1. 引言

随着新质生产力的兴起，科技创新更是成为了社会发展的重中之重，光子因为没有相互作用的特性，与电子相比，具有传输速度快、存储容量大、损耗低、效率高等特点，因而在工业生产中具有更为显著的优势。尽管光学中衍射极限的存在限制着传统光学系统的分辨率，致使聚焦半宽无法小于半个波长。但是一旦突破了这种限制，光学在很多领域将有更广泛的应用，带来更高的商业利益。因而，打破衍射极限的壁垒，实现超高分辨率的聚焦和成像的研究热度仍旧很高。

负折射现象在1968年就已经被苏联科学家V.G.Veselago所预测[1]，Pendry证明了负折射率材料能够突破传统透镜固有的衍射极限实现完美成像[2]，随着人工研制的两种负折射率材料相继问世，一种是金属裂环谐振器与导线组成的二维周期性阵列[3] [4]，这种结构因为较窄的工作频带和严重的金属损耗限制了其在光学领域的应用，另一种材料就是光子晶体，这是由E.Yablonovitch [5]和S.John [6]分别提出来的一种新的概念和新型材料，它有一个独特特性就是可以根据器件或者设计的需要来控制光子的运动。

光子晶体概念在1987年首次提出后，大部分关于光子晶体的研究主要是基于它具有光子带隙的特性，如光子晶体光纤[7]、光子晶体激光器[8]、滤波器[9]、光子晶体微腔[10]等，大大推动了光子晶体器件的发展。随着M.Notomi分析了光子晶体负折射现象，将光子晶体的表面与衍射光栅进行比较，提出可以将光子晶体看作一个“等效负折射率”材料进行研究[11]。Luo发现光子晶体可以实现负折射和亚波长成像，由于光子晶体的有效折射率限定了发生负折射的频率范围，导致了一个入射角只对应一个负折射光束，所以他们研究了全角度的负折射现象[12] [13]。

另外，在亚波长聚焦领域有大量实验研究表明，透明的电介质微球体能够将光聚焦到亚衍射极限尺寸内，并且形成光子射流的，将光集中在光子束中[14]-[16]。Lee的实验证实直径大小与波长差不多的微球透镜能够在近场区域发生聚焦[17]。Guo基于Mie理论验证了单个电介质微球近场聚焦能力，产生了超过衍射极限的近场焦斑，最小焦斑的半宽值为1/3 λ [18]。尽管微球具有非常优秀的超分辨能力，利用介质微球来实现亚波长聚焦已经成为突破衍射极限最简单高效的方法之一[19] [20]，但是它所聚焦的光斑大多位于近场区域，在许多实际应用中不便于直接应用。

本文在二维光子晶体的基础上，引入半个椭圆透镜与平凸透镜组合结构的新型组合微透镜，基于光子晶体的负折射效应以及组合微透镜的高性能亚波长聚焦特性，实现焦点半宽小于半个波长的远场亚波长聚焦，并在此基础上通过调整组合微透镜与光子晶体的位置关系以及改变环境温度组成可调焦的系统。考虑到光子晶体的基底材料是硅，为了降低加工难度，采用与光子晶体同样材料的硅微透镜，半个椭圆与平凸透镜结合的新型组合硅微透镜将两者的优势相结合，具有优秀的亚波长聚焦能力的同时将入射光聚焦于出射面外的近场，再借助光子晶体的负折射效应把组合微透镜在近场的焦斑传播的更远。在此基础上，通过在光子晶体下边缘切割空气孔、上斜面边缘加设以及设置梯度折射率光子晶体对整体的系统进行优化，焦点半宽达到0.3257λ。之后通过调整组合微透镜与光子晶体下表面之间的距离，以及改变环境温度的方式，改善聚焦效果，进一步减小焦点半宽。

2. 模型设计与原理

本文采用单个微球透镜的亚波长聚焦特性，尽管二氧化硅微球透镜拥有良好的聚焦能力，但考虑到后续的工艺难度，改用折射率为3.42的硅所制成的硅微球透镜。相较于二氧化硅微球透镜，硅微球透镜的折射率较高、焦距较小，采用平行光束入射硅微球透镜时会在球内聚焦，如图1(a)所示，因此为了将入射的平行光束在微球表面或者球外聚焦，在保证透镜宽度不变的条件下，尝试改变透镜的结构，沿着光入射的方向将硅透镜压缩，如图1(b)、图1(c)所示，并探讨了微透镜不同结构对聚焦效果的影响。

