1. 引言

雾化技术被广泛应用于多个领域，包括燃烧工程、医药制造、农业生产、消防系统以及日常生活中的各种场景[1]。在液滴测量领域，彩虹测量法优势显著[2]，它能够同步测量液滴的粒径、粒径分布、组分以及温度等多项参数。该方法主要分为标准彩虹方法和全场彩虹方法，前者聚焦于单液滴的测量，后者则针对液滴群开展测量工作。

Roth等人[3]最早提出了彩虹测量方法，他们借助CCD阵列记录下液滴彩虹区域光散射的干涉图样以及彩虹角。之后，通过分析干涉图样的条纹间距获取液滴直径，依据彩虹角的位置得到液滴温度。不过，在Roth提出该方法之前，就已经有关于液滴不同参数引发不同彩虹散射现象的研究。例如，Marston等人[4]早在1984年就通过实验，观察到平行光照射下椭球形液滴一阶彩虹区域出现双曲脐条纹和尖点焦散，并深入研究了它们随液滴长轴和短轴之比的变化规律。紧接着，Nye [5]在Marston实验的基础上，计算出双曲脐条纹尖点焦散出现时液滴的临界长轴和短轴之比，不仅定量证明了双曲脐条纹与倾斜光线有关，还预测了当时尚未被观测到的唇现象。随着理论研究的逐步深入，颗粒测量技术也取得了相应的发展。洛伦兹–米氏理论(Lorenz-Mie Theory, LMT)给出了平行光照射下均匀液滴散射场的严格解。随着时间的推移，入射光束的形状从平行光束拓展为高斯光束或其他有形光束，形成了广义洛伦兹–米氏理论(Generalized Lorenz-Mie Theory, GLMT)，这一理论的发展有力地推动了颗粒测量技术的进步[6]。

本课题将研究液滴彩虹散射，实现液滴的粒径、折射率等参数测量，通过实验拍摄其彩虹图案，得到光强分布数据，根据公式推导出液滴的相关参数，并分析彩虹图像中的特征点与参数之间的影响关系。

2. 基本原理

2.1. 球形颗粒散射的几何光学

Van de Hulst [5]描述了几何光学近似的理论，确定了入射光线在颗粒内部走过的路径，并给出了p = 2阶光线的光强计算。图1为几何光学近似的示意图。

我们假定入射光为平行光，入射角为θ_i，光线的折射角为θ_r每经过一次折射偏转i-θ_r，每经过一次反射偏转π-2θ_r，则p阶散射角为：

${\theta }_p=2\left({\theta }_i-{\theta }_r\right)+\left(p-1\right)\left(\pi -2{\theta }_r\right)=\left(p-1\right)\pi +2{\theta }_i-2p{\theta }_r$ (1)

根据折射定律：

$\sin {\theta }_i=m\sin {\theta }_r$ (2)

可得

${\theta }_p=\left(p-1\right)\pi +2{\theta }_i-2p\arcsin \left(\frac{\sin {\theta }_i}{m}\right)$ (3)

当p = 3时，

${\theta }_p=2\pi +2{\theta }_i-6\arcsin \left(\frac{\sin {\theta }_i}{m}\right)$ (4)

在上述公式中，有一个入射角可以使偏转角最小化。最小偏转角称为几何光学彩虹角。

令θ_p取极小值

$\frac{d{\theta }_p}{d{\theta }_i}=2-6\frac{\cos {\theta }_i}{\sqrt{m^2-{\sin }^2{\theta }_i}}=0$ (5)

${\theta }_i{}_{\min }=arc\sin \left(\sqrt{\frac{9-m^2}{8}}\right)$ (6)

${\theta }_p{}_{\min }=2\pi +2arc\sin \left(\sqrt{\frac{9-m^2}{8}}\right)-6arc\sin \left(\sqrt{\frac{9-m^2}{8m^2}}\right)$ (7)

Figure1. Schematic diagram of geometric optics approximation

图1. 几何光学近似示意图

2.2. Airy理论

Airy [6]理论对彩虹区域光散射强度分布给出了更简单的近似计算方法，但仅限于球形颗粒的测量：

$I={\epsilon }_j^2{\left[81/16{\pi }^2{h}^4\right]}^{1/6}\times \sin \left({\theta }_{\text{irg }}\right){\alpha }^{7/3}{F}^2(z)/\cos {\theta }_{rg},j=1,2$ (8)

其中下标j = 1表示垂直极化分量，j = 2表示光相对于散射平面的平行极化分量，F (z)为Airy积分，也称为彩虹积分

$F\left(z\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\cos }\left[\pi \left(zt-t^3\right)/2\right]dt$ (9)

上式中的参数z定义如下：

$z=\left(-q\right){\left(\frac{12}{h{\pi }^2}\right)}^{1/3}{\alpha }^{2/3}\left(\theta -{\theta }_{rg}\right)$ (10)

