1. 引言

在滚子轴承设计中，滚子的修形设计直接影响轴承的使用性能及寿命。滚子修形设计主要包括两个方面：修形形状设计和修形量设计。国内外学者对滚子的修形设计进行了大量的研究 [1] - [5] ，指出对数修形在改善滚子–滚道接触副的应力分布、提高轴承疲劳寿命方面具有优越的性能，是滚子修形的最佳轮廓。

早在1939年，为了消除滚子两端的应力集中现象，Lundberg提出了滚子的对数修形曲线，但是该曲线在滚子端部并不连续。针对Lundberg修形曲线的不足，Johns等 [6] 提供了改进的对数修形曲线，然而该曲线降低了修形量，导致滚子端部仍会出现边缘效应；马家驹等 [7] 给出了工程应用中的对数修形设计方法，提高了对数修形曲线工程应用的可操作性，可是该方法没有定量分析最优参数值的设计依据及设计效果；Kamamoto等 [8] 在得到接触次表面应力的基础上，以滚子材料破坏的均匀分布为目标得到了获取最大承载能力的滚子修形经验公式；Fujiwara等 [3] [4] 考虑滚子偏斜情况，在方程中引入三个设计系数，并通过数值方法进行了优化，为工程应用提供了有益的设计依据；李云峰等 [9] 对交叉圆柱滚子的修形进行了研究，引入滚子对数轮廓的凸度量放大倍数，分析了偏载情况下滚子修形的最优凸度量，然而文中使用的对数修形曲线为Lundberg修形曲线；陈晓阳等 [10] 通过建立滚子滚道接触的力学模型，以减小最大接触应力为目标，以滚子修形量为设计参数，得到了偏斜工况下提高轴承抗偏斜能力的滚子修形设计方法；毛月新等 [11] 以接触应力分布最佳为目标，以凸度量为设计对象，给出了偏载工况下的滚子修形设计方法。

在滚子的实际生产中，得到精确的最佳对数修形十分困难，必然会存在一定的误差，且在实际加工中也需要提供滚子尺寸的公差值。Fujiwara等 [12] 为了适应工程应用和生产实际的需要，提出了滚子对数修形的公差设计方法然而现有的一些滚子修形设计方法中却没有给出所需的尺寸公差参考值。

为了对现阶段的滚子修形设计提供理论依据和参考，本文针对圆锥滚子的对数修形，以轴承的疲劳寿命为优化目标，通过定量分析研究对数修形的优化设计方法，并给出滚子修形公差的设计方法。

使用的对数修形滚子母线的一般表达式为：

其中、为修形参数，为滚子有效长度。

2. 疲劳寿命分析模型

滚动轴承寿命是最大正交剪切应力及其发生深度、应力体积的函数，为了计算轴承的疲劳寿命，需要进行以下两个方面的数值分析：表面接触应力分布的计算和次表面应力分布的计算。

2.1. 表面接触应力分布

根据结构分析中的影响系数法 [1] [5] [13] - [16] ，预先设定大于实际接触区域的矩形区域，并划分为个矩形单元。设各单元格上的应力均匀分布，可得到应力与变形关系的线性代数方程组：

(1)

其中为等效弹性模量；为单元的几何中心处的表面函数值。为影响系数，是单元上的单位应力所引起的单元中心的变形，由下式给出：

(2)

根据力平衡条件及边界条件，有：

，其中 (3)

其中，为单元的面积。联立式(1)~式(3)可得各网格上的应力，由此得到整个接触区域上的应力分布和接触变形。

2.2. 次表面应力分布

对于纯滚动状态下的圆锥滚子与滚道的接触应力分析，忽略切向力的作用，可将滚子与滚道的接触模型简化为弹性半空间体受法向载荷的作用。根据接触力学理论，弹性半空间体内一点在范围为的分布法向正应力作用下的应力场可以表示为 [8] ：

(4)

其中，，，，。

Mises应力为：

(5)

2.3. 疲劳寿命计算

根据Lundberg-Palmgren寿命理论，疲劳寿命可表示为最大正交剪切应力及其深度、接触长度的函数：

(6)

