关于von Neumann代数中几类投影运算的研究

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关于von Neumann代数中几类投影运算的研究
Studies of Several Projection Operators in von Neumann Algebras

DOI: 10.12677/aam.2025.144138, PDF, HTML, XML,
作者: 龚禹豪：西华师范大学数学与信息学院，四川南充
关键词: 部分等距；等价投影；von Neumann代数；比较定理；Partial Isometric； Equivalent Projection； von Neumann Algebra； Comparison Theorem

摘要: 本文研究了在von Neumann代数框架下，投影运算后等价的保持情形，特别是在不同类型的von Neumann代数中投影等价的刻画及其性质。设

$E$ 、

$F$ 、

$N$ 为von Neumann代数

$ℳ$ 中的三个有限投影，且

$E ~ F$ 。当

$N E = N F = 0$ 时，那么有

$N + E ~ N + F$ ，

$N \land E ~ N \land F$ ，

$N \lor E ~ N \lor F$ 成立。当

$N < E, N < F$ 时，那么有

$N \land E ~ N \land F$ ，

$N \lor E ~ N \lor F$ 成立。当

$E < N, F < N$ 时，那么有

$N - E ~ N - F$ ，

$N \land E ~ N \land F$ ，

$N \lor E ~ N \lor F$ 成立。本文进一步推至

$N$ 为von Neumann代数

$ℳ$ 中的无限投影，并且考虑了von Neumann代数

$ℳ$ 中四个投影运算的情况。

Abstract: This paper studies the conditions of equivalents after projection operations under the framework of von Neumann algebra, especially the characterization and properties of projection equivalents in different types of von Neumann algebras. Let

$E, F, N$ be three finite projections in von Neumann algebra

$ℳ$ , and

$E ~ F$ . If

$N E = N F = 0$ , then it follows that

$N + E ~ N + F$ ,

$N \land E ~ N \land F$ ,

$N \lor E ~ N \lor F$ holds. If

$N < E$ ,

$N < F$ , then it follows that

$N \land E ~ N \land F$ ,

$N \lor E ~ N \lor F$ holds. If

$E < N$ ,

$F < N$ , then it follows that

$N - E ~ N - F$ ,

$N \land E ~ N \land F$ ,

$N \lor E ~ N \lor F$ holds. This paper further extends these results to infinite projections

$N$ in von Neumann algebras

$ℳ$ and considers the case of four projection operations within von Neumann algebras

$ℳ$ .

文章引用：龚禹豪. 关于von Neumann代数中几类投影运算的研究[J]. 应用数学进展, 2025, 14(4): 44-50. https://doi.org/10.12677/aam.2025.144138

1. 引言及主要结论

在算子代数的研究中，尤其是在von Neumann代数的框架下，等价投影理论具有重要地位。2004年，林丽琼与林鸿钊讨论了投影算子的等价关系[1]；2009年，邓春源与王顺钦研究了等价空间中的投影算子[2]；2016年，费秀海与张建华进一步探讨了在von Neumann代数框架下，保持投影的映射问题[3]。2022年，宋显花与加羊杰考虑了斜投影乘积交换性的等价条件[4]。在此基础上，本文主要受Richard V. Kadison的文章[5]与[6]的启发，研究了von Neumann代数中投影运算后的等价情形。

下面是本文研究得出的主要结论。

引理1.1 (本文引理3.1) 若 $E 、 F 、 N$ 都是有限von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，且 $E ~ F$ ， $E \leq N$ ， $F \leq N$ ，那么有 $N - E ~ N - F$ 成立。

定理1.2 (本文定理3.2) 设 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E ~ F$ 。当 $N E = N F = 0$ 时，那么有 $N \land E ~ N \land F$ ， $N + E ~ N + F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

定理1.3 (本文定理3.3) 设 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E ~ F$ 。当 $N < E, N < F$ 时，那么有 $N \land E ~ N \land F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

定理1.4 (本文定理3.4) 设 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E ~ F$ 。当 $E < N, F < N$ 时，那么有 $N - E ~ N - F$ ， $N \land E ~ N \land F$ ， $N \lor E \sim N \lor F$ 成立。

定理1.5 (本文定理3.5) 设 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E ~ F$ 。当 $N E = N F = 0$ 时，那么有 $N \land E ~ N \land F$ ， $N + E ~ N + F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