(a)

(b)

(c)

Figure 1. (a) Focused light path of a silicon microsphere lens; (b) Focused light path of a silicon biconvex lens; (c) Focused light path of a silicon elliptical lens

图1. (a) 硅微球透镜的聚焦光路；(b) 硅双凸透镜的聚焦光路；(c) 硅椭圆透镜的聚焦光路

为了探索经过不同形状的微透镜形成的光斑如何进入光子晶体，并最终影响整个系统的成像质量，我们将宽度为2R且强度相同的平行光分别入射双凸透镜和椭圆透镜，其中双凸透镜宽度为2R，前后曲率半径C_R = C*R，其中R是基准曲率半径，C是曲率变化系数，椭圆硅透镜的长轴为2S_A (S_A = R)，短轴为2S_B (S_B = B*R)，在保持平行光宽度、双凸透镜宽度与椭圆透镜长轴均为2R且不变的情况下，通过改变双凸透镜的曲率变化系数与椭圆透镜的短轴来改变透镜厚度，并观察不同透镜的成像情况。根据仿真数据绘制了图2，聚焦位置距离出射面的距离(外侧为+，内侧为−)和焦点的半宽大小变化，其中横坐标代表了双凸透镜前后曲率半径的变化参数C、椭圆透镜短轴的变化参数B，蓝色坐标轴反映的是焦点距透镜出射面的垂直距离，红色坐标轴则反映的是每种曲率半径变化下焦点的半宽值。

(a)

(b)

Figure 2. (a) Imaging of biconvex lenses with different radii of curvature; (b) Imaging of elliptical lenses with different short axes

图2. (a) 不同曲率半径的双凸透镜的成像情况；(b) 不同短轴的椭圆透镜的成像情况

从图中可以看到，双凸透镜在曲率半径较小时，半宽相对较小，但光线经常汇聚在透镜内部，曲率半径越大，焦点离出射面越来越远，同时光束也越来越发散。椭圆透镜在短轴不断增大的过程中，焦点离出射面越来越近，同时光束也越来越聚焦，但相较于双凸透镜，焦点总体半宽较大，但是光线都能汇聚在椭圆透镜外部。考虑到光线汇聚在透镜内部，这种情况并不符合成像透镜的实际应用要求，但实际应用中又希望光束聚焦效果尽可能好。

Figure 3. Combined silicon lens structure combining half elliptical lens and plano-convex lens

图3. 半个椭圆透镜与平凸透镜相结合的组合硅透镜结构

因而，均衡考量聚焦位置和焦点半宽两个因素，我们选取双凸透镜的一半，即平凸透镜，与椭圆透镜的一半相结合，形成新的组合硅透镜结构，如图3所示，将平凸透镜应用于入射面，将半个椭圆透镜应用于出射面，而后通过控制变量实验不断优化透镜结构中的各项参数，以达到入射光良好地聚焦在出射面外的近场的效果。其中，平行光宽度为2R (R = 3a, a = 482 nm)，入射面的凸透镜宽度为2R，曲率半径选取C_R = 1.16*R，出射面的椭圆透镜长轴2S_A (S_A = R)，短轴2S_B选取S_B = 0.53*R，此时焦点位于出射面外0.02 μm处，半宽为0.1814λ，在透镜的近场呈现优秀的亚波长成像，为了提高实际应用中远场的亚波长成像和小半宽聚焦的效果，尝试加入拥有负折射效应的光子晶体结构。

本文采用折射率n₀ = 3.42的硅做基底的空气柱型二维光子晶体，其中空气孔呈正六边形排布，晶格结构常数a = 482 nm，如图4所示，将空气孔初始直径设为D = 0.8*a，基准曲率半径R = n3*a，且光子晶体折射率均匀的情况下，选用λ = 1550 nm的入射波长。在研究各种光子晶体结构中的负折射效应和亚波长聚焦情况时，普遍会使用光子带结构和等频图的分析方法，本文使用RsoftCAD中的BandSLOVE模块(基于平面波展开法，PWEM)对光子晶体进行数值模拟分析，得到了光子晶体的第一光子带隙的等频图。