其中为材料综合常量，为次表面下循环最大剪切应力幅值，为接触区半长，为最大剪切应力的深度，、为材料常数，，，为Weibull斜率，对于球轴承，对于滚子轴承。

对滚动轴承而言，设滚子的滚动方向为向，深度方向为向，忽略表面的摩擦力作用，则可知滚子与滚道接触处的最大正交剪切应力为。因此，滚子轴承的疲劳寿命可写为：

(7)

为了便于分析，取相同载荷下直母线圆锥滚子轴承的寿命为参考值，研究修形圆锥滚子轴承的相对寿命，即：

(8)

其中，下标代表参考值，即为直母线圆锥滚子轴承计算结果。

3. 对数修形优化设计方法

在不同的应用场合，轴承所承受的载荷是不同的，即使轴承的外加载荷一定，每个滚子承受的载荷也是变化的，然而在一套轴承中滚动体母线形状应该保持一致。因此在滚子修形设计时需要引入设计载荷值，一般按受载最大的滚动体进行设计。

无内部游隙的圆锥滚子轴承在径向载荷的作用下，最大滚动体载荷近似为 [17] [18] ：

(9)

其中，为滚子个数，为轴承接触角。

对于采用对数修形滚子的通用轴承来说，径向载荷设计值可取为。

3.1. 修形设计参数的选择

以圆锥滚子轴承32310为例，主要参数见表1。

由式(9)可得，当取时，本例中滚子修形的设计载荷值为。

根据Johns等 [6] 给出的对数修形优化方法，可以得到设计载荷下对数修形参数的参考值为：

， (10)

其中，为滚子–滚道接触区域半宽，根据经典的Hertz接触理论计算 [17] [18] 。

则可得本例中修形参数参考值，。下面首先对设计载荷下，固定，不同对接触应力分布的影响进行探讨。当分别取滚动体载荷为、、时，由式(10)可得分别为0.999、0.997、0.990。根据接触应力分布的数值计算方法可得三种情况下的滚子–滚道接触应力分布，如图1所示，图中仅绘制了滚子一半长度上的接触应力分布情况。

可以看出，相同载荷下，滚子全长98%的区域(滚子中部)内的接触应力基本相同，仅2%的区域(滚子端部)的应力出现差异，应力最大相差11.3%，因此可见对接触应力的影响可忽略；同时使用Johns等给出的对数修形曲线，在滚子端部依然存在较明显的应力集中现象，因此需要对优化设计。

同样地，根据式(4)可以得到相同载荷下直母线圆锥滚子轴承和三种情况下的对数修形圆锥滚子轴承的剪切应力在不同深度处的分布情况。图2给出了最大剪切应力所在深度截面的剪切应力沿滚动方向的变化，可以看出，假设滚动体沿轴的正方向滚动，则接触表面下平面内的切应力将从负值变为正值，其切应力的最大变化量为。

根据L-P寿命理论，利用式(8)可以得到其相对寿命，结果如表2所示。表2表明：在相同的外载荷下，直母线圆锥滚子轴承的最大剪切应力及其所在的深度均大于对数修形圆锥滚子轴承的情况，而疲劳寿命远小于对数修形圆锥滚子轴承；对不同值的对数修形圆锥滚子轴承，最大剪切应力有微小的差异，而最大切应力的深度值一致；三种值情况下的对数修形圆锥滚子轴承的相对寿命差别较小，最大相差4.9%。因此，可以忽略对疲劳寿命的影响。

综上，本文忽略参数的影响，仅选择作为修形设计参数。在后续的修形设计分析中，取的值为0.997，即径向载荷为时对应的值。

3.2. 最佳修形参数设计

在重载工况下，希望尽可能地延长轴承的使用时间，提高轴承的疲劳寿命。因此以设计载荷下直母线圆锥滚子轴承的寿命为参考值，以轴承的相对疲劳寿命为修形参数优化的目标函数。根据材料强度

失效的畸变能密度准则，轴承零件所受的最大Mises应力应小于轴承材料的许用应力。综上，可以得到最佳对数修形参数的优化模型为：

(11)

