1. 引言

在颗粒系统受到外部冲击作用时，系统内部会形成复杂的颗粒间相互作用机制，进而引发系统宏观力学行为的显著改变。这种动态冲击过程往往伴随着颗粒体系的重新构型以及能量的多尺度耗散，这些微观机制会显著影响颗粒体系的宏观物理特性。对该过程的研究不仅具有重要的科学意义，在工程实践中也具有广泛的应用价值。以落石灾害为例，这种自然灾害在全球范围内具有高发性和破坏性，其冲击作用会引发地表形态的复杂演变过程。为提升对此类灾害的防治能力，相关研究领域近年来取得了突破性进展。自20世纪80年代以来，研究者们逐步建立了基于颗粒流动实验的地质灾害模拟方法，成功再现了滑坡、落石及泥石流等灾害的动力过程[1]-[3]。这类地质灾害本质上是由外部载荷作用下地质体与地表发生冲击作用所引发的，其动力学过程会形成典型的陨石坑结构，并伴随有显著的溅射现象[4]。早期研究主要基于摩擦理论来预测颗粒体系的宏观运动规律，但对颗粒间细观相互作用机制及能量传递过程的研究相对不足。

目前，学术界对单分散颗粒系统中的冲击过程已开展了深入研究，并取得了系列重要成果。研究者们主要通过物理实验和数值模拟相结合的方法，系统研究了冲击过程中的能量传递和介质流动等关键科学问题。其中，地质表面常采用不同材料进行模拟，通过高速冲击实验观察和分析冲击坑的形成机制。Pacheco-Vázquez等人[5]通过实验和数值模拟相结合的方法，系统研究了不同颗粒质量条件下的冲击过程，深入分析了颗粒的运动特性。Simon等人[6]则通过实验和数值模拟研究了冲击坑形态的标度律以及冲击后颗粒的行为特征，提出了适用于不同速度和材料条件下冲击坑形态的通用规律，包括颗粒的运动轨迹和能量分布特征。

从动力学过程来看，冲击发生时能量在极短时间内完成传递和耗散，导致颗粒床内产生复杂的颗粒运动。研究表明，冲击过程可分为三个典型阶段[7]。首先是接触压缩阶段，冲击球与目标材料接触并发生快速压缩，在此阶段冲击球的动能完全传递给目标和冲击球本身。其次是穿透阶段，冲击波和稀疏波依次作用于目标材料，形成先向下再向外的复杂运动场，这一阶段的颗粒运动最为剧烈。最后是坍塌和调整阶段，瞬态冲击坑在重力作用下发生坍塌并最终达到稳定状态。Pica等人[8]通过实验进一步分析了冲击球的受力特征，观察了颗粒床中颗粒的运动规律，并根据冲击球的加速度特征将过程划分为冲击、穿透和坍塌三个阶段。实验结果验证了冲击过程的三阶段理论，并发现冲击球在颗粒运动最复杂的穿透阶段加速度保持恒定。Yang等人[9]的研究进一步发现，穿透阶段存在以零速度为特征的准静态区域，该区域在冲击坑形成时同步产生，并以恒定速度传播。研究表明，准静态区域内的颗粒流动表现为弹性–惯性流动状态，而向外扩展和向内坍塌的颗粒流动则主要表现为惯性流动[10]。需要指出的是，上述研究主要针对单分散颗粒系统，而自然界和工业生产中的颗粒系统大多由不同尺寸的颗粒组成，因此开展多分散系统中冲击过程特性的研究具有更大的科学价值和工程意义。

本文主要采用离散元方法研究三分散颗粒系统在冲击过程中的颗粒动力学行为。该系统表现出与单分散系统相似的一些现象。然而，三分散颗粒系统在不同尺寸颗粒的分布、动能和势能的变化方面也表现出独特的特征。本文的结构如下：第2节介绍了本文使用的数值模型和仿真设置；第3节分析了三分散颗粒系统在冲击过程中的颗粒特性；最后，第4节给出了结论。

2. 仿真方法和参数

本文采用基于离散元法的仿真方法，深入研究了颗粒在冲击过程中的动态行为。该方法能够精确追踪颗粒的运动轨迹，并在模拟过程中考虑颗粒之间复杂的相互作用力[11]。这些相互作用力对于模拟颗粒的真实行为至关重要。为了更好地描述颗粒的碰撞和相互作用，本文采用了非滑动接触力的软球离散元模型，这一模型能够有效处理颗粒间的接触力。颗粒间的接触力和相互作用力通过牛顿第二定律来进行建模[12]，确保了模拟结果的物理一致性。在此模型中，两个颗粒i和j之间的相互作用可以通过以下方程进行表述：

