}g\left(\bar{x}\right)$ 。

引理2.2 [14] 设函数 $f:R^n\to \bar{R}$ 在点 $\bar{x}\in \text{dom }f$处是切向凸函数，则函数 $y\to f^{\prime }\left(x,y-x\right)$ 是凸函数，且满足

${\partial }_{T}f\left(x\right)=\partial f^{\prime }\left(x,\cdot -x\right)\left(x\right)=\partial f^{\prime }\left(x,\cdot \right)\left(0\right).$ (2)

定义2.3 [15] 设函数 $f:R^n\to \bar{R}$ 在 $R^n$ 上是实值函数， $\bar{x}\in \text{dom }f$。

(i) 若对任意 $x\in R^n$ ，当 $f\left(x\right)<f\left(\bar{x}\right)$ 时有

$f^{\prime }\left(\bar{x},x-\bar{x}\right)<0,$ (3)

则称f在点 $\bar{x}$ 处是伪凸的。若f在任意 $\bar{x}\in M\subseteq R^n$ 处是伪凸的，则称f在集合M上是伪凸函数。

(ii) 若对任意 $x\in R^n\backslash \left\{\bar{x}\right\}$ ，当 $f\left(x\right)\le f\left(\bar{x}\right)$ 时有

$f^{\prime }\left(\bar{x},x-\bar{x}\right)<0,$ (4)

则称f在点 $\bar{x}$ 处是严格伪凸的。若f在任意 $\bar{x}\in M\subseteq R^n$ 处是严格伪凸的，则称f在集合M上是严格伪凸函数。

定义2.4 [15] 设集合M是 $R^n$ 中的非空子集。对于给定的 $x\in M$ ，若存在非负序列 ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i\ge 1}\subset \left(0,+\infty \right)$ ，使得对任意的 $y\in M$ ，当 ${\lambda }_i\downarrow 0$ 时有 $x+{\lambda }_i\left(y-x\right)\in M,i\in N$ ，则称集合 $M\subseteq R^n$ 在 $x\in M$ 处是近凸的。特别地，若集合M在任意 $x\in M$ 处均为近凸的，则称集合M是近凸集。

显然，凸集M是近凸集。若集合M是闭集，则M是近凸集当且仅当集合M是凸集。

3. 混合型对偶理论

设 $M\subseteq R^n$ 是非空近凸集，函数 $f,g_t:R^n\to \bar{R}$ 在 $R^n$ 上是切向凸函数， $g:R^n\to \bar{R}$ 是下半连续真凸函数。问题(P)的可行集和最优解集分别定义为

$F\left(P\right):=\left\{x\in M:g_t\left(x\right)\le 0,\forall t\in T\right\},$

$S\left(P\right):=\left\{x\in F\left(P\right):f\left(x\right)-g\left(x\right)\le f\left(y\right)-g\left(y\right),\forall y\in F\left(P\right)\right\}.$

由于g是下半连续真凸函数，故由(1)式可知 $g^{\ast \ast }=g$ 。从而，由共轭函数的定义可知

$\begin{array}{c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=f\left(x\right)-\underset{x^{\ast }\in \text{dom }{g}^{\ast }}{\sup }\left\{\langle x,x^{\ast }\rangle -g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)\right\}\\ =\underset{x^{\ast }\in \text{dom }{g}^{\ast }}{\inf }\left\{f\left(x\right)-\langle x,x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)\right\}.\end{array}$

因此问题(P)等价于

$\underset{x^{\ast }\in \text{dom }{g}^{\ast }}{\inf }\underset{x\in F(P)}{\text{inf}}\left\{f\left(x\right)-\langle x,x^{*}\rangle +g^{*}\left(x^{*}\right)\right\}.$

令 $x^{\ast }\in \text{dom }{g}^{\ast }$ 。记问题(P)的子问题为

$\left(P_{x^{\ast }}\right)\underset{x\in F\left(P\right)}{\inf }\left\{f\left(x\right)-\langle x,x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)\right\}.$