定理1.6 (本文定理3.6) 设 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E ~ F$ 。当 $E < N, F < N$ 时，那么有 $N - E ~ N - F$ ， $N \land E ~ N \land F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

定理1.7 (本文定理3.7) 设 $E 、 F 、 G 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，其中 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，这里 $G \leq E$ ， $N \leq F$ ， $G ~ N$ ，且 $E ≾ F$ 。那么有

ⅰ) $E - G ≾ F - N$ 。

ii) 若 $E ~ F$ ，有 $E - G ~ F - N$ 。

2. 预备知识

定义2.1 [6] von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影 $E$ ，当 $E ~ E_{0} < E$ 时，这里的投影 $E_{0}$ 在 $ℳ$ 中，我们称投影 $E$ 相对于von Neumann代数 $ℳ$ 是无限的。否则，投影 $E$ 相对于 $ℳ$ 是有限的。如果 $E$ 是无限的，对每个中心投影 $P$ ，我们有 $P E$ 要么是0或者真无限，则称 $E$ 是真无限的。当 $I$ 是有限或者真无限的，我们说相应的von Neumann代数 $ℳ$ 分别是有限或者真无限的。

命题2.2 [6] 如果 ${E_{a}}$ 与 ${F_{a}}$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中投影的正交族，且对任意 $a$ ，有 $E_{a} ≾ F_{a}$ ，那么 $\sum E_{a} ≾ \sum F_{a}$ 。如果 $E_{a} ~ F_{a}$ ，对任意 $a$ ，那么 $\sum E_{a} \sim \sum F_{a}$ 。

命题2.3 [7] 如果 $E 、 F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，且 $E ~ F$ ，那么对 $ℳ$ 中的每个中心投影 $P$ ，有 $P E ~ P F$ 。如果 $E ≾ F$ ，那么有 $P E ≾ P F$ 。

命题2.4 [6] 如果 $E 、 F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，使得 $E ≾ F$ 且 $F ≾ E$ ，那么有 $E \sim F$ 。

命题2.5 [6] 如果 $E$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，那么 $E$ 的每个子投影也是有限投影。在von Neumann代数 $ℳ$ 中的每个极小投影和0也是有限的。如果 $E \sim F$ 且投影 $E$ 是有限的，那么投影 $F$ 也是有限的。

定理2.6 [6] 如果 $E 、 F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，那么 $E \lor F$ 在 $ℳ$ 中也是有限投影。

命题2.7 [5] 如果 $E 、 F$ 是作用于Hilbert空间 $ℋ$ 上的交换投影，分别相对于闭子空间 $Y$ 和 $Z$ ，则

$E \lor F = E + F - E F$ ， $E \land F = E F$ ， $Y \lor Z = Y + Z$ 。

特别地， $H$ 的线性子空间 $Y + Z$ 是封闭的。

定理2.8 [6] (comparison)如果 $E 、 F$ 是von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，存在唯一的极大正交中心投影 $P$ 和 $Q$ ，具有 $Q E ~ Q F$ 的性质。如果 $P_{0}$ 是 $P$ 的非零中心子投影，那么 $P_{0} E ≺ P_{0} F$ 。如果 $R_{0}$ 是 $I - P - Q$ 的非零中心子投影，那么 $R_{0} F ≺ R_{0} E$ 。

推论2.9 [5] 假设 $E 、 F$ 分别是从希尔伯特空间 $ℋ$ 作用到闭子空间 $Y$ 与 $Z$ 的投影。那么 $E F = 0$ 当且仅当 $Y$ 与 $Z$ 正交，且

$E \lor F = E + F$ ， $Y \lor Z = Y + Z$ 。

注：为了更易理解文章内容，这里进行本文中的符号说明。

主要符号表
符号	代表意义
$ℳ$	von Neumann代数
$~$	等价
$\leq$	小于或等于
$⊥$	正交
$≺$	弱于
$<$	小于
$\land$	交集
$\lor$	并集
$≾$	弱于或等价

3. 定理的证明

为了证明下面本章的定理，我们需要证明下面的引理。

引理3.1 设 $E 、 F 、 N$ 都是有限von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影。如果 $E ~ F$ ， $E \leq N$ ， $F \leq N$ ，那么有 $N - E ~ N - F$ 成立。