$h=\frac{{\left(p^2-1\right)}^2{\left(p^2-m^2\right)}^{1/2}}{p^2{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}$ (11)

$\alpha =2\pi a/\lambda$ (12)

与Airy积分相关的函数Ai (x)如下：

$Ai(x)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\cos }\left(xv+v^3/3\right)dv$ (13)

将公式(2-10)代入(2-13)中，可以得到：

$z=\pm {\left[\frac{12}{{\pi }^2}\frac{p^2{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}{{\left(p^2-1\right)}^2{\left(p^2-m^2\right)}^{1/2}}\right]}^{1/3}{\alpha }^{2/3}\left(\theta -{\theta }_{rg}\right)$ (14)

根据Airy积分，前两个峰值出现在Z₁ = 1.0874和Z₂ = 3.4668处。对二阶彩虹有：

$\{\begin{array}{l}{z}_1={\left[\frac{12}{{\pi }^2}\frac{p^2{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}{{\left(p^2-1\right)}^2{\left(p^2-m^2\right)}^{1/2}}\right]}^{1/3}{\alpha }^{2/3}\left({\theta }_{rg}-{\theta }_1\right)\hfill \\ z_2={\left[\frac{12}{{\pi }^2}\frac{p^2{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}{{\left(p^2-1\right)}^2{\left(p^2-m^2\right)}^{1/2}}\right]}^{1/3}{\alpha }^{2/3}\left({\theta }_{rg}-{\theta }_2\right)\hfill \end{array}$ (15)

由(2-15)的比值可以得到：

$\frac{{\theta }_{rg}-{\theta }_1}{{\theta }_{rg}-{\theta }_2}=z_1/z_2=C$ (16)

整理上式得：

${\theta }_{rg}=\frac{C{\theta }_2-{\theta }_1}{C-1}$ (17)

可以得到二阶彩虹角(p = 3)与颗粒相对折射率m的关系公式：

${\theta }_{rg}=6{\sin }^{-1}\sqrt{\frac{9-m^2}{8m^2}}-2{\sin }^{-1}\sqrt{\frac{9-m^2}{8}}$ (18)

由(2-15)还可以得到：

$z_2-z_1={\left[\frac{12}{{\pi }^2}\frac{p^2{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}{{\left(p^2-1\right)}^2{\left(p^2-m^2\right)}^{1/2}}\right]}^{1/3}{\alpha }^{2/3}\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)$ (19)

整理上式得：

${\alpha }^{2/3}=\frac{z_2-z_1}{\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)}{\left[\frac{{\pi }^2}{12}\frac{{\left(p^2-1\right)}^2{\left(p^2-m^2\right)}^{1/2}}{p^2{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}\right]}^{1/3}$ (20)

将式(2-12)代入上式(2-20)中，又有p = 3，得到基于二阶彩虹分布反演颗粒半径的计算公式：

$a=\frac{2\lambda }{3\sqrt{3}}{\left(\frac{z_2-z_1}{\left({\theta }_1-{\theta }_2\right)}\right)}^{3/2}{\left[\frac{{\left(9-m^2\right)}^{1/2}}{{\left(m^2-1\right)}^{3/2}}\right]}^{1/2}$ (21)

3. 实验系统设计

3.1. 实验平台搭建

平台搭建用到了以下主要仪器：氦氖激光器(1)、超声悬浮仪(2)、透镜镜筒(4)、接收器CCD (5)。

图2显示了一个用于彩虹粒径测量平台[7]的照片。氦氖激光器(1)发射激光，通过扩束镜(2)照射在搭载超声悬浮仪(3)的旋转云台中间的液滴上，散射出彩虹图案，经过透镜镜筒(4)折射到接收器CCD (5)上，最后通过数据线(6)链接在电脑上，获得原始图片。同时记录镜头(7)拍下同一时刻的液滴实物图片用于对比分析。

Figure 2. Rainbow particle size measurement platform

图2. 彩虹粒径测量平台

3.2. 实验步骤

1) 计算各透镜和CCD接收器摆放的位置

已知氦氖激光器发射高斯光束的束腰半径为200 μm不变，初始设置第一个透镜距离激光器发射口为20 cm (即物方距离)。根据折射定律算出第二个透镜与第一个透镜的距离(即像方距离)；重复上述操作依次摆放3个透镜之间的距离，最后调整超声悬浮仪的位置。

2) 测定CCD的接收角度范围

将图3中的(3)位置替换为反光镜，利用云台旋转，将激光从ccd左边打到右边，读出云台下方刻度的变化量，再扩充2倍后再用180˚减去上述角度即为CCD的角度接收范围。

4. 图像处理与粒径反演

4.1. 图像数据处理

将上述实验CCD (5)中拍到的图像通过数据线导入电脑软件(6)中得到原始图像3(a)。将其导入Matlab，得到原始数据矩阵，截取中间数据变化清晰的一行的部分数据，以亮度代表光强作为纵坐标，以偏转角替换成横坐标绘制成图像，并对此图形进行滤波，最后进行归一化得到图3(b)。