令 $v\left(P_{x^{\ast }}\right)$ 和 $S\left(P_{x^{\ast }}\right)$ 分别代表问题( $P_{x^{\ast }}$ )的最优值和最优解集。进一步，定义 $h_{x^{\ast }}:R^n\to \bar{R}$ 为

$h_{x^{\ast }}\left(x\right):=f\left(x\right)-\langle x,x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right),\forall x\in R^n.$

令 $x\in F\left(P\right)$ ，记 $\Lambda \left(x\right):=\left\{\lambda \in R_{+}^{\left|T\right|}:{\lambda }_t{g}_t\left(x\right)=0,\forall t\in T\right\}$ 。为了建立强对偶定理，引入如下约束规范条件：

$\left(CQ\right)N_{F\left(P\right)}\left(x\right)\subseteq {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda \left(x\right)}{\cup }\left({\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\lambda }_t}{\partial }_T{g}_t\left(x\right)\right)}+N_M\left(x\right),x\in F\left(P\right).$

命题3.1 设 $F\left(P\right)$ 是近凸集， $\bar{x}\in S\left(P_{x^{\ast }}\right)$ 。若(CQ)条件在 $\bar{x}$ 处成立，则存在 $\lambda \in R_{+}^{\left|T\right|}$ ，使得

$x^{\ast }\in {\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\lambda }_t{\partial }_T{g}_t\left(\bar{x}\right)}+N_M\left(\bar{x}\right),{\lambda }_t{g}_t\left(\bar{x}\right)=0,\forall t\in T.$

证明：设 $\bar{x}\in S\left(P_{x^{\ast }}\right)$ ，由于 $F\left(P\right)$ 为近凸集。因此对任意的 $x\in F\left(P\right)$ ，存在序列 ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i\ge 1}\subset \left(0,+\infty \right)$ ，使得 $i\to +\infty$ 时有 ${\lambda }_i\downarrow 0$ 且 $\bar{x}+{\lambda }_i\left(x-\bar{x}\right)\in F\left(P\right)\left(i\in N\right)$。由于 $\bar{x}\in S\left(P_{x^{\ast }}\right)$ ，因此 $h_{x^{*}}\left(\bar{x}\right)\le h_{x^{*}}\left(\bar{x}+{\lambda }_i\left(x-\bar{x}\right)\right),i\in N$，即

$f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle \le f\left(\bar{x}+{\lambda }_i\left(x-\bar{x}\right)\right)-\langle \bar{x}+{\lambda }_i\left(x-\bar{x}\right),x^{*}\rangle ,i\in N.$

故对任意的 $x\in F\left(P\right)$ 有

即

$f^{\prime }\left(\bar{x},x-\bar{x}\right)-\langle x-\bar{x},x^{\ast }\rangle \ge 0=f^{\prime }\left(\bar{x},\bar{x}-\bar{x}\right)-\langle \bar{x}-\bar{x},x^{\ast }\rangle ,\forall x\in F\left(P\right).$

这说明 $\bar{x}$ 是下述凸优化问题的极小点：

$\begin{array}{l}\min {h^{\prime }}_{x^{\ast }}\left(\bar{x},x-\bar{x}\right),\hfill \\ x\in F\left(P\right).\hfill \end{array}$

由引理2.2可知

$0\in \partial {h^{\prime }}_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\cdot -\bar{x}\right)\left(\bar{x}\right)+N_{F\left(P\right)}\left(\bar{x}\right)={\partial }_T{h}_{x^{\ast }}\left(\bar{x}\right)+N_{F\left(P\right)}\left(\bar{x}\right).$

再结合引理2.1和(CQ)条件可得

$x^{\ast }\in {\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\lambda }_t{\partial }_T{g}_t\left(\bar{x}\right)}+N_M\left(\bar{x}\right),{\lambda }_t{g}_t\left(\bar{x}\right)=0,\forall t\in T.$

对任意的 $x^{*}\in \text{dom }{g}^{*}$ ，定义问题( $P_{x^{\ast }}$ )的Lagrange函数 $L_{x^{*}}:M\times R_{+}^{\left|T\right|}\to \bar{R}$ 为

