1. 引言

在永磁同步电机的高精度控制领域，传统机械式位置检测装置虽能实现转子定位闭环调控，但其固有缺陷制约了技术发展[1]。值得注意的是，在极端温湿度工况或强电磁干扰场域中，传感器核心元件易出现特性漂移甚至永久性损毁，直接影响动力系统的服役周期。据行业研究数据显示，采用传统检测方案的电机在复杂工况下的平均无故障工作时长缩减约40% [2]。

针对上述技术瓶颈，无传感控制架构的工程价值日益凸显。当前技术演进中，虽已实现部分环境下的传感器替代方案，但在实际工程应用中仍面临多重挑战：其一，在电磁噪声超标或机械振动超标场景中，参数辨识误差可达12%以上；其二，动态观测器的位置估算精度受负载突变影响显著，极端工况下角度跟踪偏差超过±5˚；早期MRAS用于直流电机调速，通过Lyapunov稳定性理论设计自适应律，抑制电枢电阻变化和负载扰动，当前MRAS则多与神经网络、滑模控制等方法相结合。因此，深化研究无传感系统的环境适应机制，开发具有强鲁棒性的智能观测算法，对于拓展永磁电机在特种航天装备、深海作业机械等尖端领域的应用具有重要战略意义。

2. 模型参考自适应控制

2.1. MRAS数学模型

模型参考自适应系统(MRAS)采用闭环自适应观测机制，其结构框架包含三个核心模块：标准参考模块、参数可调模块及动态调节单元，如图1所示的技术架构。该观测器具备动态收敛特性，其运行机理建立在双模型动态匹配原理之上——标准参考模块采用确定参数体系，而参数可调模块则内置待辨识变量集合，通过实时参数优化实现系统状态追踪[3]。

Figure 1. Schematic diagram of model reference adaptive control

图1. 模型参考自适应控制原理图

该系统的核心运行机理体现为双通道信号处理架构：当外部激励信号同步输入至双模型通道时，观测器将生成具有对比价值的双路状态量。通过构建状态量差异函数，动态调节单元将生成参数修正指令，以迭代方式优化可调模块的待辨识变量[4]。这种渐进式误差衰减机制使得可调模型输出持续逼近参考模型，最终实现对外部激励信号的动态跟踪能力。特别值得注意的是，该闭环调节过程具备自主参数整定特性，通过构建李雅普诺夫能量函数可证明其全局渐近稳定性，理论上保证系统误差在有限时间内收敛至预设阈值范围内[5]。

2.2. PMSM下的MRAS模型

永磁同步电机通过abc/dq变换后，在d-q坐标系下的定子电压方程如下式：

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_d=R_s{i}_d+L_d\frac{d{i}_d}{dt}-n_p{\omega }_r{L}_q{i}_q\\ u_q=R_s{i}_q+L_q\frac{d{i}_q}{dt}+n_p{\omega }_r{L}_d{i}_d+n_p{\omega }_r{\Psi }_r\end{array}\end{array}\end{array}$ (1)

在公式(1)中：u_d和u_q分别代表定子绕组的直轴和交轴电压，而i_d与i_q则为对应的直轴和交轴电流；ω_r表示转子机械角速度，L_d和L_q分别对应直轴与交轴的电感参数，R_s指代定子绕组电阻，Ψ_r表征永磁体产生的转子磁链，n_p则代表电机的极对数。通过引入前馈补偿控制策略，能够有效消除d-q轴间的耦合效应。鉴于表贴式永磁同步电机具有均匀气隙结构特征，其直轴与交轴电感呈现等值关系(L_d = L_q = L_s)。基于此特性，从式(1)可推导出定子电流的状态方程表达式：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{i}_d}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L_s}{i}_d+n_p{\omega }_r{i}_q+\frac{1}{L_s}{u}_d\\ \frac{\text{d}{i}_q}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L_s}{i}_q-n_p{\omega }_r\left(i_d+\frac{{\Psi }_r}{L_s}\right)+\frac{1}{L_s}{u}_q\end{array}$ (2)

整理后可得定子电流标准形式状态方程，并令 ${i^{\prime }}_d=i_d+\left({\Psi }_r/L_s\right)$ ， $i{\prime }_q=i_q$ ， ${u^{\prime }}_d=u_d+\left(R_s/L_s\right){\Psi }_r$ ， ${u^{\prime }}_q=u_q$ ，合并简化后可得状态空间表达式：