Figure 4. Schematic structure of air-column type 2D photonic crystal

图4. 空气柱型二维光子晶体结构示意图

从图5中看到等频面呈现为环形，其中K_x和K_z分别表示波矢K在X和Z方向上的分量，光子晶体表现为各向同性，等频线的频率从内而外逐渐变小，而波矢K逐渐增大(方向为波传播的方向，大小为 $2\pi /\lambda$ ，λ为点源的波长)这就表明TE波在此种光子晶体第一光子带隙中的群速度与相速度相反，波矢K和坡印廷矢量 $S$ 的点乘为负，也就是说此时波长λ = 1550 nm的光在光子晶体结构中可以实现负折射传播。此时，角频率对应于 ${\omega }_0=0.311\times 2\pi c/a$ (c为真空中的光速)，从图中可以计算出此时波矢K的值，

$K=\sqrt{K_x^2+K_z^2}=5.7834$ 。根据公式 $K=\frac{\omega }{c}*n_{eff}$ 和归一化频率 $f=\frac{\omega a}{2\pi c}=\frac{a}{\lambda }$ 可以得到空气孔柱直径D = 0.8*a时，光子晶体的等效折射率 $n_{eff}=\frac{K\lambda }{2\pi }=-1.4268$ 。

Figure 5. Isofrequency diagram of TE polarised light in the first photonic bandgap of a photonic crystal

图5. TE偏振光在光子晶体第一光子带隙等频图

根据Pendry的完美透镜理论[2]，等效折射率为−1的透镜可以弥补传播波的相位，成像不存在像差，光子晶体表现出亚波长的聚焦特性。因此只需要保持波长λ = 1550 nm，连续不断改变空气孔柱的直径D = m*a便可以得到与之对应的等效折射率，通过Rsoft软件进行数值模拟，如图6所示。经过计算和拟合，可以得出基于硅基底的空气孔型光子晶体的空气孔大小变化倍数m在0.6~0.8范围内变化时，即空气孔柱直径在0.2892~0.3856 μm范围内变化时，对应的等效折射率−0.6966~−1.4268。使用matlab拟合得到 $n_{eff}$ 与m之间的关系式 $n_{eff}=-10.6235m^2+11.2884m-3.6511$ ，计算得到当空气孔柱的直径D为0.712*a = 0.343 μm时，此时光子晶体的等效折射率恰好为−1。

为了进一步优化系统的聚焦特性，我们在楔形光子晶体上斜面边缘引入了等周期的防反射光栅结构，使更多倏失波分量被耦合进光子晶体中，同时发现切削加工光子晶体的下边缘空气孔可以提高图像质量，有效地提高光能量的透过率，实现像点半宽的减小，结构如图7所示。

Figure 6. Equivalent refractive indices corresponding to successive changes in air pore size by a multiple of m

图6. 连续改变空气孔大小变化倍数m对应的等效折射率

Figure 7. Schematic diagram of the optimised structure of an air-column type 2D photonic crystal with silicon lenses

图7. 空气柱型二维光子晶体与硅透镜结构优化后的示意图

我们将优化前后的三种系统结构进行仿真结果比较，如图8所示，其中黑色模式0表示未添加防反射光栅且未切割下边缘空气孔的初始结构，并定义左下角第一个空气孔的中心为(0, 0)，红色模式1代表着光子晶体的下边缘切割5%的空气孔的结构，蓝色模式2代表着下边缘切割5%的空气孔的同时上斜面边缘加设周期为a的等周期防反射光栅的结构，光栅参数为w₁ = 0.7a，w₂ = 0.8a，h₁ = 0.513a，h₂ = 0.963a。针对三种模式，分别改变入射光的横坐标位置，观察焦点的半宽大小，仿真数据表明在光子晶体上边缘加设等周期防反射光栅与切割下表面空气孔都能有效地减小半宽。