$L_{x^{*}}\left(x,\lambda \right):=f\left(x\right)-\langle x^{*},x\rangle +g^{*}\left(x^{*}\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\lambda }_t{g}_t}\left(x\right),\forall \left(x,\lambda \right)\in M\times R_{+}^{\left|T\right|}.$

证毕。

注3.1 命题3.1在可行集为近凸集的前提下，给出了问题( $P_{x^{*}}$ )解存在的必要条件，弱化了文献[16]中要求其可行集为凸集的条件。

定义问题( $P_{x^{\ast }}$ )的混合型对偶问题为

$\left(D\right)\{\begin{array}{ll}\underset{x^{*}\in \text{dom }{g}^{*}}{\inf }\underset{\left(x,\lambda ,\mu \right)}{\max }\hfill & L_{x^{*}}\left(x,\lambda \right)\hfill \\ \text{s}\text{.t}\text{.}\hfill & x^{*}\in {\partial }_{T}f(x)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\lambda }_t+{\mu }_t\right){\partial }_T{g}_t\left(x\right)+N_M\left(x\right)}\hfill \\ \hfill & {\mu }_t{g}_t\left(x\right)\ge 0,t\in T\hfill \\ \hfill & \left(x,\lambda ,\mu \right)\in M\times R_{+}^{\left|T\right|}\times R_{+}^{\left|T\right|}\hfill \end{array}$

令 $v\left(D\right)$ 和 $S\left(D\right)$ 表示问题(D)的最优值和最优解集。对任意的 $x^{\ast }\in \text{dom }{g}^{\ast }$ 定义问题(D)的子问题为

$\left(D_{x^{\ast }}\right)\{\begin{array}{ll}\underset{\left(x,\lambda ,\mu \right)}{\max }\hfill & L_{x^{*}}\left(x,\lambda \right)\hfill \\ \text{s}\text{.t}\text{.}\hfill & x^{*}\in {\partial }_{T}f(x)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\lambda }_t+{\mu }_t\right){\partial }_T{g}_t\left(x\right)+N_M\left(x\right)}\hfill \\ \hfill & {\mu }_t{g}_t\left(x\right)\ge 0,t\in T\hfill \\ \hfill & \left(x,\lambda ,\mu \right)\in M\times R_{+}^{\left|T\right|}\times R_{+}^{\left|T\right|}\hfill \end{array}$

令 $v\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 、 $F\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 和 $S\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 分别表示问题( $D_{x^{\ast }}$ )的最优值、可行集和最优解集。特别地，当 $g=0$ 时，有 $\text{dom }{g}^{\ast }=0$ 。记 $L:=L_0$ ，故

$L\left(x,\lambda \right):=f\left(x\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\lambda }_t}{g}_t\left(x\right),\forall \left(x,\lambda \right)\in M\times R_{+}^{\left|T\right|}.$

定理3.1 (弱对偶定理) 设 $x^{\ast }\in \text{dom }{g}^{\ast },x\in F\left(P\right)$ 和 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 。

(i) 若 $x^{\ast }\in \partial g\left(x\right)$ ， $L_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是伪凸的，则 $L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right)\le f\left(x\right)-g\left(x\right)$ ；

(ii) 若 $x^{\ast }\in \partial g\left(x\right)$ ， $L_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是严格伪凸的，则 $L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right)<f\left(x\right)-g\left(x\right)$ 。

证明：设 $x\in F\left(P\right)$ ，则

$g_t\left(x\right)\le 0,\forall t\in T.$ (3)

设 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right)$ ，则存在 $u\in {\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right),v_t\in {\partial }_T{g}_t\left(\bar{x}\right),t\in T$和 $w\in N_M\left(\bar{x}\right)$ 使得

$u+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)v_t}+w=x^{\ast },$ (4)

${\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\mu }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right)\ge 0.$ (5)

从而，由(4)可得

$\langle u+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)v_t}+w-x^{\ast },x-\bar{x}\rangle =0.$ (6)

(i) 用反证法。假设 $L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right)>f\left(x\right)-g\left(x\right)$ ，因此