(a) (b)

Figure 3. (a) Original image 1; (b) Processed image 1

图3. (a) 原始图像1；(b) 处理后图像1

然后取出第一、第二波谷的横坐标角度，代入(18)和(21)等式子进行计算，反演出折射率为1.330068和粒径为1262.9微米。折射率误差已小于0.005%。

Figure 4. e = 0.66 a = 1259.7 μm

图4. 椭球度e = 0.66 粒径a = 1259.7 μm

同一时间拍下液滴的照片如图4所示，放大后以33像素为1 mm，长半轴长为24像素，短半轴长为18像素，算出椭球度为0.66，粒径大小为1259.7 μm。将反演的粒径与实验实际粒径进行对比分析发现，误差率为小于0.25%。

4.2. 椭球度对液滴粒径测量的影响

超声悬浮仪能通过改变驻波振动的中心位置从而改变液滴的椭球度。探究椭球度对液滴反演精度的影响，于是更换一个椭球度更小的液滴，重复上述实验。图像原始数据2为图5(a)，处理后图像2为图5(b)。

(a) (b)

Figure 5. (a) Original image 2; (b) Processed image 2

图5. (a) 原始图像2；(b) 处理后图像2

反演出折射率为1.330373和粒径为981.6微米。折射率误差已小于0.02%。

Figure 6. e = 0.5 a = 973.6 μm

图6. 椭球度e = 0.5 粒径a = 973.6 μm

同一时间拍下液滴的照片如图6所示，放大后以21像素为1 mm，长半轴长为11像素，短半轴长为9.5像素，算出椭球度为0.5，粒径大小为973.6 μm。将反演的粒径与实验实际粒径进行对比分析发现，误差率为小于0.82%。

发现椭球度减小后误差反而增大了，于是更换一个椭球度更大的液滴，重复上述实验。图像原始数据3为图7(a)，处理后图像3为图7(b)。

(a) (b)

Figure 7. (a) Original image 3; (b) Processed image 3

图7. (a) 原始图像3；(b) 处理后图像3

反演出折射率为1.330004和粒径为1156.7微米。折射率误差为0.0004%

Figure 8. e = 0.77 a = 1122.5 μm

图8. 椭球度e = 0.77 粒径a = 1122.5 μm

同一时间拍下液滴的照片如图8所示，放大后以20像素为1 mm，长半轴长为14像素，短半轴长为9像素，算出椭球度为0.77，粒径大小为122.5 μm。将反演的粒径与实验实际粒径进行对比分析发现，误差率为小于3.05%。

综上所述，椭球度大对液滴粒径测量的精确度有影响，椭球度越大对粒径反演精度影响大，误差更大。椭球度越小，对液滴折射率影响更大，误差更小。分析原因可能是椭球度大导致图像的曲率高，波峰波谷之间的数据读取误差较大。

5. 结论

本研究通过理论建模与实验验证相结合的方法，实现了液滴彩虹散射特性的高精度定量表征。基于几何光学近似法建立的路径追踪模型，并通过Airy理论揭示了彩虹条纹干涉机制。特别值得关注的是，通过建立图像滤波–归一化处理流程提取第一、第二波谷特征参数，实现了粒径与折射率的同步反演，突破了传统方法依赖单一特征参数的局限。实验系统测得的一阶彩虹角与理论预测偏差小于0.25%，证实了光学反演模型在球形液滴参数测量中的可靠性。

然而，研究也揭示了现有模型的适用范围限制。当液滴椭球度超过0.66时，粒径的反演误差急剧增大至3.5%。椭球度小于0.5时，折射率的误差小于0.0004%。这与前人研究中椭球度对彩虹角等影响的非线性特征相吻合。后续研究可结合二阶彩虹，进一步修正和拓展彩虹散射反演技术的精度的应用维度。

致 谢

衷心感谢我的导师，您严谨的治学态度、深厚的学术造诣与敏锐的科研洞察力深深影响了我对学术的认知。在论文选题、框架设计与理论推导的每个阶段，您始终以高屋建瓴的视角为我指明方向。面对公式推导中的逻辑瓶颈与概念理解上的抽象困惑，您总能用深入浅出的讲解化繁为简，引导我突破思维定式。

感谢师兄、师姐等实验室同门对我毫无保留的帮助。初入课题时，是你们手把手教我搭建模型框架，逐行解析代码中的数学逻辑；面对复杂的公式理论，你们用咖啡厅白板上的推导演示、文献笔记中的彩色批注，将抽象符号转化为具象认知。

纸短情长，寥寥数语难表感激之万一。唯愿以此刻为起点，带着这份馈赠继续探索真理的微光。

参考文献