DOI: 10.12677/SA.2020.94072, PDF, HTML, XML,  被引量    科研立项经费支持
作者: 乔 舰, 贾欣怡：中国矿业大学(北京)，理学院，北京
关键词: 煤炭价格指数；ARIMAX模型；ARIMA模型；Coal Price Index； ARIMAX Model； ARIMA Model

文章引用：乔舰, 贾欣怡. 中国煤炭价格指数的多元时间序列分析[J]. 统计学与应用, 2020, 9(4): 696-704. https://doi.org/10.12677/SA.2020.94072

1. 引言

我国是煤炭大国，目前煤炭消费是我国主要的能源消费。据统计，2019年我国能源消费中，煤炭消费量约39.4亿吨，占比57.7%，超过半数 [1]。作为最经济可靠的能源，在可预见的未来，煤炭在我国能源结构中的地位不会发生较大改变。

煤炭价格指数反映了煤炭市场的供需关系，展示了煤炭价格波动的真实情况，其变化发展不仅影响着煤炭的开采与挖掘，对全国各行各业的生产经营都起着十分重要的作用。通过对煤炭价格指数的预测，可以降低生产者的风险，也可以帮助国家在宏观调控上制定政策、采取措施，使我国经济保持稳定持续的发展。

中国煤炭价格指数(China Coal Price Index，简称CCPI)是一种可以全面、客观、及时地描述全国以及各区域、各品种煤炭市场价格变化的数据，它创建于2006年，以2006年1月1日为基期(100点)，在“中国煤炭市场网”按周发布。

申万(2014) [2] 等通过对澳大利亚煤炭价格和迪拜石油价格进行回归分析，证实石油价格与煤炭价格存在正相关关系。王延伟、景晓真(2016) [3] 采用灰色综合评价法对我国煤炭价格进行研究，发现其受经济发展影响大。王帮俊、朱超群(2017) [4] 对环渤海动力煤价格进行短期分析，建立ARIMA模型，得到了良好的预测结果。张同功、赵德志(2018) [5] 对秦皇岛煤炭价格运用逐步回归法发现，对煤炭价格影响较大的是煤炭产量、煤炭进出口量和国际石油价格等。赵修茗、张甜、邹绍辉(2020) [6] 对我国煤炭价格指数等交易数据构建VAR模型，发现我国煤炭经济变动与动力煤期货价格呈均衡关系。

煤炭价格指数受多种因素影响，国际原油价格、原煤产量、原煤进口量、煤炭销量等都会影响其波动，但由于ARIMAX模型要求输入变量为平稳时间序列，通过检验，本文最终选取美国西德克萨斯轻质原油(West Texas Intermediate，简称WTI)价格为ARIMAX模型的输入变量。

使用求和自回归移动平均模型(ARIMA)和传递函数模型(ARIMAX)对2013~2019年我国煤炭价格指数和WTI价格周数据进行分析，研究两种模型在分析我国煤炭价格指数方面的优劣性，并使用两种方法分别对CCPI进行短期预测。

2. 模型理论

2.1. ARIMA模型简介

求和自回归移动平均(ARIMA)模型是在进行一元时间序列分析时的经典模型。其结构为：

$\{\begin{array}{l}\Phi \left(B\right){\nabla }^d{x}_t=\Theta \left(B\right){\epsilon }_t\\ E\left({\epsilon }_t\right)=0,Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_{\epsilon }^2,E\left({\epsilon }_t{\epsilon }_s\right)=0,s\ne t\\ E\left({\epsilon }_t{x}_s\right)=0,\forall s<t\end{array}$

式中， ${\nabla }^d={\left(1-B\right)}^d$ ； $\Phi \left(B\right)=1-{\varphi }_{1}B-{\varphi }_2{B}^2-\cdots -{\varphi }_p{B}^p$，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的自回归系数多项式；，为平稳可逆ARMA(p,q)模型的移动平滑系数多项式。

通过差分将非平稳时间序列转化为平稳，可以解决绝大多数单变量时间序列的分析问题；但因为很多时间序列的变化都会受到其他序列的影响，若仅考虑自身过去对现在的影响，得出的模型可能并不精确，这就涉及多元时间序列分析。

2.2. ARIMAX模型简介

带有输入序列的ARIMA模型称为传递函数(ARIMAX)模型，可以对多元时间序列进行分析。传递函数模型基于假定：输入序列x_t、输出序列y_t均为零均值平稳时间序列。若序列不平稳，可以通过差分运算或方差齐性变换使其平稳，非零均值序列可通过序列中心变换使序列均值变为零。

实际应用的传递函数模型为：

$Y_t=\frac{\Omega \left(B\right)B^b}{E\left(B\right)}{X}_t+\frac{\Theta \left(B\right)}{\Phi \left(B\right)}{a}_t$