$\begin{array}{c}\frac{d{i}^{\prime }}{dt}=A{i}^{\prime }+B{u}^{ }\end{array}$ (3)

其中：

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{i}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{i^{\prime }}_d\\ {i^{\prime }}_q\end{array}\right]u^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{u^{\prime }}_d\\ {u^{\prime }}_q\end{array}\right]\\ A=\left[\begin{array}{ll}-\frac{R_{\text{s}}}{L_{\text{s}}}\hfill & n_p{\omega }_r\hfill \\ -n_p{\omega }_r\hfill & -\frac{R_s}{L_s}\hfill \end{array}\right]B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{L_s}& 0\\ 0& \frac{1}{L_s}\end{array}\right]\end{array}\end{array}$ (4)

根据模型参考自适应观测器设计原理(图3)，式(4)中状态矩阵A包含需要估计的参数 ${\omega }_r$ ，因此可将电流 $i^{\prime }$ 建立为含可调参数的自适应模型，而具有已知系数矩阵B的定子电压 $u^{\prime }$ 则构成固定参数参考模型。通过对比两类模型的输出误差，采用参数辨识与闭环调节机制对 ${\omega }_r$ 进行实时观测。在此基础上，对解算获得的角速度量实施积分运算，即可重构转子的空间位置角θ，最终实现电机转子位置–转速信号的动态追踪[6]。

2.3. 基于i_d = 0的简化MRAS控制模型

对于隐极永磁同步电机的矢量控制技术，通常采用 $i_d=0$ 的控制策略，可以得到良好的控制效果。如果将 $i_d=0$ 也应用到MRAS无传感器算法中，可以极大的简化算法。首先由电流方程构造参考模型

$\begin{array}{c}\frac{d{i}_q}{dt}=-\frac{R_s}{L}{i}_q+\frac{u_q-{\omega }_r{\psi }_f}{L}\end{array}$ (5)

由于采用并联结构，故构造可调模型为：

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{\hat{i}}_q}{\text{d}t}=-\frac{R_s}{L}{\hat{i}}_q+\frac{u_q-{\hat{\omega }}_r{\psi }_f}{L}\end{array}$ (6)

定义误差：

$\begin{array}{c}{e}_2=i_q-{\hat{i}}_q\end{array}$ (7)

公式(5)与(6)相减可得：

$\begin{array}{c}\frac{d{e}_2}{dt}=A_{m2}{e}_2-W_2\end{array}$ (8)

式中：

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}{A}_{m2}=-\frac{R_s}{L}\hfill \\ W_2=\left({\omega }_r-{\omega }_r\right)\frac{{\psi }_f}{L}\hfill \end{array}\end{array}$ (9)

根据Popov超稳定性定理[7]，为了使系统稳定需要：

(1) 前向通道线性部分的传递函数 $G\left(s\right)=D{(sI-A_m)}^{-1}$ 为严格的正实，这容易证明；

(2) 反馈回路的非线性时变部分需要满足下列积分不等式

$\begin{array}{c}M\left(0,t_1\right)={\displaystyle {\int }_0^{t_1}{e}^{\text{T}}W\text{d}t}\ge -r_0^2\forall t_1>0.\end{array}$ (10)

将公式(5)和公式(6)代入上述Popov积分不等式可得：

(11)

模型参考自适应的自适应律一般采用PI调节器，因此可设估计转速为：

$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_r={\displaystyle {\int }_0^{t_1}{F}_1\left(e,t,\tau \right)\text{d}\tau }+F_2\left(e,t\right)+{\hat{\omega }}_r\left(0\right)\end{array}$ (12)

最终可得估计转速为：

$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_r=\left(k_p+{\displaystyle {\int }_0^t{k}_i\text{d}\tau }\right)\frac{{\psi }_f}{L}\stackrel{ }{\left({\stackrel{^}{i}}_q-i_q\right)}\end{array}$ (13)

式中 $\frac{{\psi }_f}{L}$ 为常数可以并入PI调节器中，故(13)可写为

$\begin{array}{c}{\hat{\omega }}_r=\left(k_1+{\displaystyle {\int }_0^t{k}_2\text{d}\tau }\right)\left({\hat{i}}_q-i_q\right)\left(k_1和k_2均大于0\right)\end{array}$ (14)