证明用反证法。我们首先证明 $N - E$ 与 $N - F$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${(N - E)}^{*} = N^{*} - E^{*} = N - E$ ，

$\begin{matrix} {(N - E)}^{2} = (N - E) (N - E) = N^{2} - N E - E N + E^{2} \\ = N - E - E + E = N - E . \end{matrix}$

$N - E = {(N - E)}^{*} = {(N - E)}^{2}$ 。故 $N - E$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${(N - F)}^{*} = N^{*} - F^{*} = N - F$ ，

$\begin{matrix} {(N - F)}^{2} = (N - F) (N - F) = N^{2} - N F - F N + F^{2} \\ = N - F - F + F = N - F . \end{matrix}$

$N - F = {(N - F)}^{*} = {(N - F)}^{2}$ 。故 $N - F$ 为 $ℳ$ 中的投影。

由于， $ℳ$ 为有限von Neumann代数， $N - E$ 与 $N - F$ 都为有限投影。

现假设 $N - E ≁ N - F$ ，由定理2.8可知，存在 $ℳ$ 的中心投影 $P$ ，使得 $P (N - E) ≺ P (N - F)$ 或

$P (N - F) ≺ P (N - E)$ 成立。

针对上述两种情况的讨论如下：

(1) 当 $P (N - E) ≺ P (N - F)$ 时，那么存在 $G \in ℳ$ ，使得 $P (N - E) ~ G < P (N - F)$ 成立。因为 $E ~ F$ ，故由命题2.3可知，有 $P E ~ P F$ 。由于 $G < P (N - F) \leq N - F$ 而 $(N - F) ⊥ F$ 。故 $G ⊥ F$ ，此外 $(N - E) ⊥ E$ 。

因此，由命题2.2可知

$P N = P (N - E) + P E ~ G + P F < P (N - F) + P F = P N$ 。

这也就说明 $P N$ 不是有限投影，这与 $ℳ$ 为有限von Neumann代数矛盾。

(2) 当 $P (N - F) ≺ P (N - E)$ 时，那么存在 $Q \in ℳ$ ，使得 $P (N - F) ~ Q < P (N - E)$ 成立。因为 $E ~ F$ ，故由命题2.3可知，有 $P E ~ P F$ 。由于 $Q < P (N - E) \leq N - E$ 而 $(N - E) ⊥ E$ 。故 $Q ⊥ E$ ，此外 $(N - F) ⊥ F$ 。

因此，由命题2.2可知

$P N = P (N - F) + P F ~ Q + P E < P (N - E) + P E = P N$ 。

这也就说明 $P N$ 不是有限投影，这与 $ℳ$ 为有限von Neumann代数矛盾。

因此有 $N - E ~ N - F$ 。

证毕。

定理3.2 设 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E \sim F$ 。当 $N E = N F = 0$ 时，那么有 $N \land E ~ N \land F$ ， $N + E ~ N + F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

证明 i) $N \land E \sim N \land F$ 。

因为 $N E = N F = 0$ ，由命题2.7可知

$N \land E = N E = 0$ ， $N \land F = N F = 0$ 。

故 $N \land E ~ N \land F$ 。

ii) $N + E ~ N + F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 。

由推论2.9可知

$N \lor E = N + E$ ， $N \lor F = N + F$ 。

而再由命题2.2可知

$N \lor E = N + E ~ N + F = N \lor F$ 成立。

证毕。

定理3.3 设 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E ~ F$ 。当 $N < E, N < F$ 时，那么有 $N \land E \sim N \land F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

证明 i) $N \land E ~ N \land F$ 。

由于 $N < E, N < F$ ，那么有 $N \land E = N$ ， $N \land F = N$ 。即 $N \land E ~ N \land F$ 显然成立。

ii) $N \lor E ~ N \lor F$ 。

由命题2.7可知

$N \lor E = N + E - N E$ ，

同理，我们有

$N \lor F = N + F - N F$ 。

又因为 $N E = N F = N$ ，故 $N \lor E = E$ ， $N \lor F = F$ ， $N \lor E = E ~ F = N \lor F$ ，显然有 $N \lor E ~ N \lor F$ 。