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{m}_i\frac{d{u}_i}{dt}=\underset{j=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\left(F_{cn,ij}+F_{dn,ij}+F_{ct,ij}+F_{dt,ij}\right)+G_i\end{array}\end{array}$ (1)

$\begin{array}{c}{I}_i\frac{d{w}_i}{dt}=\underset{j=1}{\overset{n}{{\displaystyle \sum }}}\left(T_{t,ij}+T_{r,ij}\right)\end{array}$ (2)

其中 $u_i$ 和 $w_i$ 分别表示颗粒的平移速度和角速度。 $m_i$ 表示颗粒的质量， $I_i$ 表示颗粒的转动惯量， $G_i$ 代表颗粒的重力。颗粒i和颗粒j之间的力包括法向接触力 $F_{cn,ij}$ 和切向接触力 $F_{ct,ij}$ ，以及阻尼力 $F_{dn,ij}$ 和 $F_{dt,ij}$ 。两颗粒之间的转矩由两部分组成，分别是切向力 $T_{t,ij}$ 和滚动摩擦力 $T_{r,ij}$ [13]。

2.1. 模型设计和参数

图1展示了本文所用三分散颗粒系统的三维模拟模型。图中，顶部的红色标记物表示冲击球，底部则是颗粒床，颗粒床由三种不同粒径的颗粒组成，分别用棕色、蓝色和绿色表示。x轴和y轴代表颗粒的水平位置，z轴则表示颗粒的垂直位置。坐标轴位于容器中心，正上方的颗粒床位置，方便进行观察和记录。在实验中，涉及了来自不同组别的颗粒。所选颗粒粒径需满足以下几个要求：首先，这些粒径有助于观察撞击后所产生的分层现象，从而便于分析粒径差异对颗粒行为的影响；其次，所选粒径的颗粒便于在仿真操作中进行操作，并且易于处理；此外，颗粒的物理性质需保持一致性，以减少其他因素对实验结果的干扰；最后，选定的粒径接近土壤和砾石的常见直径范围，能够较好地反映实际环境中的不同颗粒尺寸。

图1所示的仿真过程分为两个阶段：

(1) 颗粒床的初始状态。三种不同粒径的颗粒随机填充到一个长250 mm、宽200 mm、高50 mm的矩形容器中。在重力加速度为9.81 m/s²的作用下，颗粒逐渐沉降。最终，形成一个高度在20 mm到30 mm之间的混合颗粒床。

(2) 冲击过程。一个直径为30 mm，密度为1202.5 kg/m³的冲击球位于颗粒床上方500 mm的位置。使其自由下落，初始速度为3.13 m/s，最终撞击到颗粒床。在整个冲击过程中，重点研究颗粒之间的相互作用以及能量传递的过程。

Figure 1. Tridisperse particle system

图1. 三分散颗粒系统

Table 1. Simulation parameters

表1. 仿真参数

在整个实验中涉及了多种粒径颗粒，分别为1 mm，1.5 mm，2 mm，2.5 mm，3 mm。为了获得较好的实验结果，在其中选择三种不同粒径的颗粒来组成三分散颗粒系统，并分别进行分组实验并进行对比。选择这些粒径的原因如下：首先，这些粒径差异足够大，能够观察到明显的分层现象，便于分析粒径差异对颗粒行为的影响；其次，这些粒径接近实际环境中的颗粒尺寸，如土壤、砾石，能够较好地反映自然界和工业中的多分散颗粒系统；最后，所选粒径的颗粒在仿真操作中易于处理，且能够保证模拟的稳定性和准确性。并且在实验过程中发现，在不改变冲击球大小的情况下，当颗粒最大粒径大于3 mm时，准静止区域的界限变得十分模糊，所以在本文中不予考虑。整个仿真过程中其余物理参数列于表1，参数值根据实际物理模型设定与相关单分散颗粒系统实验[9]，以更准确地反映颗粒间的碰撞和反弹特性，从而确保仿真结果的可靠性。