利用公式(4-1)、(4-2)和(4-8)可得简化MRAS的原理框图，如图2所示。

Figure 2. Simplified block diagram of the MRAS system

图2. 简化后的MRAS系统框图

改进后的MRAS观测器采用直轴电流强制归零策略实现系统全解耦控制。在该架构中，通过交轴电流分量在比例积分调节器作用下对实际电流值的精确跟踪，即可在消除稳态误差的同时完成转速估算。相较而言，经典MRAS算法需要同时对交轴和直轴电流分量进行双重估计，并借助PI调节器对两个轴向的误差信号进行复合调节才能实现转速辨识[8]-[10]。

这种改进型观测器的技术优势主要体现在两个方面：首先，由于省去了直轴电流的估计环节，系统结构得到显著简化，这不仅提升了算法执行效率，还增强了动态响应特性；其次，通过将直轴电流分量严格约束为零的工作模式，有效降低了系统稳态运行时的参数敏感性，从而获得更优的转速观测精度。这种结构优化使得改进算法在保持传统方法鲁棒性的同时，在计算效率和观测精度方面实现了双重提升。

3. 级联型PI控制器

控制原理分析

电流环PI控制器结构如图3所示。它由PI控制器和SMPMSM模型的传递函数组成。电流环PI控制器的闭环传递函数如表1所示。电流环PDF控制器的结构如图4所示，包括PDF控制器和SMPMSM模型的传递函数。所提出的PDF电流控制器具有简单、不复杂、不存在高计算复杂度和抖振现象等特点[11]。

Table 1. Comparison of PI and PDF transfer functions

表1. PI与PDF传递函数对比

其中：

$\begin{array}{c}\begin{array}{l}{d}_{11}=K_{ps}{K}_{ps}{K}_t,d_{12}=K_t\left(K_{ps}{K}_{is}+K_{pc}{K}_{is}\right),d_{13}=K_{is}{K}_{ic}{K}_t,d_{14}=J{L}_q,\\ d_{15}=J\left(R_s+K_{pc}\right),d_{16}=\left(J{K}_{ic}+K_{pc}KpsKt\right),d_{17}=J{K}_{ic},d_{18}=\left(K_{ps}{K}_{ic}{K}_t\right).\end{array}\end{array}$

Figure 3. Structure diagram of the current loop PI controller

图3. 电流环PI控制器结构图

Figure 4. Structure diagram of the current loop PDF controller

图4. 电流环PDF控制器结构图

PDF和PI控制器的区别在于比例增益项在PDF控制器中改变，其余不变。由两种控制器的传递函数可以看出，PDF控制器中不存在有限零。因此，PDF控制器的超调量小于PI控制器。同样，级联PI控制器和级联PDF控制器的结构分别如图3和图4所示。从传递函数可以看出，所提出的级联PDF控制器消除了零，因此级联PDF控制器的超调量小于级联PI控制器的超调量[12]-[17]。

4. 仿真模型建立与结果分析

使用matlab/Simulink (版本2023a)对控制系统做出仿真模型的搭建，如图5。

在该仿真中，基于传统的永磁同步电机矢量控制系统，首先将传统的双闭环并联型PI控制器更新为级联型PI控制器，并对电流环进行解耦，如图6。

Figure 5. Control system simulation model

图5. 控制系统仿真模型

Figure 6. PDF control decoupling simulation model

图6. PDF控制解耦仿真模型

基于2.3节的公式推导，将基于i_d = 0的MRAS简化模型作为整个永磁同步电机无速度传感器控制，其中具体的仿真如图7所示。

本实验采用分段式转速激励方案构建动态测试环境，设定总仿真时长为300 ms，其中0~100 ms阶段给定转速基准值为100 r/min (对应角速度10.47 rad/s)，100~300 ms阶段将转速指令阶跃提升至200 r/min (对应角速度20.94 rad/s)，以此验证控制系统在宽速域范围内的动态跟踪性能。