显然轴承的相对疲劳寿命和Mises应力均是对数修形参数的函数，在给定的设计载荷下，根据滚子与滚道接触应力及次表面应力的数值计算方法，结合L-P寿命理论，可得与之间的关系如图3所示。

根据相对疲劳寿命与的关系可得最佳修形参数值，设为，如图3所示。

本例中，设计载荷，设轴承材料的许用应力，则可得最佳对数修形参数为0.935 μm。可以看出，以轴承的疲劳寿命为目标得到的最佳修形参数大于根据Johns-Gohar给出的计算公式(10)计算的值，即增大了滚子的修形量。

3.3. 最佳修形参数的公差设计

对滚子轴承而言，人们期望滚子轴承接触副的接触应力均匀分布、提高轴承的疲劳寿命，同时希望可以充分利用滚子材料，即达到接触副材料疲劳寿命的均匀分布。

由图3可以看出，轴承的相对疲劳寿命是的函数，且随着的增加先增大后减小。为了满足轴承疲劳寿命的要求，定义的许用值，则滚子的对数修形应满足。由图3可知，对于给定的至少存在两个值满足，设为、，且。因此可以得到满足轴承疲劳寿命要求时的修形参数公差范围为。

另一方面，载荷一定时，随着修形参数的增加，滚子的修形量增加，滚子和滚道的接触趋于点接触的性质。例如在设计载荷作用下，当时对数修形滚子轴向截面(截面)接触应力分布如图4所示，其中在方向仅取半区域进行分析。设为截面上滚子中部的接触应力，为截

面上接触应力下降到时的位置对应的坐标值。

为了表示滚子材料的利用率，定义接触长度因子。可以得出，为了保证滚子材料的充分利用，应接近1。显然，是对数修形参数的函数。给定载荷情况下，根据接触应力的数值计算方法可得它们之间的关系如图5所示。可以看出，随着的不断增大，逐渐减小，即材料利用率降低。因此为了满足滚子材料充分利用的要求，定义的许用值，则滚子的对数修形应满足。令时对应的对数修形参数为，则为了满足滚子材料充分利用的要求应有。

综上，为了同时满足轴承疲劳寿命和滚子材料充分利用的要求，滚子的对数修形应满足如下关系：

， (12)

可得滚子对数修形参数的公差范围为：

，设为。

设定滚子的疲劳寿命不低于，为最大疲劳寿命值，应力值大于的滚子长度不小于滚子有效长度的95.5%，即。则可得本例中，，即对数修形参数的范围为。

因此，本例中最佳修形参数对应的滚子母线表面轮廓及其公差带如图6所示。

3.4. 修形设计的一般过程

根据上面的滚子修形的设计方法，可以将滚子对数修形的设计过程归纳如下：

1) 根据轴承额定动载荷及预期工作载荷，确定受载最大的滚子载荷，即确定滚子修形设计中的设计载荷值；

2) 在设计载荷下，根据接触应力分布的数值计算方法得到不同对数修形参数情况下的应力分布标

准差、应力分布系数和接触长度系数；

3) 以应力分布标准差为优化设计的目标，取最小时对应的为最佳修形参数；

4) 分别设定应力分布系数和接触长度系数的许用值、，根据和与的函数关系确定的上、下偏差。

4. 结论

本文以接触应力均匀分布为目标，对圆锥滚子的对数修形设计方法展开研究，有如下结论：1) 对数修形参数对接触应力分布的影响较小，在修形设计中可忽略；2) 通过引入应力分布标准差为目标函数，建立了对数修形参数定量设计的准则；3) 以应力分布系数、接触长度系数为参考，定量分析了修形参数的上、下偏差值和；4) 本文给出的最佳修形曲线及其公差带为工程实际中滚子修形设计提供了参考。

致谢

本文由国家自然科学基金-青年科学基金项目(51505201)和江苏师范大学校科研基金项目(14XLR023)共同资助。同时，华中科技大学机械科学与工程学院杨曙年教授和陈於学教授对本文的思路提供了指导和帮助，在此一并感谢。

基金项目

国家自然科学基金——青年科学基金项目(51505201)；江苏师范大学校科研基金项目(14XLR023)。

参考文献