证毕。

定理3.4 设 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的三个有限投影，且 $E ~ F$ 。当 $E < N, F < N$ 时，那么有 $N - E ~ N - F$ ， $N \land E ~ N \land F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

证明 i) $N - E ~ N - F$ 。

因为 $E 、 F 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，由定理2.6可知， $E \lor F$ 也为有限投影。由引理3.1知， $E 、 F$ 在有限von Neumann代数 $(E \lor F) ℳ (E \lor F)$ 中，那么有 $E \lor F - E ~ E \lor F - F$ 成立。

因为 $E < N, F < N$ ，故 $E \lor F \leq N$ 。此外，我们有 $N - E \lor F$ 与 $E \lor F$ 正交，而 $E \leq E \lor F$ ， $F \leq E \lor F$ ，故 $E \lor F - E \leq E \lor F$ ， $E \lor F - F \leq E \lor F$ 。

从而有 $(N - E \lor F) ⊥ (E \lor F - E)$ 与 $(N - E \lor F) ⊥ (E \lor F - F)$ 成立。

因此，由命题2.2知

$N - E = (N - E \lor F) + (E \lor F) - E ~ (N - E \lor F) + (E \lor F) - F = N - F$ 。

ii) $N \land E ~ N \land F$ 。

因为 $N > E, N > F$ ，由命题2.7可知， $N \land E = E$ ， $N \land F = F$ 。由于 $E ~ F$ ，那么有

$N \land E = E ~ F = N \land F$ 。

iii) $N \lor E ~ N \lor F$ 。

由命题2.7可知

$N \lor E = N + E - N E$ ，

同理，我们有

$N \lor F = N + F - N F$ 。

又因为 $N \land E = E$ ， $N \land F = F$ 。故 $N \lor E = N$ ， $N \lor F = N$ ，显然有 $N \lor E ~ N \lor F$ 。

证毕。

定理3.5 设 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E ~ F$ 。当 $N E = N F = 0$ 时，那么有 $N \land E ~ N \land F$ ， $N + E ~ N + F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

证明 i) $N \land E ~ N \land F$ 。

因为 $N E = N F = 0$ ，由命题2.7可知

$N \land E = N E = 0$ ， $N \land F = N F = 0$ 。

故 $N \land E ~ N \land F$ 。

ii) $N + E ~ N + F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 。

由推论2.9可知，

$N \lor E = N + E$ ， $N \lor F = N + F$ 。

而再由命题2.2可知，

$N \lor E = N + E ~ N + F = N \lor F$ 成立。

证毕。

定理3.6 设 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的两个有限投影， $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影， $E ~ F$ 。当 $E < N, F < N$ 时，那么有 $N - E ~ N - F$ ， $N \land E \sim N \land F$ ， $N \lor E ~ N \lor F$ 成立。

证明 i) $N - E ~ N - F$ 。

从而有 $(N - E \lor F) ⊥ (E \lor F - E)$ 与 $(N - E \lor F) ⊥ (E \lor F - F)$ 成立。

因此，由命题2.2知

$N - E = (N - E \lor F) + (E \lor F) - E ~ (N - E \lor F) + (E \lor F) - F = N - F$ 。

ii) $N \land E ~ N \land F$ 。

因为 $N > E, N > F$ ，由命题2.7可知， $N \land E = E$ ， $N \land F = F$ 。由于 $E ~ F$ ，那么有

$N \land E = E ~ F = N \land F$ 。

iii) $N \lor E ~ N \lor F$ 。

由命题2.7可知

$N \lor E = N + E - N E$ ，

同理，我们有

$N \lor F = N + F - N F$ 。

又因为 $N \land E = E$ ， $N \land F = F$ 。故 $N \lor E = N$ ， $N \lor F = N$ ，显然有 $N \lor E ~ N \lor F$ 。

证毕。

定理3.7 设 $E 、 F 、 G 、 N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的投影，其中 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影，这里 $G \leq E$ ， $N \leq F$ ， $G ~ N$ ，且 $E ≾ F$ 。那么有

ⅰ) $E - G ≾ F - N$ 。

ii) 若 $E ~ F$ ，有 $E - G ~ F - N$ 。

证明 ⅰ) 用反证法。我们首先证明 $E - G$ 与 $F - N$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${(E - G)}^{*} = E^{*} - G^{*} = E - G$ ，