Figure 8. Effect of adding a grating to the upper edge of the photonic crystal versus cutting the air holes on the lower surface on the half widths

图8. 在光子晶体上边缘加设光栅与切割下表面空气孔对半宽的影响

(a)

(b)

Figure 9. (a) Photonic crystals with continuously varying air-hole diameters; (b) Distribution of air orifice row diameter change patterns

图9. (a) 空气孔直径连续变化的光子晶体；(b) 空气孔排直径变化模式分布图

在传统的透镜成像利用透镜表面的曲率，产生光程差使得光线聚焦成一点，二维光子晶体则是将光线在折射率不同的材料中偏折而聚焦到一点，并且入射光经过内部折射率不均匀的光子晶体时会产生焦移，X. Huang [21]，Y. Huang [22]等人的研究就利用这一现象分别在光子晶体的不同方向上设置了梯度渐变折射率，实现了可变焦的亚波长聚焦效果。因此本文设计了空气孔直径不同变化的方案，使得光线在光子晶体中产生一定的焦移补偿，从而实现出射光线平滑且连续聚焦到一点。

(a)

(b)

Figure 10. (a) Simulation of air pore row diameter change model 0; (b) Simulation of air pore row diameter change model 4

图10. (a) 空气孔排直径变化模式0的仿真图；(b) 空气孔排直径变化模式4的仿真图

本文设定了空气孔直径变化的30列60˚斜向上的空气孔排，分别为P1~P30，其代表在横向上的每一列60˚倾斜的空气孔直径的变化倍数为 $p_i\left(i=1,2,3,\cdots ,30\right)$ ，如图9所示，我们尝试了空气孔排直径变化倍数各类不同变化的情况，发现直径先增后减的空气孔排的变化模式对于亚波长聚焦的性能起到了很好的改善效果，如图10，其中模式4的聚焦情况最好，半宽达到了0.3257λ，相较于直径没有变化的模式0而言，半宽减小了4.23%，同时聚焦情况也更好，聚焦效果趋近于正圆。

为了进一步探讨并优化系统的调焦情况，选取入射面的平凸透镜宽度为2R，曲率半径C_R = 1.16*R，出射面的椭圆透镜长轴2*S_A (S_A = R)，短轴2*S_B (S_B = 0.53*R)，组合成的新型组合微透镜结构，采用等效折射率为−1时候的空气孔直径大小即D = 0.712*a，下边缘切割5%的空气孔并且上斜面边缘加设周期为a的等周期防反射光栅，光栅参数为w₁ = 0.7a，w₂ = 0.8a，h₁ = 0.513a，h₂ = 0.963a，并采用模式4的空气孔排变化模式，此时焦点半宽达到了0.3257λ，接下来通过调整组合微透镜与光子晶体下表面之间的距离，以及改变环境温度的方式，进一步优化可调焦系统。

3. 模型仿真与结果讨论

本文使用RsoftCAD软件里的FullWAVE模块来模拟成像过程，设置理想匹配层厚度为0.5 µm，网格精度收敛为0.02 µm，保持室温为25℃，组合硅透镜出射面与光子晶体下表面距离为 $d^{\prime }$ ，在距离硅透镜结构的正下方0.70 µm处放置波长为1550 nm，能量为1 a.u.，光源宽度为2R的平行光束，通过调整组合微透镜与光子晶体的位置关系，探究焦点的成像特性。

光源经过组合微透镜聚焦后，恰好在出射面聚焦，为避免焦点进入光子晶体内部，我们预留一定的距离，从0.10 µm开始改变组合微透镜出射面与光子晶体下表面距离为d′，如图11所示，在系统其他参数保持不变的情况下，经过Rsoft仿真探测器监测了d′在0.10 µm到1.00 µm范围内移动时的焦点半宽大小，实验发现 $d^{\prime }$ 在0.15 µm到0.30 µm范围内移动时的焦点半宽大小变化不大，在d′ = 0.23 µm时得到半宽最小为0.3058λ，在0.30 µm之后焦点半宽逐渐增大。

(a)

(b)