$f\left(x\right)-g\left(x\right)<f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\lambda }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right).$

由于 $\bar{\lambda },\bar{\mu }\in R_{+}^{\left|T\right|}$ ，因此由(3)式和(5)式可知

${\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)g_t\left(x\right)}\le 0,$

${\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\lambda }}_t{g}_t\left(\bar{x}\right)}\ge 0.$

进而

$f\left(x\right)-g\left(x\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)g_t\left(x\right)}<f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)g_t}\left(\bar{x}\right).$

同时，由于 $x^{\ast }\in \partial g\left(x\right)$ ，由Young等式有 $g\left(x\right)+g^{\ast }\left(g^{\ast }\right)=\langle x,x^{\ast }\rangle$ ，因此

$f\left(x\right)-\langle x,x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)g_t\left(x\right)}<f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)g_t}\left(\bar{x}\right).$

即

$L_{x^{\ast }}\left(x,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)<L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right).$

由于 $L_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是伪凸函数，因此，由定义2.3可知 ${L^{\prime }}_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)\left(\bar{x},x-\bar{x}\right)<0$ 。再由切向次微分定义可得

$\langle u+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)v_t}+w-x^{\ast },x-\bar{x}\rangle <0.$

这与(6)式矛盾，故原结论成立。

(ii) 用反证法。假设 $L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right)\ge f\left(x\right)-g\left(x\right)$ 。先证 $x\ne \bar{x}$ 。由于 $\bar{\mu }\in R_{+}^{\left|T\right|}$ ，再结合(5)式可知，存在 $t\in T$ 使得 $g_t\left(\bar{x}\right)>0$ 。若 $x=\bar{x}$ ，此时由(3)式可知 $g_t\left(x\right)=g_t\left(\bar{x}\right)\le 0$ ，矛盾。因此 $x\ne \bar{x}$ 。类似(i)的证法可知

$L_{x^{\ast }}\left(x,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)\le L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right).$

因为， $L_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在 $\bar{x}$ 处是严格伪凸的，因此，结合 $x\ne \bar{x}$ 可得

${L^{\prime }}_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)\left(\bar{x},x-\bar{x}\right)<0.$

故由切向次微分定义和(6)式可得

$0=\langle u+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)v_t}+w-x^{\ast },x-\bar{x}\rangle <0,$

矛盾。故原结论正确。

定理3.2 (强对偶定理) 设 $\bar{x}\in S\left(P\right)$ ， $\bar{\lambda },\bar{\mu }\in R_{+}^{\left|T\right|}$ 。对任意的 $x^{\ast }\in \partial g\left(\bar{x}\right)$ ，若条件(CQ)在 $\bar{x}$ 处成立，则存在 $\bar{\lambda }+\bar{\mu }\in \Lambda \left(\bar{x}\right)$ ，使得 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 以及 $L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right)=f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)$ 。进一步，若 $L_{x^{\ast }}\left(x,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在 $\bar{x}$ 处是伪凸函数，则 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in S\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 。

证明：设 $\bar{x}\in S\left(P\right)$ ，故

$f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)\le f\left(x\right)-g\left(x\right),\forall x\in F\left(P\right).$

由于 $x^{\ast }\in \partial g\left(\bar{x}\right)$ ，由Young等式有 $g\left(\bar{x}\right)+g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)=\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle$ ，因此

$f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)=f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)\le f\left(x\right)-g\left(x\right).$

结合Young-Fenchel不等式可知

$f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)\le f\left(x\right)-g\left(x\right)\le f\left(x\right)-\langle x,x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right).$

即 $h_{x^{\ast }}\left(\bar{x}\right)\le h_{x^{\ast }}\left(x\right)$ ，故 $\bar{x}\in S\left(P_{x^{\ast }}\right)$ 。再由命题3.1可知存在 $\bar{\lambda }+\bar{\mu }\in \Lambda \left(\bar{x}\right)$ 使得

$x^{*}\in {\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right){\partial }_T{g}_t\left(\bar{x}\right)}+N_M\left(\bar{x}\right).$