$\begin{matrix} {(E - G)}^{2} = (E - G) (E - G) = E^{2} - E G - G E + G^{2} \\ = E - G - G + G = E - G . \end{matrix}$

$E - G = {(E - G)}^{*} = {(E - G)}^{2}$ 。故 $E - G$ 为 $ℳ$ 中的投影。

${(F - N)}^{*} = F^{*} - N^{*} = F - N$ ，

$\begin{matrix} {(F - N)}^{2} = (F - N) (F - N) = F^{2} - F N - N F + N^{2} \\ = F - N - N + N = F - N . \end{matrix}$

$F - N = {(F - N)}^{*} = {(F - N)}^{2}$ 。故 $F - N$ 为 $ℳ$ 中的投影。

因为 $E 、 F$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影， $E - G \leq E$ ， $F - N \leq F$ ，由命题2.5可知 $E - G$ 与 $F - N$ 都为有限投影。由定理2.6可知， $E \lor F$ 在von Neumann代数 $ℳ$ 中也为有限投影。由引理3.1可知， $E - G$ 与 $F - N$ 在有限von Neumann代数 $(E \lor F) ℳ (E \lor F)$ 中。

假设 $E - G ≾ F - N$ ，由定理2.8可知，在有限von Neumann代数 $(E \lor F) ℳ (E \lor F)$ 中存在非零中心投影 $P$ ，使得 $P (F - N) ≺ P (E - G)$ 成立。

当 $P (F - N) ≺ P (E - G)$ 时，那么存在 $G_{1} \in ℳ$ ，使得 $P (F - N) ~ G_{1} < P (E - G)$ 成立，因为 $G ~ N$ ，且 $E ≾ F$ ，由命题2.3可知 $P G \sim P N$ ， $P E ≾ P F$ 。由于 $G_{1} < P (E - G) \leq E - G$ ， $P G \leq G$ 而 $E - G ⊥ G$ ，故 $G_{1} ⊥ P G$ 。

因此，根据命题2.2可知

$P E ≾ P F = P (F - N) + P N ~ G_{1} + P G < P (E - G) + P G = P E$ 。

这也就说明 $P E$ 不是有限投影，这与 $(E \lor F) ℳ (E \lor F)$ 为有限von Neumann代数矛盾。

因此 $E - G ≾ F - N$ 。

ii) 如果 $E ~ F$ ，那么有 $E ≾ F$ 与 $F ≾ E$ 。由ⅰ)中的 $E - G ≾ F - N$ 与 $F - N ≾ E - G$ ，由命题2.4可知 $E - G ~ F - N$ 。

证毕。

本文首先考虑在有限von Neumann代数中投影的运算，通过引理3.1的证明，我们将上述的几类投影的运算推广到更一般的von Neumann代数中，如上述定理的3.2~3.4的情况。其次进一步考虑了 $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的无限投影情形，通过证明发现其结果与上述 $N$ 为von Neumann代数 $ℳ$ 中的有限投影一致。最后讨论了一般的von Neumann代数 $ℳ$ 中四个投影运算的情况。

致谢

本文章在文仕林老师以及审稿专家的指导与建议下完成，在此表示衷心的感谢。

参考文献

[1]	林丽琼, 林鸿钊. 关于投影算子的等价关系[J]. 福建师范大学学报(自然科学版), 2004(2): 21-26.
[2]	邓春源, 王顺钦. 等价类空间上投影算子的一些性质[J]. 南阳师范学院学报, 2009, 8(3): 1-4.
[3]	费秀海, 张建华. von Neumann代数上保持投影的映射[J]. 南京师大学报(自然科学版), 2016, 39(4): 5-13.
[4]	宋显花, 加羊杰. 斜投影乘积交换性的一些等价刻画[J]. 吉林大学学报(理学版), 2022, 60(4): 811-816.
[5]	Kadison, R.V. and Ringrose, J. (1986) Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. I: Elementary Theory. Academic Press, Inc.
[6]	Kadison, R.V. and Ringrose, J. (1986) Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. II: Advanced Theory. Academic Press, Inc.
[7]	李炳仁. 算子代数[M]. 北京: 科学出版社, 2007.

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