Figure 11. (a) Effect of the change of d′ on the half-width of the focal point; (b) half-width of the focal point at d′ = 0.23 µm

图11. (a) d′的改变对于焦点半宽的影响；(b) d′ = 0.23 µm时焦点的半宽

本文采用折射率为3.42的硅做基底的空气柱型二维光子晶体，由于热光效应，当光子晶体工作环境的温度变化时，硅的折射率会随之变化，同时也会影响光子晶体等效折射率的变化，光子晶体和组合微透镜都会产生热光效应[23] [24]，硅的折射率可表达为 $n=n_0+\alpha n_0\Delta T$ ，其中α为介质的热光系数，α = 1.86 × 10⁻⁴/℃，n₀ = 3.42是室温25℃时硅的折射率。保持系统的其他参数不变，采用等效折射率近似−1时的空气孔直径大小即D = 0.712*a，改变温度进行仿真，得到温度变化对光子晶体等效折射率的影响，如图12所示，可以看出当温度逐渐升高时，光子晶体等效折射率从−1逐渐增大。

Figure 12. Effect of temperature variation on equivalent refractive index of photonic crystal

图12. 温度变化对光子晶体等效折射率的影响

Figure 13. Effect of temperature variation on focus half-widths

图13. 温度变化对焦点半宽的影响

我们发现可以通过改变环境温度来改变光子晶体的等效折射率，以此达到改变聚焦效果不理想的焦点的聚焦情况，于是分别以 $d^{\prime }=0.23\text{ μm}$ 、 $d^{\prime }=0.30\text{ μm}$ 、 $d^{\prime }=0.40\text{ μm}$ 、 $d^{\prime }=0.50\text{ μm}$ 这四种情况为例，改变温度从−75℃到125℃，间隔10℃变化，得到四种情况下，焦点变化如图13所示，在 $d^{\prime }=0.23\text{ μm}$ 的情况下，当温度不断升高时，焦点半宽先减小后变大，在温度为5℃时，得到焦点半宽为0.2872λ，相较于25℃时半宽为0.3058λ的时候，减小了6.08%。我们发现这四种情况，相较于25℃室温的情况下，都能通过改变环境温度达到半宽减小的效果，以 $d^{\prime }=0.30\text{ μm}$ 为例，在温度为−15℃时，半宽相较于25℃的情况下，从0.3290λ减小到0.2818λ，减小了19.87%，在−15℃ ± 20℃的范围内，半宽都能保持在0.30λ以下，具有一定的温度稳定性。同时在实际应用中可以在不改变系统结构的情况下，通过适当调节环境温度，可以达到进一步减小焦点半宽的效果。

4. 总结与讨论

本文提出一种基于微透镜和光子晶体的可调焦亚波长成像系统，将微透镜引入负折射光子晶体的结构中，突破衍射极限在远场实现超小半宽的亚波长聚焦。本文首先研究了单个硅微球的亚波长聚焦特性，提出一种将半个椭圆透镜与平凸透镜相结合的新型组合硅微球透镜，将两者的优势相结合，使得入射光能够保持在出射面外部形成良好的亚波长聚焦。接着将组合微透镜引入光子晶体构成系统，利用组合微透镜优秀的亚波长聚焦的能力，可以将入射光聚焦于出射面外的近场，借助光子晶体的负折射效应把组合微透镜在近场的焦斑传播得更远，再通过在光子晶体下边缘切割空气孔、上斜面边缘加设等周期防反射光栅以及设置梯度折射率光子晶体对整体的系统进行优化，使得焦点半宽达到0.3257λ。随后通过调整组合微透镜与光子晶体下表面距离，进一步减小了6.1%的半宽，达到0.3058λ，同时通过调整环境温度来改变光子晶体的等效折射率，进而改善聚焦效果，并使得焦点半宽进一步减小到0.2818λ，实现了良好的亚波长聚焦效果。本文提出的基于负折射光子晶体和微透镜的聚焦系统，能够打破衍射极限的壁垒，实现超小半宽的亚波长聚焦，这将对半导体光刻工艺、光信息存储、共聚焦显微技术等光学领域做出一定的贡献。

基金项目

国家自然科学基金(61975122)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献