2.2. 模型设计和参数

当冲击球以一定的初速度撞击颗粒床时，冲击能量以圆形波的形式从接触点向外扩散，形成明显的冲击区域。为了简化分析，研究选取了冲击区域的四分之一作为研究对象。这一区域不仅具有高度的对称性，还能全面反映冲击过程中颗粒的动态行为，其现象与整个冲击区域的其他部分高度一致，因此具有充分的代表性。图2展示了一个三分散颗粒系统在冲击作用下的动态响应。为了清晰区分颗粒的运动状态，图中采用颜色编码：红色标记了速度最大的颗粒，这些颗粒通常位于冲击波的前沿，具有最高的动能；蓝色标记了速度最小的颗粒，它们多分布在冲击区域的边缘或准静止区域，运动较为缓慢；其余颗粒则用绿色表示，它们的速度介于两者之间。此外，颗粒上的箭头直观地表示了其速度的方向，进一步揭示了颗粒运动的趋势和规律。实验以冲击球刚接触颗粒床的瞬间为时间零点，冲击能量迅速传递到颗粒床中，导致颗粒开始剧烈运动。在冲击初期，颗粒因获得足够的动能而径向扩展，部分颗粒甚至从颗粒床表面喷射出去，形成飞溅现象。随着时间的推移，颗粒的运动逐渐分化：远离冲击坑的颗粒在惯性作用下继续向外扩散，而靠近冲击坑的颗粒则因重力作用和颗粒间的相互作用开始向内坍塌，形成明显的回流现象。最终，颗粒床在冲击能量耗散后趋于稳定，形成一个环形区域，称为准静止区域。该区域内的颗粒速度为零，处于相对静止状态。在图2中，准静态区域由两条虚线明确标出，两条虚线之间的距离即为准静态带的宽度。

Figure 2. Impact results of the tridisperse particle system

图2. 三分散颗粒系统的冲击结果

3. 结论和分析

3.1. 不同粒径颗粒的分布

在颗粒床的动态响应中，依据颗粒在冲击过程中的空间分布特征，可以辨识出两个显著的区域：飞溅区域与坍塌区域。飞溅区域是颗粒因冲击作用而获得足够动能，从而从颗粒床表面垂直跃起并向四周散射的区域，这些颗粒已突破了颗粒床的束缚，进入了自由运动状态。而坍塌区域则是指颗粒床在冲击力作用下发生结构性失稳，导致颗粒集体下沉的区域。在此区域内，颗粒沿着因冲击形成的凹陷轨迹，持续地向颗粒床的深处滑落，直至达到新的平衡位置。由于不同组别的三分散颗粒系统在本节实验中具有相似的结论，所以选用粒径分别为1 mm，1.5 mm以及2 mm的三分散颗粒系统作为代表进行描述和分析。下图3详细描绘了从冲击初始阶段直至系统达到静止状态的整个过程中，坍塌区域内三种不同粒径颗粒的动态分离现象。在这一过程中，粒径为1 mm的颗粒以绿色标识，粒径为2 mm的颗粒则以棕色标记，而介于两者之间的粒径为1.5 mm的颗粒，用蓝色加以区分。通过这三种颜色的对比，可以清晰地观察到颗粒粒径差异对分离行为的显著影响，这一可视化分析不仅增强了我们对颗粒分离机制的理解，也为相关领域的研究提供了直观的实验依据。

Figure 3. Segregation phenomenon during impact

图3. 冲击过程中的分离现象

在20 ms时，冲击球撞击颗粒床，颗粒床内部的颗粒获得动能并向外飞溅，导致颗粒随机分布，如图3(a)所示。随着时间的推移，颗粒床内部开始发生坍塌现象。如图3(b)所示，在50 ms时，2 mm颗粒开始朝着冲击坑附近聚集，其余颗粒则倾向于向外运动。这一现象可以通过大颗粒聚集机制来解释：由于大颗粒质量较大，惯性较强，冲击过程中动能传递较慢，导致其倾向于停留在冲击中心区域，吸收更多能量。此外，大颗粒之间的相互作用力也限制了其向外扩散。在90 ms时，颗粒床的分离现象愈发明显，不同粒径的颗粒在空间中表现出明显的聚集和分布差异。为了更清晰地分析颗粒的分离现象，实验中将整个空间划分为三个区域：S1、S2和S3。2 mm颗粒主要集中在冲击坑附近的S1区域，这一现象的原因在于2 mm颗粒的惯性较大，响应冲击的速度较慢，因此它们更容易聚集在冲击坑的中心区域。与此相反，1 mm颗粒则趋向于远离冲击中心，主要分布在坍塌区域的外围，即S3区域。1 mm颗粒由于质量较小、动能较大，在冲击过程中表现出较强的向外扩散趋势。这符合小颗粒飞溅机制：小颗粒质量较小，惯性较弱，容易受到冲击能量的驱动而向外扩散。1.5 mm颗粒则主要集中在S2以及S3区域，它们的分布介于2 mm和1 mm颗粒之间，呈现出较为复杂的分布行为，既受到惯性的影响，又受到颗粒间相互作用力的作用[14]。这种分布行为反映了中等颗粒分布机制：中等颗粒的分布介于大颗粒和小颗粒之间，既受到惯性的影响，也受到颗粒间相互作用力的制约，其分布行为反映了能量传递的中间状态。