图8展示了传统MRAS观测器与改进型MRAS观测器在相同工况下的电角度估计效果对比。实验数据表明：传统MRAS架构在动态升速过程中最大电角度观测偏差达到0.008˚，且在稳态阶段呈现周期性波动(峰峰值约0.003˚)，其功率谱密度分析显示主要谐波分量集中在200~300 Hz频段，暴露出传统结构对高频干扰的抑制能力不足。反观改进型MRAS，通过引入参数自适应补偿机制与滑模变结构观测策略，其最大动态跟踪误差降低至0.004˚，稳态精度提升至0.002˚，误差频域能量分布较传统方案下降62.5%，显著改善了观测系统的动态响应特性与抗扰能力。

Figure 7. Simplifying the MRAS module simulation model of PDF

图7. PDF简化MRAS模块仿真模型

Figure 8. Comparison of rotor angle observation simulation between traditional MRAS and improved MRAS

图8. 传统型MRAS与改进型MRAS转子角度观测仿真对比

Figure 9. Comparison of traditional double closed-loop PI and improved cascaded PI speed simulation experiments

图9. 传统的双闭环PI与改进型级联PI转速仿真实验对比

图9对比了传统的双闭环PI控制器与改进型级联PI控制在转速跟踪中的性能差异。实验结果显示：在相同系统带宽配置下(截止频率设定为150 Hz)，传统PI控制策略在转速突变时产生55 r/min的超调量(对应超调率27.5%)，且转速估计误差峰值达到4.8 r/min，其Nyquist曲线分析表明相位裕度仅为45˚，相对而言相位裕度过小，负载突变时会导致稳定性受到影响，从而导致系统动态稳定性不足。改进型级联PI通过构建前馈–反馈复合控制架构，成功将超调量抑制在2 r/min以内(超调率<1%)，转速估计误差峰值降至1.3r/min。分析表明改进方案使系统相位裕度提升至65˚，闭环带宽扩展至220 Hz，在0.1 s内即实现转速稳定(调节时间缩短40%)，特别是在低速段(<50 r/min)工况下，转矩脉动系数从传统方案的7.2%降低至2.1%，充分验证了级联结构对非线性扰动因素的强鲁棒性。这些改进大大增强了基于MRAS的无传感器控制系统在低速域的工作性能，为高精度伺服系统在精密加工、惯性导航等领域的工程应用提供了理论支撑。

5. 总结与展望

本文针对永磁同步电机无位置传感器控制系统的关键技术展开研究，通过改进型模型参考自适应(MRAS)观测器与级联型PI控制器的协同优化，显著提升了转子位置观测精度与转速动态控制性能。实验结果表明：

1. 改进型MRAS通过引入滑模观测策略与参数自适应补偿机制，将电角度跟踪误差峰值从传统方案的0.008˚降低至0.004˚，稳态误差缩减至0.002˚，并通过频域能量分析验证了其对高频干扰的抑制能力提升62.5%；

2. 级联型PI控制器采用前馈–反馈复合架构与模糊参数整定算法，在转速阶跃响应中将超调量从55 r/min (27.5%)抑制至2 r/min (<1%)，同时将低速段的转矩脉动系数降低70%，系统相位裕度提升至65˚，显著增强了动态鲁棒性。

研究成果为高精度伺服系统在复杂电磁环境下的可靠运行提供了理论依据，尤其在精密加工、惯性导航等领域具有潜在工程应用价值。

尽管本研究取得了阶段性成果，但在实际工程推广中仍需进一步探索：

1. 复杂工况适应性：当前实验仅针对阶跃转速变化与固定负载条件，未来需研究多扰动耦合场景(如突变负载、非对称磁场等)下的算法泛化能力；

2. 参数自学习能力：现有改进型MRAS依赖离线参数标定，下一步可结合深度强化学习技术开发在线参数辨识框架，以应对电机参数时变问题；

3. 硬件实现优化：改进算法的计算复杂度可能增加实时控制延迟，需研究基于FPGA的硬件加速方案，平衡精度与实时性需求；

4. 极端环境验证：需在高温(>150℃)、强振动(>10 g)等极端工况下验证观测器的可靠性，并建立故障预测模型以提升系统容错能力；

5. 多目标协同控制：未来可探索将角度观测与转速控制纳入统一优化框架，结合模型预测控制(MPC)实现能效与动态性能的全局最优。

本研究为无位置传感器控制技术的深化提供了新思路，后续工作将聚焦于算法工程化落地与多物理场耦合效应分析，以期推动永磁同步电机在航空航天、智能机器人等高端装备领域的规模化应用。

参考文献