其中， $\Omega \left(B\right)={\omega }_0-{\omega }_{1}B-{\omega }_2{B}^2-\cdots -{\omega }_s{B}^s,{\omega }_0\ne 1$， $E\left(B\right)=1-{\epsilon }_{1}B-{\epsilon }_2{B}^2-\cdots -{\epsilon }_r{B}^r$。

2.3. ARIMAX建模步骤

① 对x_t、y_t进行平稳性检验和纯随机性检验：若不平稳，可通过取对数、求差分等方法使其平稳。

② 预白噪化输入序列x_t：对x_t进行ARMA建模，得到 ${\Phi }_x\left(B\right)x_t={\Theta }_x\left(B\right){\alpha }_t$，即 ${\alpha }_t=\frac{{\Phi }_x\left(B\right)}{{\Theta }_x\left(B\right)}{x}_t$，此时 ${\alpha }_t$ 为白噪声序列。

③ 预白噪化输出序列y_t：令 ${\beta }_t=\frac{{\Phi }_x\left(B\right)}{{\Theta }_x\left(B\right)}{y}_t$。

④ 估计脉冲响应函数 ${\hat{v}}_k$ ：计算 ${\alpha }_t$ 和 ${\beta }_t$ 的互相关系数，脉冲响应函数 ${\hat{v}}_k=\frac{{\sigma }_{\beta }}{{\sigma }_{\alpha }}{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }\left(k\right)$。

⑤ 初步判定传递函数模式：识别延迟参数b，衰减参数r和参数s，基于 $v\left(B\right)=\frac{\Omega \left(B\right)}{E\left(B\right)}{B}^b$ 估计参数 ${\hat{\epsilon }}_j$， ${\hat{\omega }}_j$，从而得到传递函数的估计： $\hat{v}\left(B\right)=\frac{\hat{w}\left(B\right)}{\hat{\delta }\left(B\right)}{B}^b$。

⑥ 估计噪声序列： ${\hat{\eta }}_t=y_t-\hat{v}\left(B\right)x_t=y_t-\frac{\Omega \left(B\right)}{E\left(B\right)}{B}^b{x}_t$。

⑦ 噪声序列ARMA建模：对噪声序列构建ARMA模型： ${\Phi }_{\hat{\eta }}\left(B\right){\hat{\eta }}_t={\Theta }_{\hat{\eta }}\left(B\right)a_t$，即，进而得到传递函数模型： $y_t=\frac{\hat{w}\left(B\right)}{\hat{\delta }\left(B\right)}{B}^b{x}_t+\frac{{\Theta }_{\hat{\eta }}\left(B\right)}{{\Phi }_{\hat{\eta }}\left(B\right)}{a}_t$。

⑧ 参数估计：基于以上过程所得相应延迟阶数，对传递函数模型： $y_t=\frac{w\left(B\right)}{\delta \left(B\right)}{B}^b{x}_t+\frac{{\Theta }_{\hat{\eta }}\left(B\right)}{{\Phi }_{\hat{\eta }}\left(B\right)}{a}_t$ 所有未知参数重新进行最大似然估计。

⑨ 模型检验：1) 残差序列 $a_t$ 纯随机性 $Q_{LB}$ 检验；2) 残差序列 $a_t$ 与输入序列 $x_t$ 纯随机性 $Q_{LB}$ 检验。

3. 实例分析

虽然Eviews软件可以实现ARIMAX模型建模的部分步骤，但相较之下，SAS软件能程序化实现整个建模过程，所以本文选用了SAS软件进行实现。

3.1. 数据选择

本文选用2013年1月至2019年12月CCPI和WTI价格进行分析。所用WTI价格来源于美国能源信息网站，CCPI来源于wind数据库。数据时序图如图1所示，CCPI均值为150.2761，标准差为14.0821，最高值出现在2013年1月3日为171.1，最低值出现在2015年11月13日为124.7。

3.2. 数据检验

由图1可知WTI价格和我国煤炭价格指数均为非平稳时间序列。分别对其进行一阶差分，得到的差分后序列时序图如图2、图3所示。

由图2、图3可初步判别两数据差分后为平稳序列。进一步通过单位根检验证实了此结论。

二者的白噪声检验结果显示两序列均为非白噪声序列，可以进行建模。记差分后WTI价格序列为x，差分后CCPI序列为y。

3.3. 建立模型

首先，对 $y_t$ 进行预白造化处理，通过AIC准则对比最小信息量结果，得到最优模型AR(1)，去掉不显著的常数项后拟合结果为

$x_t=\left(1+0.2996B\right)a_t$ ； $a_t\stackrel{iid}{~}N\left(0,{\sigma }_{\epsilon }^2\right)$。

预白噪化CCPI差分序列 $y_t$ 得到序列 ${\tilde{y}}_t$ ：

${\tilde{y}}_t=\frac{1}{1+0.2996B}{y}_t$。

计算 $a_t$ 与 ${\tilde{y}}_t$ 的互相关系数 ${\rho }_{a_t{\tilde{y}}_t}\left(k\right)$，结果见图4，基于该互相关系数初步判定脉冲响应函数的相关参数：b = 1，r = 1，s = 0。