为了进一步验证上述结论，本文统计并分析了每个区域中不同粒径颗粒的数量分布，结果如图4所示。图中，x轴代表了S1至S3这3个区域，y轴代表了该区域内三种粒径颗粒的数目。其中，1 mm颗粒在三个区域内的数量用蓝色表示，1.5 mm颗粒的数量用浅蓝色表示，2 mm颗粒的数量用橙色表示。从图中可以看出，1 mm颗粒在S1区域的数量最多，达到约9000个，而在S3区域的数量最少，约为2000个。1.5 mm颗粒在S2区域以及S3区域的数量最多，约为6000个，而在S1区域的数量相对较少。2 mm颗粒在S3区域的数量最多，约为5000个，而在S1区域的数量最少，约为1000个。根据这些数据表明，不同粒径的颗粒在不同区域中的分布存在显著差异。大颗粒由于较大的质量，因此惯性也比较大。当冲击球撞击颗粒床时，大颗粒由于惯性较大，响应冲击的速度较慢，不容易被迅速抛射到远处。相反，它们更倾向于停留在冲击坑附近，形成聚集。较小粒径的颗粒在冲击过程中趋向于向外运动或者填充至较大粒径颗粒的空隙之中。这是由于小颗粒由于质量较小，容易被抛射到更远的地方。中等粒径颗粒既不像大粒径颗粒那样因惯性大而主要停留在S1区域，也不像小粒径颗粒那样因惯性小而容易被抛射到S3区域。因此，它们更倾向于分布在S2区域，同时在S3区域也有一定的分布。这种分布模式反映了中等粒径颗粒在惯性、能量传递和颗粒间相互作用等方面的平衡特性。

Figure 4. Number distribution of particles with different diameters in regions S1~S3

图4. 不同粒径颗粒在S1~S3区域内的数目分布

3.2. 颗粒的能量变化

在冲击过程中，颗粒的分布现象与其能量变化密切相关。不同粒径颗粒在冲击过程中的空间分布差异不仅反映了颗粒的惯性特性，还决定了颗粒的能量传递和耗散方式。接下来，我们将进一步分析不同粒径颗粒在冲击过程中的动能和势能变化，以揭示颗粒行为的动力学机制。本节将系统研究不同粒径颗粒的三分散颗粒系统在撞击过程中的能量特性，重点分析颗粒动能和势能的动态变化规律。实验采用三分散颗粒系统，共设计了三组不同粒径组合：第一组为1 mm、1.5 mm和2 mm；第二组为1 mm、2 mm和2.5 mm；第三组为1 mm、2 mm和3 mm。选择这些组合的原因如下几点：首先，粒径差异逐渐增大，便于观察粒径对颗粒行为的影响；其次，覆盖了1 mm到3 mm的常见颗粒范围，能够反映自然和工业中的多分散系统；最后，通过固定1 mm和2 mm颗粒，逐步增加第三组粒径，系统研究粒径差异对能量传递和分布的影响，为科学研究和工程应用提供理论支持。

图5展示了三分散颗粒系统中不同粒径颗粒的平均动能随时间的变化规律。图中，绿色、蓝色和红色曲线分别表示最小、中等和最大粒径颗粒的平均动能变化。x轴代表时间，y轴代表各粒径颗粒的平均动能。在20 ms时，冲击球撞击颗粒床，将自身能量扩散至颗粒系统中。实验结果表明，最大粒径颗粒由于具有更大的质量和接触面积，能够吸收更多的能量，因此其初始动能显著高于中等和最小粒径颗粒[15]。具体而言，在图5(a)中，当大颗粒粒径为2 mm时，其初始动能约为7.4 × 10⁻⁷ J；在(b)中，粒径增大至2.5 mm时，初始动能增加至7.8 × 10⁻⁷ J；在(c)中，粒径进一步增大至3 mm时，初始动能继续增加至8.3 × 10⁻⁷ J。这一变化趋势表明，最大粒径颗粒的初始动能与其粒径大小呈正相关关系。

Figure 5. Variation of average kinetic energy of particles with different sizes over time in tridisperse particle system