由于 $\bar{\lambda },\bar{\mu }\in R_{+}^{\left|T\right|}$ ， $\bar{\lambda }+\bar{\mu }\in \Lambda \left(\bar{x}\right)$ 且 $\bar{x}\in S\left(P\right)\subseteq F\left(P\right)$ ，因此

${\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\lambda }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right)={\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\mu }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right)=0.$ (7)

故 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 。又因为 $x^{\ast }\in \partial g\left(\bar{x}\right)$ ，因此结合(7)式可知

$\begin{array}{c}f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)=f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)\\ =f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\lambda }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right)\\ =L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right).\end{array}$

进一步，由于 $L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在 $\bar{x}$ 处是伪凸函数，故由定理3.1 (i)可得

$L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }\right)=f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)\ge L_{x^{\ast }}\left(y,\lambda \right),\forall \left(y,\lambda ,\mu \right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right).$

因此 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in S\left(D_{x^{\ast }}\right)$ 。证毕。

定理3.3 (逆对偶定理) 设 $\bar{x}\in F\left(P\right),\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right),\bar{\lambda }\in \Lambda \left(\bar{x}\right)$。若存在 $x^{\ast }\in \partial g\left(\bar{x}\right)$ ，使得对任意的 $x\in F\left(P\right)$ ，有 $x^{*}\in \partial g\left(x\right)$ 以及 $L_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是伪凸的，则 $\bar{x}\in S\left(P\right)$ 。

证明：设 $\bar{x}\in F\left(P\right),\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right),\bar{\lambda }\in \Lambda \left(\bar{x}\right)$。因此 $\bar{\mu }\in \Lambda \left(\bar{x}\right)$ ，且

${\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\lambda }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right)={\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }{\bar{\mu }}_t}{g}_t\left(\bar{x}\right)=0.$ (8)

由于 $\left(\bar{x},\bar{\lambda },\bar{\mu }\right)\in F\left(D_{x^{\ast }}\right)$ ，所以存在 $u\in {\partial }_{T}f\left(\bar{x}\right),v_t\in {\partial }_T{g}_t\left(\bar{x}\right),t\in T$和 $w\in N_M\left(\bar{x}\right)$ 使得

$x^{\ast }=u+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)v_t}+w.$ (9)

用反证法。假设 $\bar{x}\notin S\left(P\right)$ ，则存在 $y\in F\left(P\right)$ 使得 $f\left(y\right)-g\left(y\right)<f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)$ 。由于 $\bar{\lambda },\bar{\mu }\in R_{+}^{\left|T\right|}$ ， $g_t\left(y\right)\le 0$ ，因此

$f\left(y\right)-g\left(y\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left(\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)g_t\left(y\right)}<f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right).$

再结合(8)式可得

$f\left(y\right)-g\left(y\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left(\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)g_t\left(y\right)}<f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left(\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)g_t}\left(\bar{x}\right).$

注意到 $x^{\ast }\in \partial g\left(\bar{x}\right)\cap \partial g\left(x\right)$ ，因此由Young等式可得

$f\left(y\right)-\langle y,x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left(\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)g_t\left(y\right)}<f\left(\bar{x}\right)-\langle \bar{x},x^{\ast }\rangle +g^{\ast }\left(x^{\ast }\right)+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left(\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)g_t}\left(\bar{x}\right).$

即

$L_{x^{\ast }}\left(y,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)<L_{x^{\ast }}\left(\bar{x},\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right).$

由于 $L_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处是伪凸的，故 ${L^{\prime }}_{x^{\ast }}\left(\cdot ,\bar{\lambda }+\bar{\mu }\right)\left(\bar{x},y-\bar{x}\right)<0$ 。再由切向次微分定义可知

$\langle u+{\displaystyle \underset{t\in T}{\sum }\left({\bar{\lambda }}_t+{\bar{\mu }}_t\right)v_t}+w-x^{\ast },y-\bar{x}\rangle <0.$

这与(9)式矛盾，因此 $\bar{x}\in S\left(P\right)$ 。证毕。

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