估计结果常数项不显著，去掉常数项后，各个参数显著，估计结果如表1所示。

基于参数估计结果，脉冲响应函数的估计结果为：

$\hat{v}\left(B\right)=\frac{0.0119B+\mathrm{0.0.0180}{B}^2}{1-0.7904B}$

对噪声序列 ${\eta }_t=y_t-\left(\frac{0.0119B+\mathrm{0.0.0180}{B}^2}{1-0.7904B}\right)x_t$ 尝试ARMA(2,0)模型进行参数估计，结果如表2所示。

参数通过了参数显著性检验，得到最终传递函数模型：

$y_t=\left(\frac{0.0242B+0.02986B^2}{1+0.4971B}\right)x_t+\left(\frac{1}{1-0.5521B+0.1578B^2}\right){\epsilon }_t$

该估计结果中的参数都通过了显著性检验，模型残差通过了白噪声检验，但模型残差与输入变量之间仍存留一定相关性，对该模型的预测精度有一定影响。

可以看出，输入变量WTI价格对滞后1期CCPI有显著影响，随着时间的发展，当期国际原油价格对滞后期煤炭价格指数的影响将变得越来越小。

3.4. 预测

通过以上模型拟合，对我国2019年12月至2020年2月煤炭价格指数进行预测，预测结果如表3。

结果显示，我国煤炭价格指数在2019年末和2020年初有递增趋势，且浮动不大。这可能是因为进入冬季，天气寒冷，供暖消耗大量煤炭，所以导致价格上涨。

3.5. 对比结论

通过以上模型拟合，可以看出，国际原油价格对我国煤炭价格指数有十分重要的影响。输入变量为国际原油价格时，可以使用ARIMAX模型对CCPI进行预测。

使用ARIMA模型和ARIMAX模型的预测效果图如图5、图6所示，可见两方法的拟合效果均良好。

将两模型的检验结果对比，对比结果如表4所示。相比之下，ARIMAX模型的标准误差较小，不同准则下的最小信息量也较小，整体优于ARIMA模型。

4. 小结

4.1. 结论

分别使用ARIMA模型和ARIMAX模型对我国煤炭价格指数预测的过程中发现，两种预测方法均能得到较好的拟合效果，且ARIMAX模型的结果优于ARIMA模型。

WTI对我国煤炭价格指数有显著影响。在我国能源结构中，煤炭和石油是主要消费的一次能源，二者互为替代品，当其中一种价格上升时，对另一种的需求就会增大，从而也就带动了另一种价格的上涨。

但是由于ARIMAX模型对输入变量的平稳性有较高要求，所以当其无法满足时也可使用ARIMA模型。ARIMAX模型作为一种限制条件较多的模型，应用受到很大的限制，但其结果十分可靠。使用更多解释变量的ARIMAX模型可能会得到更好的预测效果。

4.2. 不足与展望

我国煤炭价格指数受诸多因素影响，本文主要研究了CCPI与WTI价格之间的关系，还可以尝试寻找其他平稳或差分平稳时间序列对CCPI进行ARIMAX模型建模。

现有模型普遍在短期预测时效果较好，后续需根据实际情况对模型进行检验与调整。

虽然通过ARIMA模型和ARIMAX模型均得到了较好的拟合效果，且二者预测结果较为一致，但对于突发事件的影响是无法预测的。如受今年新冠肺炎的影响，物流收阻，人员流动受限，CCPI的上涨趋势可能也会受到影响。

随着经济全球化趋势不断发展，国内外联系日趋紧密，我国煤炭市场与国际原油市场的关联将日益增加，相关企业与国家在进行决策时都应考虑国际原油价格的长远影响。

基金项目

本文受中国矿业大学(北京)“课程思政”示范课程建设项目(时间序列分析)的支持。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

[1]	王健. 新冠疫情对煤炭行业的影响分析[J]. 煤炭经济研究, 2020, 40(4): 42-49.
[2]	申万, 姜殿虹, 王有勇, 张广军. 国际市场煤炭与石油价格相关性研究[J]. 中外能源, 2014, 19(4): 6-10.
[3]	王延伟, 景晓真. 我国煤炭价格走势及其影响因素实证分析[J]. 价格理论与实践, 2016(6): 114-117.
[4]	王帮俊, 朱超群. 去产能背景下煤炭价格走势及预测分析——基于ARIMA模型的研究[J]. 价格理论与实践, 2017(5): 73-76.
[5]	张同功, 赵得志. 我国煤炭价格波动影响因素实证研究[J]. 中国能源, 2018, 40(3): 16-21.
[6]	赵修茗, 张甜, 邹绍辉. 动力煤期货价格波动对我国煤炭经济影响研究[J]. 中国矿业, 2020, 29(1): 34-40.