图5. 三分散颗粒系统中不同粒径颗粒的平均动能随时间的变化规律

相比之下，中等粒径颗粒会存在于大粒径颗粒的空隙中，其获得的初始动能较大粒径颗粒更低，且随着大颗粒粒径的增大而逐步降低。最小粒径颗粒由于质量最小，主要填充在大粒径和中等粒径颗粒的间隙中，与冲击球的接触面积最小，因此具有最低的初始动能。随着大颗粒粒径的增大，最小粒径颗粒的初始动能呈现进一步降低的趋势。这一实验结果进一步验证了颗粒系统中能量传递的粒径依赖性：最大粒径颗粒由于具有更大的接触面积和质量优势，能够优先吸收冲击能量；中等粒径颗粒作为次级能量吸收体，其动能吸收能力介于最大和最小粒径颗粒之间；而最小粒径颗粒由于空间分布特性，往往处于能量传递链的末端，获得能量最少。当时间达到100 ms后，各粒径颗粒的动能趋于稳定，没有明显的变化。但是，可以注意到的是它们的平均动能并没有减少到0。这是因为在100 ms之后，大多数的颗粒已经达到了静止状态，但仍存在少量颗粒继续运动。为进一步探究颗粒运动的动力学行为，揭示不同粒径颗粒的能量变化规律，下面将针对不同粒径的单个颗粒进行详细分析，重点研究其动能和势能的动态变化过程。

由于各组实验的分析结果呈现出一致性趋势，因此本研究选取其中一组具有代表性的实验数据进行详细讨论与分析。图6展示了大中小粒径颗粒的动能和势能随时间的变化情况。小粒径颗粒的动能势能用绿色表示，中等粒径颗粒的动能势能用蓝色表示，大粒径颗粒的动能势能用红色表示。x轴代表时间，y轴代表颗粒的能量水平。在图6(a)~(c)中，展示了不同粒径颗粒的动能变化。在初始时刻，各粒径颗粒获得初始动能并向外飞溅。经过一段时间后，颗粒达到飞溅的最高点。此时，颗粒的垂直速度降为零，但由于水平速度仍然存在，颗粒的动能并未完全消失。随后，颗粒开始向颗粒床下落，其动能逐渐增加。具体来看，小粒径颗粒在约185 ms时首次落回颗粒床，中等粒径颗粒在约170 ms时落回，而大粒径颗粒则在约150 ms时落回。这表明，在同一组实验中，随着颗粒粒径的增大，颗粒首次落回颗粒床的时间逐渐缩短。这一现象的原因在于，颗粒粒径越大，其质量也越大，受到冲击后飞溅的高度普遍较低，因此更快落回颗粒床。在后续的运动过程中，可以观察到较小粒径颗粒由于其较低的质量和惯性，在下落过程中将部分动能转化为弹性势能，随后又转化为动能。此外，恢复系数以及颗粒间的相互作用力也促成了这一现象，使得较小粒径颗粒能够保留部分动能。因此，较小粒径颗粒能够获得足够的能量，在约200 ms时再次飞溅并落回颗粒床，直到其能量完全耗散。相比之下，较大粒径颗粒在首次落回颗粒床后，由于惯性作用，会发生轻微的弹起并再次落回，最终能量逐渐耗散至零。这一过程表明，粒径较大的颗粒由于其较大的质量和惯性，难以像小粒径颗粒那样通过能量转化实现多次飞溅，而是更快地达到静止状态。

图6(d)~(f)展示了不同粒径势能的变化。各颗粒的势能值为负。这是因为零势能面被设置在颗粒床的上方(即坐标系所在位置)，以便于数据的统计和分析，如图1所示。在飞溅的过程中，颗粒的最大高度通常并不会高于零势能面，因此数据的势能呈现为负值。在图中可以清晰的观察到，随着颗粒粒径的增大，较小粒径的颗粒经历了多次飞溅，导致其出现了多个明显的峰值。相比之下，最大粒径的颗粒几乎不存在第二个峰值，代表其在整个冲击过程中基本只经历一次飞溅。

Figure 6. Variation of kinetic energy and potential energy of three different-sized particles over time

图6. 三种不同粒径颗粒的动能和势能随时间的变化

4. 总结

本文研究了三分散粒子系统在冲击过程中的动力学特性。研究结果表明，颗粒粒径的差异显著影响了系统的能量传递和颗粒分布。大粒径颗粒由于质量较大，倾向于聚集在冲击中心区域，吸收更多的能量，而小粒径颗粒则由于质量较小，更容易向外扩散，表现出多次飞溅现象。中等粒径颗粒的分布介于两者之间，受到惯性和颗粒间相互作用力的共同影响。能量分析表明，大粒径颗粒在冲击初期吸收更多的动能，而小粒径颗粒则通过多次飞溅和能量转化保持较长时间的动态行为。此外，研究还揭示了颗粒的动能和势能在冲击过程中的动态变化规律，进一步验证了颗粒粒径对能量耗散方式的影响。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献